5.3 实际问题与一元一次方程---工程、行程问题 课件 2024-2025学年人教版数学七年级上册

5.3 实际问题与一元一次方程 ——工程、行程问题 人教版七年级上册 学习重点难点 重点：掌握工程问题中工作量、工作效率、工作时间的关系和行程问题中的相遇、追及及其综合问题。 难点：建立方程模型解决问题的数学思想 如果把总工作量设为1，则人均效率 (一个人 1 h 完成的工作量) 为 ，x人先做 4h 完成的工作量为 ，增加 2 人后再做 8h 完成的工作量为 ，这两个工作量之和等于1. 例1、整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；工作总量=各部分工作量之和. 题中的等量关系：前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1 例题讲解 解：设先安排 x 人做4 h。 根据先后两个时间段的工作量之 和等于总工作量，可列出方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排 2人做4 小时. 效率 人数 天数 工作量 前 后 例题讲解 4 8 解决工程问题的基本思路： 1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间. 2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和. (1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和. 3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1. 课堂归纳 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？ 分析：把工作量看作单位1，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，根据工作效率×工作时间=工作量，列方程. 课堂练习 解方程，得 x = 8. 答：要8天可以铺好这条管线. 解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得 课堂练习 加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？ 效率 时间 工作量 甲 乙 x 12-x 分析：若设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务。 例题讲解 解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12-x）天. 依题意，得 解得 x=8. 答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务. 例题讲解 变式：若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？ 效率 时间 工作量 甲 乙 8 x 分析：若设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天。 例题讲解 解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天. 依题意，得 解得 x=4, 答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任务. 则 8-x=4. 例题讲解 分析： 家 学校 爸爸 小明 例 小明早晨要在7：20以前赶到距家1000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现 他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他． （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 80×5 80x 180x 追及问题 解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示. 据题意有： 80×5＋80x=180x. 答：爸爸追上小明用了4分钟． （2）180×4=720（米），1000－720=280（米）. 答：追上小明时，距离学校还有280米． 解之得 ： x=4. 80×5 80x 180x 追及问题 Q1:在上面同向同地不同时的追及问题中，有何等量关系？ Q2:还存在其它类型追及问题吗？ 追及问题 解：设快车x小时追上慢车，据题意得： 85x=450+65x. 解之得： x=22.5. 答：快车22.5小时追上慢车． 甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站 开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米．设两车同时开出，同向而行， 则快车几小时后追上慢车？ 等量关系： 快车行驶路程=慢车行驶路程＋相距路程. 课堂练习 (1)对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程－乙的行程＝两出发地的距离； 甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题： 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． 归纳总结 (2)对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程． 注意：同向而行注意始发时间和地点． 归纳总结 例 小明家离学校2.9公里，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ [分析] 1.线段图为： 2.等量关系是：小明所走路程＋爸爸所走路程＝全路程 3.注意单位的统一：2.9公里＝2900米． 相遇问题 解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明。 答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明． 据题意得：200x＋60(x＋5)＝2900 解之得： x＝10 分析： 家 学校 爸爸 小明 200x 60(x＋5) 2.9公里 相遇问题 A，B两地相距60千米，甲、乙两人分别从A，B两地出发相向而行，甲的速度是8千米/时，乙的速度是6千米/时．经过多长时间两人相距4千米？ 8x 6x 60 4 A B 8x 6x 60 4 A B 课堂练习 两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题． 往往根据路程之和等于总路程列方程． 如图所示，甲的行程＋乙的行程＝两地距离． 归纳总结 操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？ 分 析 小华 小明 同时同地同向而行 能相遇 环形跑道问题 操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？ 分 析 小华 小明 同时同地同向而行 拓展训练： 经过几秒钟两人第三次相遇？ 解：设经过x秒两人第一次相遇，依题意，得 10x-5x=400, 解得x=80. 答：经过80秒两人第一次相遇 环形跑道问题 操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，两人同时同地相背而行，则两个人何时相遇？ 分 析 小华 小明 同时同地 相背而行 解：设经过x秒两人第一次相遇，依题意，得 10x+5x=400, 解得x= . 答：经过 秒两人第一次相遇 环形跑道问题 问题的已 知条件 解决行程问题的基本步骤： 画出线 段图 找出等 量关系 列方程 并求解 回答 同向追及问题 同地不同时： 同时不同地： 甲路程＋路程差＝乙路程 甲路程＝乙路程 相向相遇问题 甲的路程＋乙的路程=总路程 课堂归纳 环形跑道问题：设v甲＞v乙，环形跑道长s米，经过t秒甲、乙第一次相遇. 一般有如下两种情形： ①同时同地、同向而行： v甲t-v乙t=s. ①同时同地、背向而行： v甲t+v乙t=s. 归纳总结 注意：单位一致。 课堂小结 $$