浙江省绍兴市诸暨市重点中学2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是(    ) A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 无法判断 2.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为(    ) A. B. C. D. 3.二次函数的图象向右平移个单位，向下平移个单位，得到新的图象的函数表达式是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，把一个长方形划分为个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形的边，应满足的条件是(    ) A. B. C. D. 6.如图，点在的边上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，正方形内接于，点在上，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则(    ) A. B. C. D. 9.已知函数，在上最大值为，最小值为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在同一平面内，已知圆的半径为，一点到圆心的距离是，则这点在          填写“圆内”或“圆上”或“圆外”． 12.如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是          ． 13.生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______ 14.如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 ______秒 15.二次函数为常数的开口向下且过点，有以下结论：，，若方程有两个小相等的实数根，则其中正确的结论是          填入序号． 16.如图，在矩形中，为中点，连结，过点作垂线，交延长线于点，连结，若，则           ；若，则           用含有的代数式表示 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，半圆的直径，弦， 求弦的长 求阴影部分的面积结果保留． 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，． 求该抛物线的解析式； 结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 19.本小题分 已知二次函数的图像经过点． 求这个二次函数的表达式； 求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 20.本小题分 有两个可以自由转动的均匀转盘、，分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： 分别转动转盘与；两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止． 如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． 用列表法或树状图求王扬获胜的概率； 你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 21.本小题分 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试验．据市场运营，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天款可多售出件，但要求销售单价不得低于成本． 求销售单价为多少元时，每天的销售利润为元． 当值售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22.本小题分 某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择：抛物线型，圆弧型已知这座桥的跨度米，拱高米． 如果设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式 如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径 在距离桥的一端米处欲立一桥墩支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度． 23.本小题分 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景 某民族服装厂安排名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． 因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装件，或“雅”服装件，或“正”服装件． 要求全厂每天加工“雅”服装至少件，“正”服装总件数和“风”服装相等． 背景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： “风”服装：元件； “正”服装：元件； “雅”服装：当每天加工件时，每件获利元；如果每天多加工件，那么平均每件获利将减少元． 信息整理 现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数人 每人每天加工量件 平均每件获利元 风 雅 正 探究任务 任务 探寻变量关系 求、之间的数量关系． 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 24.本小题分 如图，内接于圆，连接． 如图，求证：； 如图，于交圆于，于，求证：； 如图，在的条件下，若平分，延长交于，，，求长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的， 因而这是一个不可能事件． 故选C． 2.【答案】  【解析】随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少． 【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为秒，每分钟内黄灯亮的概率为，故抬头看是黄灯的概率为． 故选A． 3.【答案】  【解析】解：二次函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新的图象的函数表达式是． 故选：． 根据函数图象向右平移减，向下平移减平移规律，可得答案． 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是左加右减，上加下减，掌握这一规律是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：在三角形纸片中，，，， A.因为，对应边，， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似， 故此选项不符合题意； B.因为，对应边，又， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似， 故此选项符合题意； C.因为，对应边， 即：， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似， 故此选项不符合题意； D.因为，对应边，， 所以沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似， 故此选项不符合题意； 故选：． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：每一个小长方形与原长方形相似， ， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：当时， 又， ∽， 故此选项错误； B.当时， 又， ∽， 故此选项错误； C.当时， 又， ∽， 故此选项错误； D.无法得到∽，故此选项正确． 故选：． 7.【答案】  【解析】连接，，由正方形的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接，，如图， 正方形内接于， 故选：． 8.【答案】  【解析】分别求出以点为中心的正五边形和正方形的中心角即可． 【详解】解：如图，连接， 点是正五边形和正方形的中心， ，，     ． 故选：． 9.【答案】  【解析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值问题以及解一元二次方程等知识，解题关键是运用数形结合思想分析问题．首先确定该抛物线开口方向，顶点坐标以及对称轴，然后结合“在上最大值为，最小值为”，分析判断即可． 【详解】解：， 该抛物线开口向下，其顶点坐标为，对称轴为， 可画出函数图象，如下图， 在上最大值为， ， 又在上最小值为， 令， 解得，， ． 综上所述，的取值范围是． 故选：． 10.【答案】  【解析】此题考查了轴对称、最短路线问题，垂径定理，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出最短时点所在的位置是解答本题的关键． 先作点关于的对称点，连接交于点，连接，，再求出，最后根据勾股定理和，列式计算得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，，    ， ， 的度数是， 则的度数是， 根据垂径定理得的度数是， 则， ， ． 故选A． 11.【答案】圆外  【解析】根据即可得到点在圆外． 【详解】解：， 点在圆外． 故答案为：圆外 12.【答案】  【解析】根据概率公式知，共有个开关，只闭一个开关时，只有闭合时才发光，所以小灯泡发光的概率等于． 解：根据题意，三个开关，只有闭合小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故答案为：． 用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 14.【答案】  【解析】解：由题意，设经秒后，∽， 由于， ， ． ． 故经过秒时，∽． 故答案为：． 依据题意，先设经秒后，∽，应用相似三角形的对应边成比例可得，再将相应的数据代入比例式，即可求出的值． 本题主要考查了相似三角形的判定及矩形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用相似三角形的性质是关键． 15.【答案】  【解析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断；根据当时，，可判断；由及可判断，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 二次函数过点， ， ，故正确； 当时，， ，故正确； 抛物线开口向下， ， ，，且当时，， ，故正确． 若有两个不相等的实数根， 则，有两个不相等的实数根， 抛物线开口向下， 抛物线顶点纵坐标大于， 即， ，故错误． 故答案为：． 16.【答案】        【解析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是：过作，得到，，证明，得到，进一步得到，继而表示出，设，可得，再证明，可得，从而可得，求出当时，，，，可得． 【详解】解：如图，过作， ，， ， ， ， ， ， 为中点， ， 当时，， ，， ， 设，则，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 当时，，，， ， 故答案为：，． 17.【答案】【小题】 连接如图，    ， 又 是等边三角形， ； 【小题】 ， 的面积的面积， 阴影部分的面积弓形的面积的面积扇形的面积．   【解析】  本题考查了同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，扇形的面积公式，等底等高三角形的面积相等，等边三角形的判定与性质等知识． 连接由同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可得，证明是等边三角形，可得；   把阴影部分的面积转化为扇形的面积，判断出阴影部分的面积扇形的面积，根据扇形的面积公式即可求解 18.【答案】【小题】 解：抛物线经过点，代入坐标得： 解得 所求抛物线的解析式是． 【小题】 当时，， 因式分解得：， ， ， 当时，函数图像在轴下方， 时，的取值范围为．   【解析】  利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出解方程组即可；   先求抛物线与轴的交点，转化求方程的解，再根据函数，函数图像位于轴下方，在两根之间即可． 19.【答案】【小题】 解：二次函数的图像经过点， ，解得， 二次函数的表达式为； 【小题】 解：由知二次函数的表达式为， 令，则，即，解得或， 二次函数图像与轴的交点坐标为，．   【解析】  本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图像与轴的交点坐标、解一元二次方程等知识． 根据题意，利用待定系数法，将点代入表达式即可确定函数关系式；   由中所求的表达式为，令，解一元二次方程即可得到答案． 20.【答案】【小题】 解：根据题意，列出表格如下： 一共有种等可能结果，其中王扬获胜的有种， 所以王杨胜， 【小题】 解：由得刘非获胜的有种， 所以刘非胜， 即两人获胜的概率不相同， 所以这个游戏对双方不公平．   【解析】  本题主要考查了游戏的公平性，求概率： 根据题意，列出表格，可得一共有种等可能结果，其中王扬获胜的有种，再根据概率公式计算，即可；   求出刘非获胜的概率，即可． 21.【答案】【小题】 设销售单价为元时，每天的销售利润为元， 则， 解得：或， 故销售单价为元或元时，每天的销售利润为元； 【小题】 设销售单价为元时，每天的销售利润为元， 由题意得：， ， 抛物线开口向下． ，对称轴是直线， 当元时，元； 即销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．   【解析】  本题考查一元二次方程和二次函数的应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质． 设销售单价为元，根据利润售价成本销售量列方程解题即可；   设销售单价为元时，每天的销售利润为元，根据“利润售价成本销售量”列出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答． 22.【答案】【小题】 抛物线的解析式为， 又抛物线经过点和点， ，． 抛物线的解析式为； 【小题】 设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长经过点， 设的半径为， 在中， ，解得； 【小题】 在抛物线型中设点在抛物线上，， 米； 在圆弧型中设点在弧上，作于， 于，则，， 在中，    ， ，米 在离桥的一端米处，抛物线型桥墩高米；圆弧型桥墩高米．   【解析】  抛物线的解析式为，把点和点，代入即可求出抛物线解析式；   设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长经过点，设的半径为，利用勾股定理求出即可；   根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出的长，再求出的长即可． 23.【答案】解：任务：根据题意安排名工人加工一批夏季服装， 安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装， 加工“正”服装的有人， “正”服装总件数和“风”服装相等， ， 整理得：； 任务：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ， 整理得：， ， 任务：由任务得， 当时，获得最大利润， ， ， 开口向下， 取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ， 综上：安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．  【解析】任务：根据题意安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将种服装的获利求和即可得出结果； 任务：根据任务结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 24.【答案】证明：延长，交于点，连接，如图， 则为的直径， ， ． ， ； 证明：作直径，连接，如图， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ． 由知：， ， ， ， ， ， ， ； 解：过点作于点，过点作于点，连接，如图， ，，， 四边形为矩形， ，． 平分， ． 在和中， ， ≌， ，． ， ， 由知：， ． 在和中， ， ≌， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ． ， ， ． ，， ， ∽， ， ， ， ， ． ．  【解析】延长，交于点，连接，利用圆周角定理和直角三角形的性质解答即可； 作直径，连接，利用垂径定理和三角形的中位线定理得到；再利用圆周角定理，直角三角形的性质和的结论得到，则，结论可得； 过点作于点，过点作于点，连接，利用矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得到，利用勾股定理得到，设，则，利用勾股定理求得值，再利用垂径定理和勾股定理解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，作出圆的直径构造直角三角形是解题的关键． 第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$