3.3.2抛物线综合问题四维限时练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线综合问题 - 四维限时练 (考察范围： 抛物线与其他图形的综合 ) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） ① 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： 通径：（1）过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p. （2）x1x2＝，y1y2＝－p2. （3）|AF|＝，|BF|＝. (4)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝. （5）＋＝. ②弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ |x1－x2|＝ · 或|AB|＝ ·|y1－y2|＝ ·. ******************************************************************************* 【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力） 1、 单选题 1．直线与抛物线交于，两点，则（       ） A． B． C． D． 2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为N.若，则的面积为（       ） A． B． C． D． 4.已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（       ） A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2 C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2 5．过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，则（       ）． A．16 B．6 C．12 D． 6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与交于A，两点，且，设直线的斜率为，则（       ） A． B． C． D． 二、多选题 7.已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 8．已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 10.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，圆M：(x－1)2＋y2＝1，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则9|AP|＋4|BQ|的最小值为________． 四、解答题 11．倾斜角为60°的直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点． (1)求抛物线的准线方程； (2)求△OAB的面积(O为坐标原点). 12．已知抛物线y2＝2px(p>0)上有两点A，B，且直线AB过点(8，0)，∠AOB＝90°. (1)求抛物线的标准方程； (2)若抛物线上有一点Q，纵坐标为4，抛物线上另有两点M，N，且直线QM与QN的斜率满足kQM＋kQN＝0，△QMN重心的横坐标为4，求直线MN的方程． ******************************************************************************* 【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C D A A AC ABC 1. 【详解】： 抛物线的焦点为在直线上， 故是抛物线的焦点弦，则 由得：，所以，， 所以， 选D 2．【详解】：设点的横坐标分别为，则.由过抛物线的焦点的弦长公式知：. 选C 3.【详解】：如图，根据抛物线定义，可知PF=PN，OF=AO=2， 又因为，所以三角形PNF为等边三角形，点F作 FM⊥PN于点M，则M为PN的中点，且MN=AF=2， 所以PN=4，由勾股定理得：， 所以的面积为. 选C 4. 【详解】：抛物线的准线为,焦点F(1,0). 对于A：若O为PQ中点,所以xp=1,所以,故A错误； 对于B：若,则,所以.故B错误; 对于C：设,由O、P、Q三点共线，可得， 所以,, 所以,所以FP与FQ不垂直,故C错误; 对于D：, 当且仅当,即时取等号，所以△PFQ面积的最小值为2. .选D 5．【详解】：根据抛物线方程得：焦点坐标，直线的斜率为， 由直线方程的点斜式方程，设，将直线方程代入到抛物线方程中，得：， 整理得：，设，，，，由一元二次方程根与系数的关系得：，，所以弦长． 选A 6.【详解】：抛物线的焦点为，准线，，设直线的方程为，，联立，消得， 则，故，解得， 当时，则，解得或4，故两交点坐标为， 点与交点所在直线得斜率为，点与交点所在直线得斜率为， 当时，则，解得或1，故两交点坐标为， 点与交点所在直线得斜率为，点与交点所在直线得斜率为，所以. 选A 故的最小值为，A正确； 如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值. 选AC 8．【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，选项A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，选项B正确； 对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影， ， 所以，同理可得， 所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确； 对于选项D，由上可知：，， 所以，选项D不正确， 故选：ABC. . 9.【答案】 【详解】抛物线的焦点为，由，解得或， 即点或，当点时，直线，即， 由，得，因此， 显然点与关于轴对称，则当点时，点与点关于轴对称，， 所以. 故答案为： 10.【答案】12 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以p＝2， 所以抛物线方程为y2＝4x， 如图，|PF|＝|QF|＝1， 因为9|AP|＋4|BQ|＝9(|AF|－|PF|)＋4(|BF|－|QF|)＝9|AF|＋4|BF|－13， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以|AF|＝x1＋＝x1＋1，|BF|＝x2＋＝x2＋1， 所以9|AP|＋4|BQ|＝9x1＋4x2， 因为直线l水平时显然不合题意，故可设l：x＝my＋1， 因为直线所过定点F(1，0)在抛物线内部，则直线l必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点， 联立x2－(2＋4m2)x＋1＝0，所以x1x2＝1， 所以9|AP|＋4|BQ|＝9x1＋4x2≥2＝12， 当且仅当9x1＝4x2，即x1＝，x2＝时取等号， 所以9|AP|＋4|BQ|的最小值为12. 答案：12 11．【详解】(1)由已知可得，p＝2，焦点在x轴上， 所以抛物线的准线方程为x＝－1. (2)∵抛物线的方程为y2＝4x，∴抛物线的焦点F坐标为F(1，0). 又∵直线l的倾斜角为60°，所以斜率为， ∴直线AB的方程为：y＝(x－1). 代入抛物线方程消去y并化简得3x2－10x＋3＝0. 解法一　解得x1＝，x2＝3， 所以|AB|＝|x1－x2|＝×|3－|＝. 又点O到直线x－y－＝0的距离为d＝， 所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝. 解法二　Δ＝100－36＝64>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 过A，B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示． |AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝. 点O到直线x－y－＝0的距离为d＝， 所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝. 12．【详解】(1)由题意知直线AB的斜率不可能为0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋8， 由∠AOB＝90°得，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， 即·＋y1y2＝0，即y1y2＋4p2＝0， 将x＝my＋8代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋8)， 则y2－2pmy－16p＝0，则y1y2＝－16p， 则4p2－16p＝0，由p>0，解得p＝4， 故所求抛物线的标准方程为y2＝8x. (2)由抛物线方程可得Q点坐标为(2，4)，设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则kQM＋kQN＝＋＝＋＝＋＝0， 则y3＋y4＋8＝0，且则(y3)2－(y4)2＝8(x3－x4)， 故kMN＝＝＝－1.又＝4， 则x3＋x4＝10，又y3＋y4＝－8，可得直线MN的中点坐标为(5，－4)， 故由点斜式得直线MN的方程为y＋4＝－(x－5)，即x＋y－1＝0. ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛:根据题意，画出图形，仔细观察，寻找思路，注意多种情形. 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$