福建省莆田中山中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024-2025学年九年级上学期数学期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 4. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．如果月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如 图，D是的边上一点，已知，，若的面积为a， 则的面积为 （ ） A. a B. C. D. 6. 对于抛物线，下列判断不正确的是（ ） A. 抛物线的顶点坐标为 B. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线 C. 若点，在抛物上，则 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A. B. C. D. 8. 四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（ ） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 12. 已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程的解是 _____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是________ 14. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________． 16. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．另一个二次函数的图象经过B、C、三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）．则t的取值范围是______． 三．解答题（共9小题） 17. 解方程：． 18. 如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：． 19. 如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（1，0），B（5，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）此抛物线的顶点为P，求△PBC的面积． 20. 关于x的一元二次方程有两个实数根，，并且． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在m使得满足？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°． （1）在AB上求作点D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若BC=5，AC=12，求BD长． 22. 企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 23. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个根为________； （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________． 24. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： （1）求证：； （2）探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； （3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 25. 如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 2024-2025学年九年级上学期数学期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10小题，每题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】， 【13题答案】 【答案】或， 【14题答案】 【答案】9 【15题答案】 【答案】45° 【16题答案】 【答案】且 三．解答题（共9小题） 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】 证明：，， ， ， ， 即， ． 【19题答案】 【答案】（1）y＝x2﹣3x+；；（2）△PBC的面积＝ 【20题答案】 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下； 由题意知， ，， ∴， ∴，整理得，， ∵， ∴方程无解，即不存在 m使得满足． 【21题答案】 【答案】（1）如图1所示，点D就是所求作的点． （2） 【22题答案】 【答案】（1） （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元 【23题答案】 【答案】（1）② （2），， （3），3，1或3 【24题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； （2）① ②， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； （3） 【25题答案】 【答案】（1） （2）①；②线段的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $