2.2.1直线的点斜式方程导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

———————————————————————————————————————————————— 课题 直线的点斜式方程 学习 目标 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程.(数学运算) 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.(数学抽象) 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.(数学运算) 重点 难点 1. 教学重点：直线方程的点斜式的推导过程 2. 教学难点：掌握直线方程的点斜式，斜截式并会应用 学法指导 学导练的模式下，充分发挥学生主体性，讨论法，指导法让学生自己去探究直线的几何特征与代数关系的关系，从而自己推导出直线的点斜式方程，然后从一般到特殊，把点特殊化，从而得到直线的斜截式方程，再结合直线平行与垂直的判定，发现直线斜截式平行与垂直的判定。每一个板块的题目对应练习到位，让学生从知识点走向做题。讲授法与练习法结合，充分将知识点渗透到题目中，达到练习的完美效果。 学 案 内 容 导学过程 一、复习导入 1.直线的斜率： （1）已知倾斜角， ______________ （2）已知直线上两点,__________ （3）已知直线方向向量_________ 2.两条直线平行与垂直的判定 两条不重合的直线与，，________ ________ 3.确定一条直线的几何要素 （1）___________________________ （2）___________________________ 二、新知探究 问题1：我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，能唯一确定一条直线. 你能否将直线上任意一点的坐标满足的关系表示出来？ 追问：反之，坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的每个点都在直线上? 1.直线的点斜式方程 我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程．方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式 思考1：当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？ 思考2：当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？ 问题2：特别的，若直线经过点，斜率为，此时直线方程如何表示？ 2.直线的斜截式 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，和均有明显几何意义：是直线斜率，是直线在轴上截距。 思考1：截距是距离吗? 思考2方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道, 一次函数的图象是一条直线, 你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b? 问题3：已知直线，，试讨论： （1）的条件是什么?（2）的条件是什么？ 3.根据直线的斜截式方程判断两条直线平行与垂直 已知直线， ，且；． 三、例题讲解 例1：写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(3,-1),斜率是; (2)经过点(,2),倾斜角是30°; (3)经过点(0,3),倾斜角是0°; (4)经过点(-4,-2),倾斜角是. (5)过(-2,3)，(5,-4)两点. 例2：倾斜角为与轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_____. 例3： (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程. 四、课堂练习 练习1：写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与轴平行； (3)经过点，且与轴垂直. 练习2：已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求的斜截式方程. 练习3：(1)当为何值时，直线：与直线：平行？ (2)当为何值时，直线：与直线：垂直？ 五、课堂小结 1、本节课你学习了哪些知识？ 2. 本节课你体会到哪些数学思想？ 3.猜想下节课会从哪个方面研究直线方程？ 课后收获 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ———————————————————————————————————————————————— 课题 直线的点斜式方程 学习 目标 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程.(数学运算) 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.(数学抽象) 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.(数学运算) 重点 难点 1. 教学重点：直线方程的点斜式的推导过程 2. 教学难点：掌握直线方程的点斜式，斜截式并会应用 学法指导 学导练的模式下，充分发挥学生主体性，讨论法，指导法让学生自己去探究直线的几何特征与代数关系的关系，从而自己推导出直线的点斜式方程，然后从一般到特殊，把点特殊化，从而得到直线的斜截式方程，再结合直线平行与垂直的判定，发现直线斜截式平行与垂直的判定。每一个板块的题目对应练习到位，让学生从知识点走向做题。讲授法与练习法结合，充分将知识点渗透到题目中，达到练习的完美效果。 教 案 内 容 教学过程 一、复习导入 1.直线的斜率 （1）已知倾斜角， ， （2）已知直线上两点, （3）已知直线方向向量， 2.两条直线平行与垂直的判定 3.确定一条直线的几何要素 （1）直线上两点 （2）直线上一点和直线的方向（斜率或倾斜角） 二、新知探究 问题1：我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点和斜率(或倾斜角)，能唯一确定一条直线. 你能否将直线上任意一点的坐标满足的关系表示出来？ 直线经过点，且斜率为．设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即． 由上述推导过程可知：直线l上每个点的坐标(x, y)都满足关系式y－y0=k(x－x0)； 追问：反之，坐标满足关系式y－y0=k(x－x0)的每个点都在直线上? 事实上，若点的坐标，满足关系式，则． 当时，，这时点与重合，显然有点在直线上； 当时，有，这表明过点，的直线的斜率为． 因为，的斜率都为且都过点，所以它们重合．所以，点在直线上． 由（1）（2）可得：坐标满足关系式的点一定在直线上； 直线上任意一点的坐标一定满足关系式． 设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率之间关系的探究，体会直线上任意一点的坐标可以由给定点的坐标和斜率确定，这个关系式是唯一的.利用坐标法将平面上直线代数化，并得到直线方程的基本过程，知道建立直线方程的意义与价值.明白研究几何图形可以将其几何特性与代数表达一一对应来研究，体会数形结合的思想。 1.直线的点斜式方程 我们把方程称为过点，斜率为的直线的方程． 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式 思考1：当直线的倾斜角为时，直线的方程是什么？为什么？ 思考2：当直线的倾斜角为时，直线的方程如何表示？为什么？ 当直线的倾斜角为时(图2.2-2)，，即，这时直线与轴平行或重合，直线的方程是，即． 当直线的倾斜角为时（图2.2-3)，由于无意义，直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，即． 问题2：特别的，若直线经过点，斜率为，此时直线方程如何表示？ 如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 设计意图：点斜式方程中涉及的几何要素“点”特殊化，探索并得到直线的斜截式方程。学生自主推导从而体会到从一般到特殊的数学思想。 2.直线的斜截式 我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，和均有明显几何意义：是直线斜率，是直线在轴上截距。 思考1：截距是距离吗? 截距不一定是距离，因为截距表示直线与坐标轴交点的对应坐标，分为纵截距和横截距, 它们可以是正,负或零, 是实数; 而距离指长度, 为非负数。 思考2方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道, 一次函数的图象是一条直线, 你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b? 一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0(否则就不是一次函数). 设计意图：体会直线斜截式方程与一次函数表达式的区别与联系 问题3：已知直线，，试讨论： （1）的条件是什么?（2）的条件是什么？ 分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现或时，，与应满足的关系． 解：（1）若，则，此时，与轴的交点不同，即；反之，若，且，则． （2）若，则；反之，若，则． 我们得到，对于直线，， ，且；． 3.根据直线的斜截式方程判断两条直线平行与垂直 已知直线， ，且；． 三、例题讲解 例1：写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(3,-1),斜率是; (2)经过点(,2),倾斜角是30°; (3)经过点(0,3),倾斜角是0°; (4)经过点(-4,-2),倾斜角是. (5)过(-2,3)，(5,-4)两点. 例2：倾斜角为与轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_____. 【答案】 或. 例3： (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程. 解：(1)由得， 由两直线平行知， 所以所求直线方程为. (2)由得， 由两直线垂直知， 所以.所以所求直线方程为. 四、课堂练习 练习1：写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与轴平行； (3)经过点，且与轴垂直. 解：(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为 (2)由题意知，直线的斜率，所以直线的点斜式方程为. (3)由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为该直线没有点斜式方程. 练习2：已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求的斜截式方程. 解：设直线方程为 则当时，；时， 由已知可得即∴ 故所求直线的斜截式方程为或 练习3：(1)当为何值时，直线：与直线：平行？ (2)当为何值时，直线：与直线：垂直？ 解：(1)由题意可知，，. ∵，∴解得.故当时，直线与直线平行. (2)由题意可知，， ∵，∴，解得故当时，直线与直线垂直. 五、课堂小结 1.本节课你学习了哪些知识？ 直线点斜式与斜截式方程，直线斜截式方程平行与垂直的判定。 2.本节课你体会到哪些数学思想？ 数形结合、从一般到特殊、几何特征与代数表达的一一对应 3.猜想下节课会从哪个方面研究直线方程？ 两点可以确定一条直线（两点式） 课后反思 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$