浙江省杭州市上城区部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年上学期九年级期中诊断性调研 数学问卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.投掷次硬币，有次反面朝上，次正面朝上，那么，投掷第次硬币正面朝上的可能性是(    ) A. B. C. D. 2.下列事件中，属于随机事件的是(    ) A. 是无理数，则 B. 任意一个三角形都有外接圆 C. 任意选择某电视频道，正在播放电影 D. 一个人奔跑的速度是每秒米 3.如图，在中，点是上一点，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.将抛物线的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到的抛物线的解析式是(    ) A. B. C. D. 5.在新型俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转，向左、向右平移，已拼好的图形如图所示．现又出现一个图案正向下运动，若要使该图案与下面的图形拼成一个完整的矩形，则该图案需进行的操作是(    ) A. 顺时针旋转，向右平移至最右侧 B. 逆时针旋转，向右平移至最右侧 C. 顺时针旋转，向左平移至最左侧 D. 逆时针旋转，向左平移至最左侧 6.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.，，是抛物线上三点，，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 9.已知锐角如图，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； 分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，； 连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(    ) A. B. 若，则 C. D. 10.如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为、若，取、中的较小值记为；若，记． 例如：当时，，，，此时下列判断： 当时，；当时，值越大，值越小； 使得大于的值不存在； 使得的值是或． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知，则 ______． 12.下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 成活的棵数 成活的频率 由此估计这种苹果树苗的移植成活的概率为          ． 13.在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为          ． 14.如图，四条平行直线，，，被直线，所截，，若，则线段和线段的长度之和是          ． 15.如图所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图所示，的直径为，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点，且三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为          ． 16.如图，在中，，是边上的动点，将线段绕点按逆时针方向旋转到，旋转角等于，连结当点，，在一条直线上时，线段的长是          ；线段的最小值是          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知抛物线经过两点． 求抛物线的函数表达式； 二次函数的最值． 18.本小题分 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． 求任意摸出一个球是黑球的概率； 小明从盒子里取出个白球其他颜色球的数量没有改变，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值． 19.本小题分 某同学报名参加校运动会，有以下个项目可供选择： 径赛项目：，，分别用、、表示； 田赛项目：跳远，跳高分别用、表示 该同学从个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为          ； 该同学从个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率． 20.本小题分 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． 求的度数； 求阴影部分的面积． 21.本小题分 已知二次函数：是实数． 若，求抛物线与轴的交点坐标． 抛物线与直线经过轴上同一点，求的值． 当时，函数的值随的增大而增大，求的取值范围． 22.本小题分 某水果店销售一种水果，购进时的单价为元斤，根据调查：销售单价为元斤时，平均每天可售斤，而售价每涨元，就会少售出斤．设售价为元． 请你用含售价的代数式来表示销售量． 若水果店获利元，并尽量给予消费者实惠，该水果的单价应定为多少元？ 求水果店的最大利润是多少？此时售价应定为何值？ 23.本小题分 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中将和按图所示方式摆放，其中点与点重合标记为点当时，延长交于点试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：谈你解答老师提出的问题； 深入探究：老师将图中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．      “善思小组”提出问题：如图，当时，过点作交的延长线于点与交于点试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；    “智慧小组”提出问题：如图，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 24.本小题分 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材：图中有一座拱桥，图是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．    素材：为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．    问题解决： 任务：确定桥拱形状是抛物线：在图中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务：拟定设计方案：在任务的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务：确定桥拱形状是圆弧：在图中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务：拟定通行方案：在任务的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：投掷次硬币，有次反面朝上，次正面朝上，那么，投掷第次硬币正面朝上的可能性是． 故选：． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可求解． 考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 2.【答案】  【解析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据算术平方根、三角形的外接圆、事件发生的可能性的大小判断即可． 【详解】解：、是无理数，则，是必然事件，不符合题意； B、任意一个三角形都有外接圆，是必然事件，不符合题意； C、任意选择某电视频道，正在播放电影，是随机事件，符合题意； D、一个人奔跑的速度是每秒米，是不可能事件，不符合题意； 故选：． 3.【答案】  【解析】在优弧上找一点，连接，根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，优弧上找一点，连接 ， ， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】解：根据平移规律可知，得到的抛物线的解析式是， 故选：． 5.【答案】  【解析】此题主要考查学生的观察能力，首先要知道平移和旋转的性质：平移和旋转的图形的大小和形状不变，可以以某个部分为观察点． 【详解】解：因为方块图形比矩形缺的部分靠左，所以要向右平移；方块图形中的下面突出的一个正方形在下面，而缺的图形的这个正方形在左，所以需要顺时针旋转． 故选：． 6.【答案】  【解析】根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】令扇形的半径为，弧长为， ， ， ． 扇形的弧长为． 故选：． 7.【答案】  【解析】本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可．得到即可得到答案． 【详解】解：四边形内接于，它的一个外角， 故选B． 8.【答案】  【解析】抛物线为常数的开口向下，对称轴为直线， 而离直线的距离最近，点离直线最远， ． 故选C． 9.【答案】  【解析】由作图知，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得． 【详解】解：由作图知， ，故A选项正确； ， 是等边三角形， ， ， ，故B选项正确； ， ， ， 又， ， ，故C选项正确； ，且， ，故D选项错误； 故选D． 10.【答案】  【解析】解：当时，利用函数图象可以得出；错误； 抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为、若，取、中的较小值记为； 当时，根据函数图象可以得出值越大，值越大；错误； 抛物线，直线，与轴交点坐标为：，当时，，抛物线，最大值为，故大于的值不存在； 使得大于的值不存在，正确； 当时， 使得时，可能是，解得：，， 当，解得：， 由图象可得出：当，此时对应， 抛物线与轴交点坐标为：，， 当，此时对应， 故时，，， 使得的值是或正确； 故正确的有：． 故选：． 利用图象与坐标轴交点以及值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案． 此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：， 设，， ． 故答案为：． 根据比例的基本性质，可分别设出和，再代入进行计算即可得出结果． 此题考查了比例的性质，关键是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分． 12.【答案】  【解析】本题主要考查了由频率估计概率，解题的关键在于熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 【详解】解：由表格中的数据可知，随着试验次数的增加，该苹果树苗的成活的频率稳定在左右， 估计这种苹果树苗的移植成活的概率为， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】首先设黄球的个数为个，然后根据题意得，解此分式方程即可求得答案． 【详解】解：设黄球的个数为个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 黄球的个数为个． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】， ：：，即：：， 解得； ， ：：，即：：， 解得， 则线段和线段的长度之和． 15.【答案】  【解析】本题考查了弧长的计算，垂径定理的推论，先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件得出的度数，于是得出，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，，   ， 三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， 阴影部分的周长， 故答案为：． 16.【答案】   【解析】过点作于点，利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质，可证得，，就可以推出，利用等腰三角形的性质，可以推出，利用证明，就可求出的长，然后在，利用勾股定理求出的长； 在上截取，求出的长，易证，利用全等三角形的性质，可得到，由此利用垂线段最短，当时，的值最小，即的值最小，利用相似三角形的判定和性质，就求出的长． 【详解】解： 过点作于点， 中，，， 将线段绕点按逆时针方向旋转到，旋转角等于， ， 在和中 ， 设，则 在中 解得： 的长为； 在上截取 在和中 当时，的值最小，即的值最小 解得：，即的最小值为． 故答案为：． 17.【答案】【小题】 解：抛物线经过两点， 对称轴为， 解得，， ， 解得，， 抛物线的解析式为． 【小题】 解：由可得，抛物线的解析式为， ， 当时，抛物线有最小值，最小值为．   【解析】  本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，配方法求顶点式的知识是解题的关键． 根据抛物线与轴的交点可得对称轴为，由此可求出的值，再把点代入解析即可求解；   运用配方法将抛物线化成顶点式即可求解． 18.【答案】【小题】 解：球的总数个， 黑球个数个  ，       任意摸出一个球是黑球的概率为； 【小题】 由题意得：，     解得， 经检验：是方程的解，         的值为．   【解析】  由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率；   由红球的概率可得关于的方程，解方程即可求得的值． 19.【答案】【小题】 【小题】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的结果有种， 恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为．   【解析】  此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 直接由概率公式求解即可； 【详解】解：该同学从个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为， 故答案为：；   画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的结果有种，再由概率公式求解即可． 20.【答案】解：是的直径， ， 平分， ， ； 如图，连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为．  【解析】根据角平分线及圆周角定理即可求得答案； 连接，根据圆周角定理求得的度数，再利用扇形面积公式及三角形面积公式计算即可． 本题考查角平分线性质，圆周角定理，勾股定理及扇形的面积，中结合已知条件求得是解题的关键． 21.【答案】解：当时，， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点为，； 由得，当时，， 抛物线与直线在轴的交点坐标为， ，整理得：， 解得：或； 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的值随的增大而增大， 则， 解得：．  【解析】转化为方程即可求解； 由得，当时，，直线在轴的交点坐标为，代入即可求解； 当时，函数的值随的增大而增大，则，即可求解． 此题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握图象及性质的应用． 22.【答案】【小题】 解：由题意得：； 【小题】 由题意得：， 解得：或， 尽量给予消费者实惠， 该水果的单价应定为元； 【小题】 设水果店的利润为， 由题意得：， ， 当时，取最大值， 答：水果店的最大利润是元，此时售价应定为元斤．   【解析】  本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用； 根据售价每涨元，就会少售出斤列关系式即可；   根据每斤利润销量总利润列方程，解方程舍去不合题意的解可得答案；   根据每斤利润销量总利润得出利润关于的二次函数关系式，然后由二次函数的性质可得答案． 23.【答案】【小题】 解：四边形为正方形．理由如下： ， ． ， ． ． ， 四边形为矩形． ， ． 矩形为正方形． 【小题】 ． 证明：， ． ， ． ，即， ． ， ． 由得， ． 解：如图：设的交点为，过作于， ， ，， ； ， ， ， ， 点是的中点； 由勾股定理得， ； ， ，即； ； ，， ， ， ，即的长为．        【解析】  先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；   由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；设的交点为，过作于，则易得，点是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 24.【答案】【小题】 解：任务：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； 【小题】 任务：该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， 悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标最小为， 把代入得： ， 解得：， 悬挂点的横坐标取值范围为； 方案一：从顶点处开始悬挂， 相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，， 从顶点处开始悬挂，共可挂盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为， ， 可以挂盏， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 【小题】 任务：设圆的圆心为点，相交于点， 由题意可得：， ， 设该圆的半径为，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：；    【小题】 任务：由任务可知，， 当河段水位涨达到最高时，， 货船漏出水面高米， 该货船顶端与圆心距离， 根据勾股定理可得：， ， 船体在圆弧的拱顶正下方可以通过．      【解析】  本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键． 任务：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则，设该抛物线的表达式为，把代入求出的值，即可得出函数表达式；   任务：根据该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，得出悬挂点的纵坐标，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，即可解答；   任务：设圆的圆心为点，相交于点，得出，则，设该圆的半径为，则，根据勾股定理列出方程求解即可；   任务：先求出该货船顶端与圆心距离，根据勾股定理可得：，则，即可解答． 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$