4.2.1等差数列的概念课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念 人教A版选择性必修第二册 1.数列的定义 2.数列的项，首项 3.数列的通项公式 复习回顾 ③测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为： ①北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ②XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是： 1.请说出下面数列中第1、2、3、4、5项，并讨论相邻项之间的关系 34，36，38，40，42，44，46，48 思考讨论 25，24.4，23.8，23.2，22.6 对于数列①：9，18，27，36，45，54，63，72，81 发现 ：18=9+9，27=18+9....81=72+9， 追问：你能换一种写法吗？ 18-9=9，27-18=9....81-72=9. 2.对于数列② ③是否也有类似的结论？ 问题1 我们常通过运算来发现规律，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 1.定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 问题①等差数列的基本量有哪些？ 一、等差数列的概念 ②你能符号表示等差数列的定义吗？ an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） an - an-1=d（d为常数，n≥2，n∈N*） a1（首项），d（公差） 等差数列的递推公式 ③要构成一个等差数列最少需要几个数？ 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可知：2A=a+b. ④根据等差中项的定义，写出等差数列{an}中，an-1，an，an+1的关系式 2an = an-1 + an+1 ar, ar－br, ar－2br, ar－3br, ... ④ 等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息。 好处：总利息较少(在贷款期限、金额和利率相同的情况下，等额本金还款方式所需利息较少),并且贷款年限越长，优势越明显。 缺点：前期还款压力较大，每月还款额不同，不便于规划收支。 比较适合有一定经济基础，能承担前期较大还款压力的人群。 例 某人想银行贷款万元，贷款时间为年。如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息依次为多少,并判断是否等差数列？ 巩固练习 教材P15 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 课本15页练习   an+1 =an ＋d 问题3 你能根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: an+1-an=d 所以a2＝a1＋d a3＝a2＋d＝a1＋2d a4＝a3＋d＝a1＋3d an＝a1＋(n－1)d； 由此可归纳得，等差数列的通项公式为: an＝a1＋(n－1)d (n ≥ 2) 当n=1时，a1＝a1＋(1－1)d=a1，上式也成立. 不完全归纳法 将各式累加得，等差数列的通项公式为:an＝a1＋(n－1)d. 新知探究 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: an+1-an=d 即 a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …… an－an－1＝d (n ≥ 2) 问题4 不完全归纳推导的结论一定正确吗？还有其它方法推导吗？ 累加法 等差数列的通项公式 概念生成 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an= a1＋(n－1)d 注：4个量an、a1、n、d，可“知三求一” 问题5：已知am， d如何求an an=am+(n－m)d d>0时，{an}是递增数列； d<0时，{an}是递减数列； d=0时，{an}是常数列. 点(n,an)分布在直线f(x)=dx+(a1－d)上． d≠0时，an=dn+(a1－d)可看成an关于n的一次函数 (形式: an=kn+b)． 注：n的系数即为公差d 问题5：根据等差数列的通项公式，判断等差数列是哪一类函数 典例分析 例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项； （2）求等差数列8，5，2....的第20项. (1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1) ＝7－2n. 于是 d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2， a1＝5－2＝3. ∴{an}公差为－2，首项为3. (2) 由已知条件，得 d＝5－8＝－3，a1＝8. ∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11. ∴a20 ＝－3×20＋11＝－49. 解: 等差数列通项公式的应用 例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？ 典例分析 由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4， 得数列{an}的通项公式为 an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4n－1. 设 －4n－1＝－401，解得 n＝100. ∴－401是这个数列第100项. 解: 追问 －350是不是该数列中的项？ 课堂小结 总结反思 请回顾本节课你的收获 1. 等差数列及等差中项的定义； 2.等差数列的通项公式； 3.通项公式的应用. $$