专题5.12 二次函数（2大知识点9类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.12 二次函数（8大知识点16类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【知识点2】二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点3】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点4】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点5】二次函数图象的变换 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： (2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【知识点6】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点7】二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点8】二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 第二部分【题型展示与方法点拨】 知识点与题型目录 【考点一：二次函数的定义】 【题型1】列二次函数关系式...................................................4 【题型2】二次函数及其参数...................................................6 【考点二：二次函数的图像和性质】 【题型3】二次函数对称轴、顶点坐标、最值、增减性.............................8 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判断........................10 【题型5】待定系数法求二次函数的解析式......................................12 【题型6】二次函数的平移....................................................14 【题型7】二次函数的对称性..................................................17 【题型8】二次函数的增减性..................................................19 【考点三：二次函数与一元二次方程】 【题型9】抛物线与坐标轴的交点坐标.........................................22 【题型10】数形结合求一元二次不等式解集....................................24 【题型11】求抛物线与坐标轴的截线长........................................27 【考点四：用二次函数解决问题】 【题型12】图形与图形运动问题..............................................29 【题型13】拱桥、喷水与掷球问题............................................31 【题型14】销售利润问题....................................................33 【题型15】周长、面积、角度问题............................................37 【题型16】特殊三角形、四边形问题..........................................43 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】列二次函数关系式 【例1】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】(1)；； (2)围成面积为的花圃，的长为米。 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． 解：（1）依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 【变式1】（19-20九年级上·安徽淮北·期中）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可． 解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x， 矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0＜x＜30）． 故选：C． 【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键． 【变式2】（21-22九年级上·辽宁大连·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案． 解：∵BD=1，AD=y， ∴AB=y+1， ∵AB=AC， ∴AC=y+1， 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1， 在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1， ∴2y+1=x2-1， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式． 【题型2】二次函数及其参数 【例2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 【答案】(1)，，原点到直线的距离是 (2)当且时，这个函数是二次函数 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点． （1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离； （2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可． 解：（1）解：根据一次函数的定义，得， 解得：或， 又∵，即． ∴当时，这个函数是一次函数． 此时，函数， 将点代入得：； 令，则， 令，则， 故函数与坐标轴的交点为和， 两交点的距离为， 故原点到直线的距离． （2）解：根据二次函数的定义，得， 解得且． ∴当且时，这个函数是二次函数． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若关于x的函数是二次函数，且其有最大值，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质与定义求解即可． 解：∵关于x的函数是二次函数，且其有最大值， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将和时，多项式的值相等理解为和时，二次函数的值相等是解题的关键． 解：∵和时，多项式的值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴当时， ． 故选：C． 【题型3】二次函数对称轴、顶点坐标、最值、增减性 【例3】（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）已知抛物线． (1)通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； (2)当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)，；(2)当时，函数有最大值，最大值是． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可得到答案； （2）根据二次函数的顶点式即可得到结果． 解：（1）∵抛物线 ∴该抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线； （2）∵抛物线解析式 ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值是． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）关于二次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．将解析式化为顶点式，得出开口向下，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 解：关于二次函数， 则，开口向下，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误； 当时，y随x的增大而减小，故选项D正确； 故选：D． 【变式2】（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判断 【例4】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）函数和函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴在y轴右侧，故选项错误； 、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； 、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴在y轴右侧，故选项正确； 、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的象应该开口向上，故选项错误． 故选：． 【变式1】（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质是解题关键．由抛物线图象可知，，，进而判断一次函数和反比例函数的图象即可． 解：抛物线的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在正半轴， ，，， 函数的图象经过第一、三、四象限，函数在第一、三象限， 故选：B． 【变式2】（15-16九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点拨】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 【题型5】待定系数法求二次函数的解析式 【例5】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）已知一个二次函数的图象的顶点坐标是，且图象经过点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求y的最大值． 【答案】(1)；(2)当时，取得最大值，最大值为1． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将二次函数设为顶点式，利用待定系数法进行计算即可； （2）根据二次函数的性质求出对称轴，找出函数的最值即可． 解：（1）设这个二次函数的解析式为， 将点代入，得，解得， 这个二次函数的解析式为； （2）该二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为． 又， 抛物线开口向下， 在的范围内，当时，取得最大值，最大值为1． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线形状、开口方向，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据抛物线形状、开口方向得到，根据顶点为即可得出解析式． 解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∵抛物线顶点为， ∴抛物线解析式为，． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的方法是解题的关键． 把的坐标代入，求出，然后把的坐标代入可得出、的关系，即可求解． 解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ， ， 故答案为：． 【题型6】二次函数的平移 【例6】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示的抛物线是由抛物线经过平移而得到，这是抛物线过原点O和x轴正半轴上一点A，顶点为P ， ． (1)求抛物线的顶点P的坐标及抛物线的表达式 (2)求抛物线对应的二次函数在时的最大值和最小值 【答案】(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标及等腰直角三角形的性质是解答此题的关键． （1）抛物线由平移得到，设，再把代入可得到，故过P作轴于M，，，再根据P是抛物线顶点可知，故可得出，，由此可得出a的值，进而得出其抛物线的解析式； （2）根据（1）中抛物线的顶点坐标与解析式可知，抛物线对应的二次函数在  时，当时，y有最大值；当时y有最小值． 解：（1）解：∵抛物线由平移得到，设往右平移a个单位，往上平移b个单位 ∴， ∵抛物线过，代入得， ， ∴顶点的坐标为 过P作轴于M， ， ∵P是抛物线顶点， ∴， ∴，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵由（1）可知抛物线的顶点，解析式为， ∴其对称轴为． ∵在区间上，抛物线开口向下， ∴最大值出现在对称轴上，即处， 当，． 最小值出现在区间的端点上， 当时，； 当时，． 所以，在上，抛物线的最大值为1，最小值为． 【变式1】（2023·广东广州·一模）抛物线G：与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是（        ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，进而求出直线的解析式为，再推出抛物线G沿直线平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线上，设抛物线H的顶点坐标为，则抛物线H的解析式为，进而求出，则的最大值为． 解：在中，当时，，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为，即抛物线的顶点在直线上， ∴抛物线G沿直线平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线上， 设抛物线H的顶点坐标为， ∴抛物线H的解析式为， 在中，令，则， ∴的最大值为， 故选B． 【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线H的顶点坐标一定在直线上是解题的关键． 【变式2】（2022·广西贵港·二模）定义运算“※”：，如：．若函数的图象过点，将该函数图象向右平移，当它再次经过点P时，所得的图象函数表达式为 ． 【答案】 【分析】先根据新运算规则得出函数关系式，把P点代入函数式求出c值，设图象向右平移k个单位，得出，再把P（1，-2）代入函数式求k值，即可解决问题． 解：由题意得：， 则 ， 设图象向右平移k个单位， 则， ∵图象再次经过点P， ∴， 解得k=2或0（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了新定义的运算法则计算，二次函数的平移和求函数值，解题的关键是根据图象平移的性质设． 【题型7】二次函数的对称性 【例7】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图像经过，两点． (1)当时，判断与的大小． (2)当时，求的取值范围． (3)若此函数图像还经过点，且，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析。 【分析】（1）当时，分别把代入解析式，计算出，比较即可； （2）先求出，再根据，解不等式即可； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，得，由，计算可得答案． 解：（1）当时， ， ， ； （2）， 又， ， ； （3）二次函数的对称轴为直线， 二次函数经过两点， ，即， ， ． 【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的对称轴的性质，解题的关键是掌握二次函数图像上点的坐标满足其解析式． 【变式1】（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 … y … 4 0 0 a … 其中，a的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4． 解：∵时，；时，， ∴该二次函数的对称轴为， ∴当时，y的值和当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，， ∴a的值为4． 故选A． 【点拨】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键． 【变式2】（23-24九年级下·上海·自主招生）为不相等的实数，满足，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据求出，进而可求出的值． 解：∵， ∴与关于抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【题型8】二次函数的增减性 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）请在下面横线上写一个y关于x的函数解析式，使它满足：当时，y随x的增大而减小． (1)若y是x的一次函数，则______； (2)若y是x的反比例函数，则______； (3)若y是x的二次函数，则______． 【答案】(1)（答案不唯一）；(2)（答案不唯一）；(3)（答案不唯一）。 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数的增减性解答即可； （2）根据反比例函数的增减性解答即可； （3）根据二次函数的增减性解答即可； 解：（1）∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）； （3）∵当时，y随x的增大而减小， ∴，对称轴直线， ∴（答案不唯一）．． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（2023·山东济南·一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出平移后的函数解析式，然后结合二次函数的增减性与对称轴的关系可求． 解：∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象， ∴ ∴新图象的对称轴为直线， ∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下， ∴， 解得， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数性质的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题． 【变式2】（23-24九年级上·山东东营·期中）已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性即可得出结论． 解：由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∵抛物线上有三点，分别为，，，且， ∴， 故选：A． 【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知拋物线与直线相交于点（点在点右侧），且． （1）的值是 ． （2）直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，．若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键． （1）先求出拋物线与直线交点横坐标，然后根据即可求出的值； （2）设，，表示出的长，然后利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）当时，， 解得， ， 即； （2）当时，拋物线为，点，点，顶点为． 直线与轴交于点． 设，， 则， ∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得． 【题型9】抛物线与坐标轴的交点坐标 【例9】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)，。 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即即可； （2）根据题意，令，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值． 解：（1）证明：令得： ， ， 方程有两个不等的实数根，原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）解：令，则， 所以， 解得， 【变式1】（21-22九年级下·上海·自主招生）已知与x轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，若M是抛物线在第一象限内的动点，则的最大值为（   ） A． B．7 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数的平移，根的判别式；先求出A、B两点的坐标，然后求出直线解析式，然后联立得到方程，根据方程有解得到，解得，然后计算最大值即可． 解：当时，；令，则，解得：（舍去），， ∴与正坐标轴的交点分别为， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 若使最大，M到直线的距离最大， ∴设经过点M且与直线平行的直线解析式为， 则对于方程，即有解， 有：， 解得，即时，最大， ∴； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求的点C、点D的坐标成为解题的关键． 先求解A，B的坐标，进而求得点C的坐标，令，即可求得点D的坐标，然后求得的长即可． 解：∵， ∴当时，，解得：，， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∵是半圆的直径， ∴， 当时，， ∴D点坐标为， ∴， ∴． 故答案为3． 【题型10】数形结合求一元二次不等式解集 【例10】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求m和n的值； (2)求抛物线的解析式； (3)结合图象直接写出满足的x的取值范围． 【答案】(1)，；(2)；(3)或。 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 （1）根据题意可知在直线上，将代入即可求出的值； （2）由（1）得到的坐标，代入抛物线即可求出的值，进而得到抛物线的解析式； （3）由图可知的图象是在点的左侧和点右侧部分的图象，结合的坐标即可得到答案． 解：（1）把和代入得，，， ，； （2）把和代入得， ， 解得， 抛物线的解析式； （3）解：由图可知的图象是在点的左侧和点右侧部分的图象， ∵和， ∴x的取值范围是或． 【变式1】（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）若二次函数的图象经过点，利用抛物线可知不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用二次函数图象解不等式，涉及二次函数图象与性质、二次函数图象与坐标轴交点坐标求法，先由待定系数法确定抛物线解析式，求出抛物线与轴的交点，再由二次函数图象与性质得到抛物线开口向上，即可确定不等式的解集，熟练掌握利用二次函数图象解不等式的方法是解决问题的关键． 解：二次函数的图象经过点， ，解得，则抛物线， 令，则，即，解得，， ， 抛物线开口向上， 当，抛物线在轴及轴下方， 不等式的解集是， 故答案为：． 【题型11】求抛物线与坐标轴的截线长 【例11】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2)或。 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 解：（1）当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）当时，， 得， ，， ， 或． 【变式1】（2022·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两点的横坐标为、，由题意知，，，由，可得，计算求解即可． 解：设A、B两点的横坐标为、， 由题意知：，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，抛物线与x轴的截线长问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理，以及抛物线与x轴的截线长等于，利用求解． 【变式2】（21-22九年级上·广东汕头·期末）若抛物线与x轴交于、两点，若，则c的最大值是 ． 【答案】0 【分析】根据根与系数关系定理，结合，转化为不等式组，求解集后定最大值． 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴ ∴， 解得， 故c的范围是， c的最大值是0． 故答案为：0 【点拨】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，不等式组的解法，不等式求最值，熟练掌握定理与不等式组的解法是解题的关键． 【题型12】图形与图形运动问题 【例12】（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)如果花圃的面积为45平方米，那么的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，花圃面积最大？ 【答案】(1)5米； (2)米。 【分析】本题主要考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． （1）依据题意，可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式，再将代入其中，求出的值即可． （2）可根据（1）中解析式化成顶点式即可判断得解． 解：（1）由题可知，花圃的宽为米，则为米， 这时面积． 花圃的面积为45平方米， ． ，． 又墙的最大可用长度为10米， ． ． ，不合题意，舍去． 的长为5米． （2）． 当时，有最大值． 故当的长为时，花圃面积最大． 【变式1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 【答案】200 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，会求二次函数的最值．根据题意设养殖园的面积为平方米，宽为米，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可． 解：设养殖园的面积为平方米，宽为米，则长为米， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为200． 即围成养殖园的最大面积平方米． 故答案为：200． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，、两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：由题意得，，，则， ∴的面积是， ∴， 当时，有最大面积，最大面积是， 故答案为：． 【题型13】拱桥、喷水与掷球问题 【例13】（24-25九年级上·江西上饶·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）把时，代入（1）的解析式，求出y的值即可求出结论． 解：（1）根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； 抛物线的解析式为：． （2）这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行判断即可． 解：当时，， 当时，，故①正确； 当时，，故点火后火箭没有落于地面，故②错误； 当时，，解得， 小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为，故③正确； 由，当时，小火箭飞行过程中与地面的最大距离为，故④正确． 故答案为：①③④． 【题型14】销售利润问题 【例14】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． (1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） (2)若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ (3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)120， (2)4元或6元 (3)当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用． （1）由每降低1元，则每天的销售量可增加列式即可； （2）根据（1）中所得关系式列方程计算出的值即可； （3）根据总利润与降价元的函数关系式，配方求出最大值即可； 解：（1）若单价降低2元，则每天的销售量是千克； 若单价降低元，则每天的销售量是千克； 故答案为：120，； （2）设单价应降价元， ， 解得，， 答：单价应降价4元或6元； （3）设利润为元，单价降低元， ， ， 有最大值， 当时，的最大值是2250． 答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 【变式1】（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示．当批发商在进货后第 天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 【答案】4或32/32或4 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出与之间的函数关系式是，设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得：当： ，解得：（舍）或当时，，解得： ． 解：当，设解析式为：， 把和代入得：， 解得：． ． 当时，， 故与之间的函数关系式是； 设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得： 当：， 由上得， ∴， 化简得： 解得：（舍）或 当时，， 由上得， 解得： ， 故答案为：4或32． 【题型15】周长、面积、角度问题 【例15】（24-25九年级上·广西河池·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，对称轴公式求出对称轴即可； （2）连接，与对称轴的交点即为点，进行求解即可； （3）根据，得到点的纵坐标为，进行求解即可． 解：（1）∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴， ∴对称轴为直线：； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 连接， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； （3）∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，点与点关于对称轴对称， ∴， 当时，，此方程无解， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选： A． 【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 解：在中，当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 在中，当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，则，如图，   ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， 即， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【题型16】特殊三角形、四边形问题 【例16】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知抛物线和． (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，点P是线段上一点．过点P作直线轴交抛物线于点Q，连接．当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度； (2) 【分析】（1）将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，即得； （2）求出，代入求得，得到，设交x轴于点N，，则，根据等腰三角形性质得到，得到，解得点的横坐标为． 解：（1）解：将向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到； （2）解：当时， ， ∴， 代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为：， 设交x轴于点N，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴点的横坐标为． 【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数平移，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，等腰三角形性质，是解决问题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 解：作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或． 【分析】本题考查二次函数与几何综合、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． 先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． 解：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴； 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.12 二次函数（8大知识点16类题型）（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【知识点2】二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点3】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点4】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点5】二次函数图象的变换 (1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： (2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【知识点6】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点7】二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点8】二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 第二部分【题型展示与方法点拨】 知识点与题型目录 【考点一：二次函数的定义】 【题型1】列二次函数关系式...................................................4 【题型2】二次函数及其参数...................................................5 【考点二：二次函数的图像和性质】 【题型3】二次函数对称轴、顶点坐标、最值、增减性.............................5 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判断.........................5 【题型5】待定系数法求二次函数的解析式.......................................6 【题型6】二次函数的平移.....................................................7 【题型7】二次函数的对称性...................................................7 【题型8】二次函数的增减性...................................................8 【考点三：二次函数与一元二次方程】 【题型9】抛物线与坐标轴的交点坐标..........................................8 【题型10】数形结合求一元二次不等式解集.....................................9 【题型11】求抛物线与坐标轴的截线长........................................10 【考点四：用二次函数解决问题】 【题型12】图形与图形运动问题..............................................10 【题型13】拱桥、喷水与掷球问题............................................11 【题型14】销售利润问题....................................................12 【题型15】周长、面积、角度问题............................................13 【题型16】特殊三角形、四边形问题..........................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】列二次函数关系式 【例1】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【变式1】（19-20九年级上·安徽淮北·期中）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·辽宁大连·期末）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 ． 【题型2】二次函数及其参数 【例2】（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若关于x的函数是二次函数，且其有最大值，则 ． 【变式2】（23-24七年级上·广东广州·期中）已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于(　　) A．7 B．9 C．3 D．5 【题型3】二次函数对称轴、顶点坐标、最值、增减性 【例3】（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）已知抛物线． (1)通过配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴； (2)当x取何值时，函数有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）关于二次函数的性质，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2】（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【题型4】二次函数、一次函数、反比例函数图象综合判断 【例4】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）函数和函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式1】（2024·全国·二模）如图是抛物线的图象，则函数和在同一坐标系中的图象是（　   ） A． B． C． D． 【变式2】（15-16九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【题型5】待定系数法求二次函数的解析式 【例5】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）已知一个二次函数的图象的顶点坐标是，且图象经过点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，求y的最大值． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【题型6】二次函数的平移 【例6】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示的抛物线是由抛物线经过平移而得到，这是抛物线过原点O和x轴正半轴上一点A，顶点为P ， ． (1)求抛物线的顶点P的坐标及抛物线的表达式 (2)求抛物线对应的二次函数在时的最大值和最小值 【变式1】（2023·广东广州·一模）抛物线G：与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线平移得到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是（        ）． A． B． C． D． 【变式2】（2022·广西贵港·二模）定义运算“※”：，如：．若函数的图象过点，将该函数图象向右平移，当它再次经过点P时，所得的图象函数表达式为 ． 【题型7】二次函数的对称性 【例7】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图像经过，两点． (1)当时，判断与的大小． (2)当时，求的取值范围． (3)若此函数图像还经过点，且，求证：． 【变式1】（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 … y … 4 0 0 a … 其中，a的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（23-24九年级下·上海·自主招生）为不相等的实数，满足，且，则 ． 【题型8】二次函数的增减性 【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）请在下面横线上写一个y关于x的函数解析式，使它满足：当时，y随x的增大而减小． (1)若y是x的一次函数，则______； (2)若y是x的反比例函数，则______； (3)若y是x的二次函数，则______． 【变式1】（2023·山东济南·一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东东营·期中）已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知拋物线与直线相交于点（点在点右侧），且． （1）的值是 ． （2）直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，．若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【题型9】抛物线与坐标轴的交点坐标 【例9】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线． (1)求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； (2)若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 【变式1】（21-22九年级下·上海·自主招生）已知与x轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，若M是抛物线在第一象限内的动点，则的最大值为（   ） A． B．7 C．6 D． 【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为 ． 【题型10】数形结合求一元二次不等式解集 【例10】（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求m和n的值； (2)求抛物线的解析式； (3)结合图象直接写出满足的x的取值范围． 【变式1】（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）若二次函数的图象经过点，利用抛物线可知不等式的解集是 ． 【题型11】求抛物线与坐标轴的截线长 【例11】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【变式1】（2022·四川眉山·二模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，且，则m的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·广东汕头·期末）若抛物线与x轴交于、两点，若，则c的最大值是 ． 【题型12】图形与图形运动问题 【例12】（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)如果花圃的面积为45平方米，那么的长为多少米？ (2)当的长为多少米时，花圃面积最大？ 【变式1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户用80米长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾．如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是 平方米． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，、两点同时停止运动．则的最大面积是 ． 【题型13】拱桥、喷水与掷球问题 【例13】（24-25九年级上·江西上饶·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论： ①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同； ②点火后火箭落于地面； ③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为； ④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为． 其中正确的推论是 ． 【题型14】销售利润问题 【例14】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． (1)若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） (2)若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ (3)当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【变式1】（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示．当批发商在进货后第 天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 【题型15】周长、面积、角度问题 【例15】（24-25九年级上·广西河池·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 【变式1】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ． 【题型16】特殊三角形、四边形问题 【例16】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）已知抛物线和． (1)如何将抛物线平移得到抛物线？ (2)如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，点P是线段上一点．过点P作直线轴交抛物线于点Q，连接．当时，求点P的横坐标． 【变式1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【变式2】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$