第4章指数函数与对数函数章末检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章指数函数与对数函数章末检测卷-2024-2025学年高一数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 4．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 5．函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 7．已知函数.将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 二、多选题 9．以下运算中正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D． 10．定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．的图象没有对称中心 C．的增区间为 D．方程有5个实数解 11．已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．若方程有5个不同的实根，则 D．若方程有5个不同的实根，则 三、填空题 12．已知是奇函数，当时，，则 ． 13．设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 14．已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数a的取值范围为 . 四、解答题 15．（1）计算：； （2）计算：； 16．已知函数的图像经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 17．若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 18．已知函数. (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间； (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值； (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 19．列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． (1)证明：； (2)求不等式：的解集； (3)函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B A D C B AC ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为函数在上为减函数，所以，即， 所以. 故选：D. 2．A 【分析】将题目转化为函数与的图象有交点，再作出函数图象即可得到实数的范围. 【详解】函数有零点，即函数与的图象有交点， 作出与的大致图象如图所示， 由图可知，故实数的取值范围是. 故选：A. 3．B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 4．B 【分析】根据已知条件可得，再设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，可得关于的方程，利用对数的运算性质及换底公式，即可求解. 【详解】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟， 所以，即， 所以， 所以， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 5．A 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 6．D 【分析】利用幂函数的概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得，再利用指数函数必过点来求出函数过的定点. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以，解得，所以， 故令得，所以 所以的图象过定点. 故选：D. 7．C 【分析】根据图象平移求出，分析的单调性和值域，画出的图象数形结合求解. 【详解】由函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数， 所以， 当时，即单调递增，又，则， 又时，单调递增，又，则， 作出的图象如图， 由，， 则，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8．B 【分析】由指数函数恒过定点可得，代入可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】因为且，令可得，， 所以该函数过定点； 又点在一次函数的图象上，所以， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 9．AC 【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：AC． 10．ACD 【分析】由题意可判断函数的周期，结合时的解析式，即可作出函数图象，数形结合，即可判断A，B，C；将方程的解的个数问题，转化为函数和的图象的交点个数问题，即可判断D. 【详解】因，则有， 用替换，可得， 即2为函数的周期. 当时，，当时，. 结合函数的周期性，可作出函数的图象如下图. 由图知，函数的图象关于轴对称，故是偶函数，即A正确； 由图知，函数的图象关于和，都对称，故B错误； 由图知，函数的单调增区间为，故C正确； 由图中作出的图象，可见其与函数的图象有且仅有5个交点， 故方程有5个实数解，即D正确. 故选：ACD. 11．BCD 【分析】根据解析式画出函数大致图象，令得，数形结合可得且，结合函数零点知识依次判断各项正误. 【详解】根据解析式可得函数大致图象如下，令，则，    所以且，故，A错； 由，而从过程中对应从， 注意端点值取不到，所以，B对； 由，可得或， 由图知，对应有2个不同解，故对应必有3个不同解，所以，C对； 由图，当时原方程无解； 当时，，此时原方程只有1个解，不符； 当时，且，此时原方程有1或2或3个解，不符； 令，得或或， 当时，或或， 若，原方程无解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共有3个不同解，不符； 当时，或或，原方程共有4个解，不符； 当时，或或， 若，原方程有2个解； 若，原方程有2个解； 若，原方程有1个解， 故原方程共5个不同解，符合； 当时，有1个解或有2个解，原方程共3个解，不符； 当时，，原方程只有1个解，不符； 综上，满足题设，D对. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D项，注意从负到正依次讨论的范围，结合图象确定对应范围，进而判断解的个数. 12． 【分析】根据奇偶性以及对数运算将化为，然后根据条件可求结果. 【详解】因为是奇函数，所以， 所以， 故答案为：. 13． 【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或，的解集为，即可根据求解． 【详解】因为，则，在内单调递增， 则在内单调递增， 又因为在区间上的最大值为， 可得或， 由题意可知：或， 则或， 整理得或， 即关于的不等式或的解集为， 可知， 整理得，则， 故， 故答案为：． 14．或. 【分析】由题目条件得到在R上单调递增，分和两种情况，结合系数的正负得到不等式，求出答案. 【详解】对于任意的，且，均有， 故在R上单调递增， 当时，在R上单调递增，此时需，所以， 当时，在R上单调递减，此时需，所以， 综上，或. 故答案为：或. 15．（1）；（2）. 【分析】（1）应用有理数指数幂的运算化简求值； （2）应用对数的运算性质化简求值. 【详解】（1） （2） . 16．(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，通过计算即可证明； （3）由函数的对称性以及单调性将不等式化简，然后分，以及讨论，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可知，解得或，（舍去）， 所以. （2）证明：因为， 所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形. （3）由（1）可知，， 易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减. 由（2）可知，， 由，得， 即， 根据在上单调递减，得， 整理得，，即. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得. 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．(1) (2) (3)和 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【详解】（1）当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. （2）方程即，设， 由题意知，解得. （3）因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 18．(1)在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)当时，最小值为，当时，最小值为1； (3) 【分析】（1）配方后得到函数单调区间； （2）分和，得到函数单调性，得到最小值； （3），换元后得到，，从而得到，求出答案. 【详解】（1）， 故在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为； （2），， 若时，在上单调递减，故最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为， 故当时，最小值为，当时，最小值为1； （3）， 对于任意的，关于x的不等式恒成立， 即， 令，故在上恒成立， ， 由得， 故当时，取得最小值，最小值为， ，解得， 故实数k的取值范围为. 19．(1)证明见解析； (2)（ (3) 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出的单调性和奇偶性，得到，，求出解集； （3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，故需满足，即. 【详解】（1） ． （2）因为恒成立，故是奇函数． 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 所以，解得， 即所求不等式的解集为； （3）因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增， 所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$