专题01 锐角三角函数3大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题01 锐角三角函数3大题型 题型一 求角的正弦值及已知正弦值求边长 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点．先利用勾股定理求出、的长，再利用的面积求出的长，最后在直角中求出的正弦值．本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用的面积求出边上的高是解决本题的关键． 【详解】解：过点作于点．   ， ． ， ． ． ． 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在反比例函数的图象上，轴于点H，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．利用锐角三角函数的定义求解，为的对边比斜边，求出即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 轴于， ，， ， ， 故选：B 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，点，，均在正方形网格纸中的格点上，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正弦值，取格点，勾股定理求得的长，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，取格点，    在中， ∴ ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在边长为5的菱形中，对角线，点O为菱形的中心，作，垂足为E，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键． 由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义，进而证，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，边长为5，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，点都在格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交延长线于点，根据勾股定理求出的长，然后根据即可得出答案． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则， 则在中， ∴， 故选：D． 6．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图所示，点在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为a，，则t的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过点作轴的垂线，根据垂线的性质，得出，再根据题意，得出，，再根据正弦的定义，得出，进而得出，解得，再根据勾股定理，计算即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线， ∴， ∵点在第一象限， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴的值为． 故选：A 7．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角为，A点与B点的高度差为h，A点与C点的高度差为120m，着陆坡BC长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，求出BF=120-h，再根据正弦的定义可得结论． 【详解】解：过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，如图， ∵A点与C点的高度差为120m，且A点与B点的高度差为h， ∴BF=120-h 又 ∴ 故选：A 8．（20-21九年级上·河南新乡·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先由sinA及已知求得AB的值，再根据勾股定理可以得到AC的值 ． 【详解】解：∵∠C＝90°，sinA＝， ∴AB＝BC＝×3＝5， ∴AC＝＝＝4． 故选：B． 9．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都正方形的顶点上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及求正弦值，利用三角形全等，将所求角进行转化是解题关键，通过计算得，，即可通过SSS证明，即可将转化为求，而在直角三角形中，即可求解． 【详解】解：如图，   ， ， ， ， 故答案为． 10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和的三角函数值有关．根据如图，请你用的正弦（或余弦，或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度 ． 【答案】的正弦值越大，梯子越陡 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦是解决问题的关键． 先利用正弦的定义得到，由于为定值，则越大，梯子越陡，所以的正弦值越大，梯子越陡． 【详解】解：∵， ∴， ∵为定值， ∴越大，梯子越陡， 即的正弦值越大，梯子越陡． 故答案为：的正弦值越大，梯子越陡． 题型二 求角的余弦值及已知余弦求边长 11．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，一次函数的图象和性质等知识．根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值,再证明即可得到答案． 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， ∴点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 12．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，中，，于点D，则下列比值：其中可以表示的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，三角形内角和定理，根据余弦的定义可得在中，，在中，，利用三角形内角和定理证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，可以表示的有，共3个， 故选；B． 13．（22-23九年级上·河南焦作·期末）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理可求出的长，利用余弦的定义即可得答案． 【详解】由图可知，∵，， ∴， ∴， 故选：B． 14．（22-23九年级上·河南洛阳·期末）在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再根据余弦的定义即可求得的值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选． 15．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在矩形中，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易证，由矩形的性质得出，则，得出，由勾股定理得，即可得出结果． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 矩形， ∴， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 四边形是矩形， ， 故选：D． 16．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，如果，，那么等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据余弦的定义，得出，设，则，勾股定理得出，根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵在中，，， 设，则， ∵ ∴ ∴， ∴， 故选：B． 17．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，点D在AC上，．若，，则BD的长度为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的概念求出的长，再根据勾股定理求出的长，再证明，从而得出比例关系，求出的长． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 18．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点（网格线交点）上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】直接根据图象计算即可． 【详解】解：∵正方形网格中，的顶点均在格点上， ∴，，， ∴ ∴， 故答案为． 19．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是 ． 【答案】 【分析】延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案． 【详解】解：延长到，连接，如图： ，，， ， ， ， 故答案为： ． 20．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函数，勾股定理；由之间三角形的特征得，的余弦得，由勾股定理得，求出，由余弦的定义可求，即可求解；理解正投影，将正投影的长转化为的长是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 在直线n上的正投影的长是． 21．（22-23九年级上·河南商丘·期末）在中，．则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意设，则，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， 设，则 ∴, ∴， 故答案为：． 题型三 求角的正切值已知正切值求边长 22．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 23．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，，垂足为D．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理证明，得到，再解直角三角形得到，据此求出，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 24．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，为等边三角形内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理、正切的定义，先证明把逆时针旋转后，与重合，与重合，再根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，最后根据正切的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，, 把逆时针旋转后，与重合，与重合， ， ， ， 为直角三角形， ， ， 故选：B． 25．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在矩形中，点E在上，使点D落在边上的点F处，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和翻折的性质以及勾股定理，求出，再求出，在中，根据勾股定理得：，可求出，再利用锐角三角形函数即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可知：，， ∴， ∴， ∵， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴ 故选：D． 26．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切函数的定义，勾股定理及其逆定理，正确理解正切函数的定义和勾股定理及其逆定理是解答本题的关键，先根据勾股定理计算，，的值，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切函数的定义，即可得到答案． 【详解】根据勾股定理计算得 ， ， ， ， ， ， 故选A． 27．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】C 【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B， ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2）， ∴OC＝2， ∵， ∴BD＝2， ∵tan∠BOC， ∴， ∴OD＝4， ∴点B的坐标为（2，4）， ∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B， ∴， 故选C． 28．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图，已知正方形的边长为2，如果将线段绕点B旋转后，点D落在的延长线上的点处，那么等于 ．    【答案】/ 【分析】本题考查求角的正切值，根据正方形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴，， ∴，， ∵将线段绕点B旋转后，点D落在的延长线上的点处， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 29．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得，由折叠的性质得，，证得，再由，解得的值，设，则，利用矩形的性质求得，在中，由勾股定理计算求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 30．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空． (1)平移线段，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段，并写出点D的坐标为______； (2)将线段绕点A逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，连接，求的正切值； (3)在y轴上找出点F，使的周长最小，并直接写出点F的坐标为______． 【答案】(1) (2)图见解析，2 (3) 【分析】题目主要考查正切的定义，图形的平移、旋转及最短路径问题，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据图形的平移作出相应图形，然后读出点的坐标即可； （2）先作出旋转后的图形，然后利用勾股定理逆定理及正切函数的定义求解即可； （3）利用轴对称作出点B的对称点，然后连接交y轴即为所求． 【详解】（1）如图所示，， 故答案为：； （2）如图所示，， ∴， ∴的形状为直角三角形， ∴的正切值； （3）作B点关于y轴对称点，连接交y轴于F点，此时的周长最小，， 故答案为：． 31．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，于点D，E是的中点，连接并延长交于点F．，． (1)求的长及的正切值． (2)若，则_________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，结合勾股定理和平行线分线段成比例求解是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，再求出，即可得到结果； （2）过F作交于点G，根据，对应边成比例即可求得结果； 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得： ， ∵E是的中点， ∴， ∴； （2）解：过F作交于点G，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ， ， ，， 即， 解得， ，， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为． 32．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知a、b、c分别是的内角的对边，且，．若方程的两个实数根的平方和等于的斜边c的平方，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式进行解答即可； （2）根据，，求出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，根据，得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：在中，，， ∴， 设，则， ， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 不妨设原方程的两根为：， ，由根与系数的关系，得： ，， ， ∵， ∴， 解得：，， 又∵方程有两个不相等的实数根，必须满足， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 锐角三角函数3大题型 题型一 求角的正弦值及已知正弦值求边长 1．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在反比例函数的图象上，轴于点H，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，点，，均在正方形网格纸中的格点上，则的值是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在边长为5的菱形中，对角线，点O为菱形的中心，作，垂足为E，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，点都在格点上，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图所示，点在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为a，，则t的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 7．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图是简化的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图，AB为助滑道，BC为着陆坡，着陆坡倾角为，A点与B点的高度差为h，A点与C点的高度差为120m，着陆坡BC长度为（    ） A． B． C． D． 8．（20-21九年级上·河南新乡·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都正方形的顶点上，则 ． 10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和的三角函数值有关．根据如图，请你用的正弦（或余弦，或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度 ． 题型二 求角的余弦值及已知余弦求边长 11．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）如图，中，，于点D，则下列比值：其中可以表示的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．（22-23九年级上·河南焦作·期末）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ）    A．1 B． C． D． 14．（22-23九年级上·河南洛阳·期末）在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 15．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在矩形中，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 16．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，如果，，那么等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，点D在AC上，．若，，则BD的长度为（    ） A． B． C． D．4 18．（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点（网格线交点）上，则的值为 ． 19．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是 ． 20．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是 ． 21．（22-23九年级上·河南商丘·期末）在中，．则 ． 题型三 求角的正切值已知正切值求边长 22．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 23．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，，垂足为D．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，为等边三角形内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在矩形中，点E在上，使点D落在边上的点F处，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（    ）    A． B． C． D． 27．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 28．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图，已知正方形的边长为2，如果将线段绕点B旋转后，点D落在的延长线上的点处，那么等于 ．    29．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕 ． 30．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空． (1)平移线段，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段，并写出点D的坐标为______； (2)将线段绕点A逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，连接，求的正切值； (3)在y轴上找出点F，使的周长最小，并直接写出点F的坐标为______． 31．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，于点D，E是的中点，连接并延长交于点F．，． (1)求的长及的正切值． (2)若，则_________． 32．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知a、b、c分别是的内角的对边，且，．若方程的两个实数根的平方和等于的斜边c的平方，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$