5.1投影同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

5.1投影 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列现象是物体的投影的是（    ） A．小明看到镜子里的自己 B．灯光下猫咪映在墙上的影子 C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D．掉在地上的树叶 2．如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则为（    ） A． B． C． D． 3．如图，太阳在房子的后方，那么你站在房子的正前方看到的影子为（　　） A． B． C． D． 4．一根笔直的小木棒（记为线段，它的正投影为线段，则下列各式中一定成立的是( ) A． B． C． D． 5．中午12点，身高为的小冰的影长为，同学小雪此时在同一地点的影长为，那么小雪的身高为（   ）． A． B． C． D． 6．从中午到傍晚，太阳光下影子的变化是（    ） A．越来越长 B．越来越短 C．一直没变化 D．有时长有时短 7．和是直立在水平地面上的两根立柱，米，某一时刻测得在阳光下的投影米，同时，测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．拿着一块正方形纸板在阳光下做投影实验，正方形纸板在投影面上形成的投影不可能是（  ） A．正方形 B．长方形 C．线段 D．三角形 9．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ）    A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米 10．一张矩形纸片在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等边三角形 11．下列哪种光线形成的投影不是中心投影（      ） A．探照灯 B．太阳 C．手电筒 D．路灯 12．在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是（    ） A．A的左侧 B．A、B之间 C．C的右侧 D．B，C之间． 二、填空题 13．如图是小孔成像原理的示意图，点与物体的距离为，与像的距离是，. 若物体的高度为，则像的高度是 . 14．操场上的篮球架上的篮球板长1.8m,高1.2m,当太阳光与地面成45°角投射到篮板时，它在地面上留下的阴影部分的面积为 ． 15．如图是王芳同学某一天观察到的一棵树在不同时刻的影子，请你把它们按时间先后顺序进行排列是 ． 16．学校的阶梯教室做成阶梯形的原因是 ． 17．如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是m，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1m，地面上的影长为m，请你帮算一下树高是 m． 三、解答题 18．如图，小明在晚上由路灯C底部A走向路灯D底部B，当他行至点P处时，发现他在路灯D下的影长为2米，影子顶端正好落在A点，接着他又走了6.5米至点Q处，此时在路灯C下的影子的顶端正好落在B点.已知小明身高1.8米，灯杆高9米. (1)标出小明站在点P处时，在路灯D下的影子； (2)计算小明站在点Q处时，在路灯C下的影子的长度； (3)求灯杆的高度. 19．已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，﹣1），C（3，0）． （1）在图1中，画出以点O为位似中心，放大△ABC到原来的2倍的△A1B1C1； （2）若P（a，b）是AB边上一点，平移△ABC之后，点P的对应点P'的坐标是（a+3，b﹣2），在图2中画出平移后的△A2B2C2． 20．如图，路灯下竖立的一根木杆（用线段表示）的影子，小明（用线段表示）的影子是． (1)请在图中画出路灯的位置（用点P表示）； (2)若此路灯距地面高8米，小红的身高1.6米在距离灯的底部左侧6米N处，此时小红沿方向向左直走，求当小红的影长是5米时，她所走的路程． 21．如图，是小亮晚上散步回家的场景，图中线段表示站立在路灯左侧的小亮，线段表示直立在地面上的路灯，点P表示照明灯的位置．当小亮与路灯之间的距离时，其身后的影长为，已知小亮的身高为，当小亮步行至路灯右侧且距路灯的点D处时，小亮身前的影长是多少米？（结果用分数表示）    22．如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上. (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______. (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理. (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明； 24．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D A A B D A D 题号 11 12 答案 B B 1．B 【分析】根据投影的性质判断即可. 【详解】解：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影， A项、C项、D项都和影子无关， 故选B. 【点睛】本题考查投影的性质，解题的关键是理解投影的性质即可判断. 2．D 【分析】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 3．C 【详解】根据平行投影的性质可知烟囱的影子应该在右下方，房子左边对应的突起应该在影子的左边． 4．D 【分析】本题考查平行投影、正投影的定义，注意同一物体的所处的位置不同得到正投影也不同．投影线垂直于投影底幕面时，称正投影，根据木棒的不同位置可得不同的线段长度． 【详解】解：根据正投影的定义，当与投影面平行时，，当与投影面不平行时，大于．当垂直于投影面时，投影为点． ． 故选：． 5．A 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度．设小雪的身高为，根据在同一时刻物高与影长的比相等得到，然后根据比例性质求x即可．通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 【详解】设小雪的身高为，根据题意得 ， 解得． 所以小雪的身高为． 故选A． 6．A 【分析】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，培养了学生的观察能力．根据生活实际，结合一天中影子的变化规律，从中午到傍晚，太阳光下影子的变化是越来越长，据此解答即可． 【详解】解：从中午到傍晚，太阳光下影子的变化是越来越长． 故选：A． 7．B 【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m， ∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m ∴， ∴， ∴DE=（m） 故选：B． 【点睛】本题考查了平行投影，解题的关键是记住在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 8．D 【分析】根据平行投影的性质进行分析即可得出答案． 【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段； 将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为正方形或长方形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且正方形四边相等，故得到的投影不可能是三角形． 故选D． 【点睛】本题考查了投影与视图的有关知识，是一道与实际生活密切相关的热点试题，灵活运用平行投影的性质是解题的关键． 9．A 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴，则， ∵米，米，则米， ∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，    即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为：米， 故选：A． 【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 10．D 【分析】根据平行投影的性质求解可得． 【详解】一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是等边三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 11．B 【分析】找到不是灯光的光源 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为平行投影，故选B． 【点睛】解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 12．B 【分析】本题考查了中心投影；根据中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，根据影子与木杆的连线，可以得到光源所在位置． 【详解】解：如图所示， 故选：B． 13．7 【分析】根据三角形相似对应线段成比例即可得出答案. 【详解】 作OE⊥AB与点E，OF⊥CD于点F 根据题意可得：△ABO∽△DCO，OE=30cm，OF=14cm ∴ 即 解得：CD=7cm 故答案为7. 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，注意两三角形相似不仅对应边成比例，对应中线和对应高线也成比例，周长同样成比例，均等于相似比. 14．2.16m² 【分析】根据平行投影，篮板在地面上的阴影部分为矩形，此矩形的长等于篮板长，为1.8m，由于太阳光与地面成45°角，根据等腰直角三角形的性质得矩形的宽等于篮板宽，为1.2m，然后根据矩形得面积公式求解． 【详解】因为太阳光线是平行光线， 所以篮板在地面上的阴影部分为矩形，此矩形的长等于篮板长，为1.8m， 由于太阳光与地面成45°角，则矩形的宽等于篮板宽，为1.2m， 所以篮板长留在地面上的阴影部分面积=1.8×1.2=2.16（m2）． 故答案为2.16m2． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．太阳光线是平行光线． 15．B、A、C、D 【分析】太阳是东升西落,因此影子应该从西方向北方运动. 【详解】解：∵太阳是东升西落, ∴影子应该从西方向北方运动,并且长度应该经历了从长变短再变长的过程, 故正确排序是B、A、C、D 【点睛】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,认真观察生活实际是解题关键. 16．减少学生的盲区（看不见的地方），使得每人都能看到黑板 【分析】在相同的视点，视角越大，看到的范围越广． 【详解】解：结合盲区的定义,我们可以知道学校的阶梯教室做成阶梯形是为了然后面的同学有更大的视野从而减少盲区,使得没人都能看到黑板,因此学校的阶梯教室做成阶梯形的原因是减少学生的盲区(看不见的地方)，使得每人都能看到黑板. 故答案为减少学生的盲区（看不见的地方），使得每人都能看到黑板 【点睛】本题结合实际考查学生对视线、盲区的理解. 17．4 【分析】利用物高比影长等于物高比影长，求出地面上的影长为m的树的高度，再加上墙壁上的影高，即为树高． 【详解】解：设地面上的影长为m的树的高度为， 由题意，得：， 解得：， ∴树高为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影中物高比影长等于物高比影长，是解题的关键． 18．（1）见解析；（2）在路灯C下的影子的长度为1.5米；（2）12米 【分析】（1）连接DP与直线AB的交点即为所求； （2）根据题意可得到，再结合，可以得出，接下来利用相似三角形的对应边成比例可得，结合已知边长即可得出QB的长度； （3）同理可判断，利用相似三角形对应边成比例可得，结合已知边的长度即可求出AC的高度. 【详解】解：（1）如图，线段即为小明在路灯D下的影子. (2)设小明在路灯C下的影长为x米，如图. ∵，， ∴. 又∵， ∴. ∴，即. 解得. ∴小明站在点Q处时，在路灯C下的影子的长度为1.5米. (3)由题意易知，， ∴. 设米，则， 解得. ∴灯杆的高度为12米. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，用到知识点为：两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例．另外，解答此类问题首先要把生活中的实际问题转化为数学问题来解决. 19．（1）见解析；（2）见解析； 【分析】(1)连接OA并延长，使OA1=2OA，则A1就是A的对应点，同理可以作出B，C的对应点，顺次连接就是所求三角形． (2)平移后，同一图形上各点的坐标变化规律是一样的，由P点坐标变化可知先将图形向右平移3个单位，再向下平移2个单位. 【详解】如图：         △就是所求作的三角形                                    如图△就是所求作的三角形 【点睛】本题主要考查了画位似图形和图形平移. 20．(1)见解析 (2)14米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用： （1）连接，并延长交于点P，即可； （2）过点P作于点H，设当小红的影长是5米时，到达点， 表示小红的身高，表示此时的影长，则米，米，，可得，从而得到米，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）解：如图，过点P作于点H，设当小红的影长是5米时，到达点， 表示小红的身高，表示此时的影长，则米，米，， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米， 即当小红的影长是5米时，她所走的路程14米． 21．小亮身前的影长是米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，连接并延长，与地面交于点E，再连接并延长，与地面交于点F，先设米，由，和都垂直于地面，可得出，，由相似三角形的性质得出，先求出的值，当米时，设小亮的影长是y米，由相似三角形的性质得出，代入即可求出y值，即小亮身前的影长． 【详解】解：如答图，连接并延长，与地面交于点E，再连接并延长，与地面交于点F，    先设米， ，和都垂直于地面， ∴， ，， 则当米时，米， ，即， ； 当米时，设小亮的影长是y米， ， ， ． 答：小亮身前的影长是米． 22． 【分析】根据题意，得，，继而得到，，列比例式，解答即可． 本题考查了中心投影，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 答：路灯高为． 23．(1)， (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，而， ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 24．(1)、； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）①利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明； ②根据正方形的性质和勾股定理，求得，，再利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：根据题意可知，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：、； （2）证明：， ， ， ， ， ， ； （3）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②解：正方形的边长为15， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ．    【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 学科网（北京）股份有限公司 $$