精品解析：陕西省西安市第八十五中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试题

2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 高二数学（人教A版） 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟； 2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号； 3．第I卷选择题必选使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4．考试结束，监考员将答题卡收回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可. 【详解】. 故选：B. 2. 已知直线与垂直，则实数的值是（ ） A. 0或3 B. 3 C. 0或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出的值 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故实数的值是. 故选：D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量对称性知识来判断A，利用空间四点共面的性质来判断B，利用直线方向向量与法向量垂直，结合线与面的位置关系来判断C，利用直线方向向量与法向量夹角来判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B ，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，B选项错误； 对于C，若直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，所以，则或，C选项错误； 对于D，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线与平面所成的角为，D选项正确， 故选：D. 4. 中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及椭圆中三者的关系，利用椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】以椭圆的对称中心作为坐标原点建立平面直角坐标系，则可得， 所以， 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：A． 5. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值. 【详解】圆的圆心为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 故圆心坐标为. 故选：A. 6. 已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，代入公式即可求解. 【详解】依题意：圆锥的高， 以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 取，得，设与平面所成角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 7. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，的斜率，结合图象可得结论． 【详解】，， 存在与线段相交的直线与轴垂直， 所以直线的斜率的范围是. 故选：B. 8. 如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当，时，与平面所成角为 B. 当时，有且仅有一个点，使得 C. 当，时，平面平面 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】CD 【解析】 【分析】A：根据平面判断出线面角，结合线段长度求解出角的大小；B：建立空间直角坐标系，根据得到关于的方程，根据解的个数判断即可；C：分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量的关系判断即可；D：根据条件确定出的轨迹，然后即可计算轨迹长度. 【详解】对于A：当时，，即与重合， 由正三棱柱的结构特点可知平面， 所以与平面所成角即为，且，所以， 所以与平面所成角为，故A错误； 对于B：取中点，连接，以为原点， 以过平行于方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可知，， 所以， 所以， 所以， 当时，，所以或， 所以满足条件的点有两个，故B错误； 对于C：当，时，， 因为，所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 因为， 设平面的一个法向量为， 所以， 取，则，所以， 所以，所以， 所以平面平面，故C正确； 对于D：因为，其中，， 所以在右侧面中， 因为平面，且， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为的半圆， 所以轨迹长度为，故D正确； 故选：CD. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C. 平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D. 平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义逐项分析点的轨迹. 【详解】待求轨迹的点记为， A：因为，所以的轨迹是线段，故正确； B：因为，此时的轨迹不存在，故错误； C：因为，所以的轨迹是线段的垂直平分线，故错误； D：因为，所以， 所以的轨迹是以为焦点的椭圆，故正确； 故选：AD. 10. 对于直线与圆，下列说法不正确的是（ ） A. 过定点 B. 的半径为9 C. 与可能相切 D. 被截得的弦长最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；把圆的方程化为标准方程求得圆的半径判断B；判断直线过的定点在圆内判断C；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断D. 【详解】可变形为， 由，得，所以直线过定点，故A正确； 圆的标准方程为，半径为3，故B不正确； 由，所以点在圆的内部， 所以与相交，不会相切，故C不正确； 当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 因为点和圆心连线的斜率为，所以，解得， 此时的方程为，因为圆心到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：BC. 11. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，明确各点的坐标和相关向量的坐标.用向量法证明线线垂直，判断A的真假；判断与平面的法向量的关系，判断B的真假；用向量法求二面角的大小，判断C的真假；用向量法求点到平面的距离判断D的真假. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对A：. ，A项正确； 对B：. 设为平面的一个法向量，则， 即，令，得，则， 因为，不在平面内，所以平面，则B项正确； 对C：由图可知，平面，所以是平面的一个法向量， 则， 故二面角的大小不是，所以C项不正确. 对D：由，所以点到平面的距离为，D项正确； 故选：ABD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，，共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共面定理得到存在使得，从而得到方程组，求出答案. 【详解】由题意得，存在使得，即， 故，解得 故答案为： 13. 两圆，的公切线有且仅有__条． 【答案】2 【解析】 【分析】由两圆的位置关系判断公切线条数. 【详解】化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据数量关系可得，即，又，进而由可得答案. 【详解】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）若，分别求λ与m的值； （2）若，且与垂直，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的条件即可求解； （2）利用向量的模公式及向量垂直的条件即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以设， 所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，且与垂直， 所以,化简得,解得. 故. 16. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）设直线方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【小问1详解】 由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 17. 已知圆过原点和点，圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果； （2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得 从而圆半径为，所以圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，圆C圆心到直线的距离为4， 显然直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 所以解得，所以直线的方程为 综上，直线的方程为或. 18. 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD （1）求异面直线BF与DE所成角的大小； （2）证明平面AMD平面CDE； （3）求二面角A-CD-E的余弦值． 【答案】（1）与成角； （2）见解析； （3）二面角 的余弦值为 【解析】 【详解】分析：（1）先证明，则（或其补角）为异面直线与所成的角，在中求出此角即可； （2）欲证平面平面，即证平面，根据线面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直即可，易证 ； （3）设为的中点，连接易证为二面角 的平面角，在 中求出此角即可． 详解：（1）由题，∴四边形是平行四边形， 或其补角为与所成角 ， 取AD中点P连结 和， ∵FEAP ∴FAEP 同理ABPC 又FA⊥平面ABCD ∴EF⊥平面ABCD ∴EP⊥PC、EP⊥AD ，由 ， 设 则 ，∴∠CED=60o ∴与成角； （2）为中点， 连结，则 又 ∴平面 ， 又 ，∴平面平面， （3）设为的中点，连接 同理为二面角的平面角， 在 中，， ∴二面角的余弦值为 点睛：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．属中档题. 19. 已知椭圆离心率为为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为，不过点的动直线交椭圆于两点.证明：直线的斜率和为定值. 【答案】（1） （2）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程. （2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得，从而证得直线的斜率和为定值. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设，设直线的方程为. 联立方程组得， ，解得， 所以 所以. 即， 因为 ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中教学质量检测 高二数学（人教A版） 注意事项： 1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟； 2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号； 3．第I卷选择题必选使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4．考试结束，监考员将答题卡收回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与垂直，则实数的值是（ ） A 0或3 B. 3 C. 0或 D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 C. 若直线方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 4. 中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的一个重要组成部分．某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（    ） A. B. C. D. 6. 已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当，时，与平面所成角为 B. 当时，有且仅有一个点，使得 C. 当，时，平面平面 D. 若，则点的轨迹长度为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段 B. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 C. 平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 D. 平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 10. 对于直线与圆，下列说法不正确的是（ ） A 过定点 B. 的半径为9 C. 与可能相切 D. 被截得的弦长最小值为 11. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为2 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，若，，共面，则______． 13. 两圆，的公切线有且仅有__条． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）若，分别求λ与m的值； （2）若，且与垂直，求. 16. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 17. 已知圆过原点和点，圆心在轴上. （1）求圆方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 18. 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD （1）求异面直线BF与DE所成的角的大小； （2）证明平面AMD平面CDE； （3）求二面角A-CD-E的余弦值． 19. 已知椭圆离心率为为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为，不过点的动直线交椭圆于两点.证明：直线的斜率和为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$