精品解析：广东省深圳市沙井中学2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

沙井中学2024－2025学年第一学期期中考试 _____年级数学试卷 本试卷共4页，满分_____100分，考试用时90分钟． 一、选择题：本题共8题，每题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD=AB D. ∠BAD＝∠ADC 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点．已知，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点D，交线段于点C．若点C为线段的中点，的面积为，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分． 9. 已知，那么________． 10. 若实数a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 11. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 12. 如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则可列方程___________． 13. 如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为______． 三、解答题：本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 16. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 17. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 18. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 19. 【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 20. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙井中学2024－2025学年第一学期期中考试 _____年级数学试卷 本试卷共4页，满分_____100分，考试用时90分钟． 一、选择题：本题共8题，每题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题目要求 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案． 【详解】解：该几何体的俯视图是： 故选：D． 2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（） A. ∠ABC＝90° B. AC＝BD C. AD=AB D. ∠BAD＝∠ADC 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据矩形的判定进行解答. 【详解】根据题意，四边形ABCD是平行四边形， A. 有一个是直角的平行四边形是矩形，不符合题意，该选项错误； B. 对角线相等的平行四边是矩形，不符合题意，该选项错误； C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意，该选项正确； D. 平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180，根据∠BAD＝∠ADC得到∠BAD＝∠ADC=90，是矩形，不符合题意，该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形判定的简单应用，解题的关键是掌握矩形的判定定理，明确矩形和平行四边形、菱形、正方形之间区别. 3. 若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， 故选：A． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，一元二次方程有实数根应满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值应大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且， 故选：C 5. 某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a，每次降价的百分率为x，则第一次降价后为；第二次降价后为，即：原数降价的百分率降低后的售价． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为为， 则， 解得：，（舍去）， 故选A． 6. 在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； ②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限， 观察只有B选项符合， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点．已知，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，作交点G，则，证明得到，，则可求出，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：如图，作交于点G， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴的长为， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点D，交线段于点C．若点C为线段的中点，的面积为，则k的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】作轴，根据k的几何意义得出，进而得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出，，然后根据中点定义得，进而求出答案． 【详解】如图，过点A作轴，于点E，连接． 可知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点C是的中点， ∴， 即， 解得． 故选：D． 【点睛】这是一道反比例函数与几何图形的综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数中k的几何意义，求三角形的面积等．过某一点作坐标轴的垂线构造直角三角形是解决此类问题的常用方法． 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分． 9. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 10. 若实数a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到a+b=4即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，． 11. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵口袋中有6个小球，分别为2个红球和4个绿球， ∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，牢记概率公式是求解本题的关键，难度较小． 12. 如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形空地长为，宽为，设人行通道的宽度为米，可表示出两块相同的矩形绿地的长和宽，根据两块相同的矩形绿地面积之和为，由此即可求解． 【详解】解：∵矩形空地长为，宽为，设人行通道的宽度为米， ∴两块相同的矩形绿地的长为，宽为，且面积之和为， ∴，整理得，， ∴设人行通道的宽度为米，列方程． 【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的运用，掌握解一元二次方程与实际问题中的数量关系的综合是解题的关键． 13. 如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取中点F，连接．由等边三角形的性质结合题意和所作辅助线易证为等边三角形，即得出，从而又易证，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，．易证，得出，从而可求出．即又易证，得出，进而证明，得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】如图，连接，取中点F，连接． ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，综合性强，较难．正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得：， 15. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）100， 条形图如图所示， （2），10 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以360度即可求出圆心角； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“羽毛球”人数所占比例为：， 所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：，10； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：     ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（甲、乙两人被选中）． 16. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 【答案】（1）如图线段EF即为DE的投影． （2）DE=14m． 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻的光线互相平行,作平行线即可, （2）利用三角形相似,列出比例式即可解题. 【详解】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F； （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90° ∴△ABC∽△DEF． ∴AB：DE=BC：EF， ∵AB=7m，BC=4m，EF=8 ∴7：4=DE：8 ∴DE=14（m）． 【点睛】本题考查了平行投影,属于简单题,熟悉同一时刻物长与影长的比值相同是解题关键. 17. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为 （2）售价应降低3元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2017年及2019年“阳光玫瑰”的种植面积列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据总利润、每千克的利润、销售数量的关系列出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x， 依题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 18. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3） 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是　 　； ③当时，线段不能通过直角弯道． （3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值． 任务三：成果迁移 （4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为　　　　．（参考数据：） 【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10 【解析】 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解； （4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图形可知是等腰直角三角形，则， 故答案为：； （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． （4）如图4，过点A作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 设直线与的交点为P，则， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ， ∴， ∵， ∴的最大整数值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键． 20. 【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】（1）相等 （2）成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴∠； （3）6或2 【解析】 【分析】（1）利用证明 ，得； （2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立； （3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立． 【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：相等； （2）略 （3）当点D在线段上时，如图2， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上可知，的长为2或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解（1）的关键，证明是解（2）（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $