专题05解直角三角形（考题猜想，易错必刷50题14种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

专题05 解直角三角形（易错必刷50题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正弦、余弦、正切的概念辨析 · 求角的正弦、余弦、正切值 · 已知正弦、余弦、正切值求边长 · 特殊三角形的三角函数 · 特殊角的三角函数判断三角形形状 · 特殊教的三角函数求角的度数 · 三角函数综合 · 特殊三角函数的混合计算 · 解直角三角形 · 解非直角三角形 · 俯角仰角问题 · 方位角问题 · 坡度坡比问题 · 其他问题 一．正弦、余弦、正切的概念辨析（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 3．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 二、求角的正弦、余弦、正切值（共4小题） 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在等腰，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义，过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出，再根据等腰三角形“三线合一”求出，根据勾股定理求出的值，最后根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点D， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理等知识点，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 在中，由于，因而可设，，根据勾股定理可求得，由即可求出答案． 【详解】解：如图， ， 可设，， 根据勾股定理可得： ， ， 故选：． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求角的正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ， ， ， ∵，则， 设，则， ， 解得：或， ， ， ， 故答案为：． 三、已知正弦、余弦、正切值求边长（共4小题） 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为 ，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，则，如图，作于，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 如图，作于， ∴cm，cm，cm， ∴cm， ∴cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦等知识．熟练掌握平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦是解题的关键． 9．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 10．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则 【答案】8 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦、余弦的定义是解题关键． 根据题意得出，确定，然后再利用余弦求解即可． 【详解】解： ，， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：8． 11．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 四、特殊三角形的三角函数（共4小题） 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、乘方，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】 ， ， 故选：D． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）实数，，，，，，中无理数的个数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，特殊角的三角函数值，求一个数的算术平方根， 先求出特殊角的三角函数值，算术平方根，然后再根据无理数的定义即可得出答案． 【详解】解：，，，， 其中无理数有：，，一共有2个， 故选：A． 15．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是证明三角形． 证明，得出，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 五、特殊角的三角函数判断三角形形状（共4小题） 16．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 17．（2017·安徽芜湖·一模）在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 18．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状是锐角三角形． 故选：C． 19．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 六、特殊角的三角函数求角的度数（共4小题） 20．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据45度角的正切值为1得到，则． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：C． 21．（24-25九年级上·全国·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 22．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么锐角的度数是 【答案】/60度 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 23．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知α为锐角， 且，则α等于 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由，α为锐角，得到，即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，α为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 七、三角函数综合（共4小题） 24．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，点C是射线上的动点，连接，作，动点E在延长线上，连接，当时，的长是 【答案】5或 【分析】过点C作于N，过点D作延长线于M，连接，，设则，再证可得，，由点C、M、D、E 四点共圆可得是等腰直角三角形，于是，由勾股定理求得可得，在中由勾股定理建立方程求得x，进而得出答案 【详解】解∶如图，过点C作于N，过点D作延长线于M，连接， 设， ， ，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中∶ ，， ， 点C、M、D、E四点共圆， ， ， 是等腰直角三角形， ， 中，， 中，，， 中，， ， ， 解得：或， ， 或， 【点睛】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 25．（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 26．（21-22九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明、、、四点共圆，推出，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到，由勾股定理得到，再由正弦函数即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 27．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质． 【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点旋转，得到，当的顶点恰好落在的斜边上时，斜边与交于点． ①猜想：__________； ②证明：； 【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长； 【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 【答案】（1）①，②证明见解析；（2）；（3）的长为或． 【分析】（1）①依据题意，可得从而在以G为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得到的度数； ②依据题意，由旋转的性质可知，，又，进而可以得解； （2）依据题意可求出的长，又的锐角顶点恰好落在的斜边上，从而可得在以为圆心，为半径的圆上，则，进而求出，再结合，可得设，则，，进而建立方程计算可以得解； （3）依据题意，分两种情形进行讨论：①当落在上时，②当落在上时，分别求解即可． 【详解】解：①由题意可知，， ∴、、在以为圆心，为半径的圆上， ， 故答案为：； ②证明：由旋转的性质可知， ， ； （2）∵，，， ∴，， 的锐角顶点恰好落在的斜边上， ， ∴在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ∵， ， 设，则，， ， ∴解得：， 经检验，是方程的解， ∴， ， （3）①当E落在上时，如图所示，连接， 由是中点和旋转可知，， 又∵， ， ， ， 又∵四边形是菱形， ， ∴和在同一直线，在的延长线上，由（1）①可知，(已证)， ， ， ∵菱形中，，，如图所示， ，， ， ， 又∵， ， 在中，，， ， 和菱形等底等高， ， ， ， ； ②当落在上时，如图所示，作交于点，如图： 由旋转可知，， ， ∵四边形是菱形， ，， ∴在对角线的中点上，即在和的交点上， ∵是的中点，是的中点， ，，，， 由旋转可知，， ， ， ， ∴四点共圆， 如图所示，连接和， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ∴的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 八、特殊三角函数的混合计算（共3小题） 28．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1)； (2) 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算即可． （2）根据零指数幂，整数指数幂的定义和特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 29．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 30．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数值的实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方再计算除法，最后进行减法计算； （2）根据题意，先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，绝对值，最后合并，整理，得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 九、解直角三角形（共3小题） 31．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 32．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，，，，． (1)求的值； (2)求点B到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握正弦的定义，以及直角三角形的边角关系． （1）根据正弦的定义，即可解答； （2）根据同角的三角函数值，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点B作于点E， ∵， ∴， ∴． 33．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，点E在上，且，过点D作于点F． (1)求的三角函数值； (2)求的三角函数值． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】（1）根据矩形性质得出，，，，证明，根据勾股定理得出，根据三角函数定义求出结果即可； （2）连接，证明，得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ， ∴， ， ． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，相关的判定和性质． 十、解非直角三角形（共5小题） 34．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 35．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 37．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 38．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在ABC中，，，求BC长． 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意，分别解即可求解． 【详解】如图，过点作于点， ， ， ， ， ， 设，在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 十一、俯角仰角问题（共3小题） 39．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 【答案】米 【分析】本题考查直角三角形的应用—仰角俯角问题，过点作于点，连接、，证明四边形为矩形，得出，在中，在中，分别解直角三角形得出、的长，最后再由计算即可得解．解题的关键是掌握仰角俯角定义及解直角三角形． 【详解】解：如图，过点作于点，连接、， ∴， 由题意知：，，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：亚帆灯塔的高的值为米． 40．（24-25九年级上·陕西·期中）图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】西安电视塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：西安电视塔的高度约为． 41．（24-25九年级上·山西临汾·期中）应县木塔位于山西省朔州市应县佛宫寺内，是世界上现存最高大、最古老纯木结构楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”，某校科技小组开展了测量该木塔高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量应县木塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果    如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得 米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的印角 … 已知测角仪的高度为1.3米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度（精确到1米）． （参考数据：，，） 【答案】67米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，利用三角函数解可得，解可得米，再根据，解出x的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形，米， ∴米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴， 解得， ∴（米）（米）． 答：塔的高度为67米． 十二、方位角问题（共3小题） 42．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 【答案】不会，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 过点P作，E是垂足．与都可以根据三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条路会不会穿越保护区． 【详解】解：如图，过点P作，E是垂足． 则线段的长，就是点P到直线的距离， 根据题意，，， 则在和中， ， ， 而， 即， ∴ ， ∵，即保护区中心到公路的距离大于半径100千米， ∴公路不会穿越保护区． 43．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 【答案】(1)与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； (2)巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． （1）作于，设海里，根据正切的概念求出，根据题意列方程，解方程即可；作于，设，用表示出，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （2）由（1）的结果，即可作出判断． 【详解】（1）解：作于， 设海里， 在中，， 在中，， ， 则， 解得，， ， ，，， 作于， 设，则， ，， ， ， 则， 解得，，则， ∵， ∴， 答：与之间的距离为200海里；与之间的距离为海里； （2）解：由（1）得 ∴巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中无触暗礁危险． 44．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，客轮在处测得灯塔位于北偏东方向上，客轮从处以30海里的速度沿南偏东方向航行，后到达码头处，此时测得灯塔位于码头北偏东方向，求码头到灯塔的距离．（结果保留根号）    【答案】码头到灯塔的距离为海里． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：海里，，，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，    由题意得：（海里），，， ， ， ， ， 在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， 海里， 码头到灯塔的距离为海里． 十三、坡度坡比问题（共3小题） 45．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡AB的坡度得到的比值，设，则，求出的长，设，得到，的长，由列方程求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点E，过点B作于点F，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡AB的坡度； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴建筑物的高度约为． 46．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 47．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 十四、其他问题（共3小题） 48．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）过点E作于点G，过点D作于点H，在中求出，进而求出即可； （2）过点C作于点P，于点K，由题意得，在中求出，在中求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作于点G，过点D作于点H， ， ， ， 答：站牌边缘，点D与棚顶边缘点E的水平距离为． （2）解：过点C作于点P，于点K， ， ， ， ， ， ， 答：棚顶边缘点E到地面的距离为． 49．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． (1)求点D到的距离；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到，参考数据） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用,涉及矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过D点作DE⊥OC于E点，在，先求得，，然后利用锐角三角函数求解即可； （2）过D点作于F点，证明四边形是矩形得到，，，进而得到，求得，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解． 【详解】（1）解：过D点作于E点，则 ， 在中， ∵， ∴， 答：点D到的距离为； （2）解：过D点作于F点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴(cm)， 即的长度为． 50．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． $$专题05 解直角三角形（易错必刷50题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正弦、余弦、正切的概念辨析 · 求角的正弦、余弦、正切值 · 已知正弦、余弦、正切值求边长 · 特殊三角形的三角函数 · 特殊角的三角函数判断三角形形状 · 特殊教的三角函数求角的度数 · 三角函数综合 · 特殊三角函数的混合计算 · 解直角三角形 · 解非直角三角形 · 俯角仰角问题 · 方位角问题 · 坡度坡比问题 · 其他问题 一．正弦、余弦、正切的概念辨析（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 二、求角的正弦、余弦、正切值（共4小题） 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在等腰，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东泰安·期中）在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 三、已知正弦、余弦、正切值求边长（共4小题） 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为 ，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 9．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 10．（22-23九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则 11．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 四、特殊三角形的三角函数（共4小题） 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D．3 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）实数，，，，，，中无理数的个数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 15．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 五、特殊角的三角函数判断三角形形状（共4小题） 16．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 17．（2017·安徽芜湖·一模）在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 18．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 19．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 六、特殊角的三角函数求角的度数（共4小题） 20．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·全国·期末）在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 22．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么锐角的度数是 23．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知α为锐角， 且，则α等于 ． 七、三角函数综合（共4小题） 24．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，点C是射线上的动点，连接，作，动点E在延长线上，连接，当时，的长是 25．（2023·上海普陀·三模）如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 26．（21-22九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    27．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质． 【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点旋转，得到，当的顶点恰好落在的斜边上时，斜边与交于点． ①猜想：__________； ②证明：； 【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长； 【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 八、特殊三角函数的混合计算（共3小题） 28．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算 (1)； (2) 29．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算∶ (1)； (2) 30．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1) (2)． 九、解直角三角形（共3小题） 31．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 32．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，，，，． (1)求的值； (2)求点B到直线的距离． 33．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，点E在上，且，过点D作于点F． (1)求的三角函数值； (2)求的三角函数值． 十、解非直角三角形（共5小题） 34．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 35．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 36．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 37．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 38．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在ABC中，，，求BC长． 十一、俯角仰角问题（共3小题） 39．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①是象山亚帆中心地标性建筑亚帆灯塔．某数学兴趣小组测量亚帆灯塔的高度后绘制了如图②所示的示意图．在其附近高为的高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．求亚帆灯塔的高．（结果精确到）【参考数据：，，】 40．（24-25九年级上·陕西·期中）图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，） 41．（24-25九年级上·山西临汾·期中）应县木塔位于山西省朔州市应县佛宫寺内，是世界上现存最高大、最古老纯木结构楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”，某校科技小组开展了测量该木塔高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量应县木塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果    如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得 米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的印角 … 已知测角仪的高度为1.3米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度（精确到1米）． （参考数据：，，） 十二、方位角问题（共3小题） 42．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，A，B两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量．森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问：计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？请说明理由．（参考数据） 43．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有、两艘巡逻船，现均收到故障船的求救信号．已知、两船相距海里，船在船的北偏东60°方向上，船在船的东南方向上，上有一观测点，测得船正好在观测点的南偏东75°方向上． (1)分别求出与，与之间的距离和（如果运算结果有根号，请保留根号）． (2)已知距观测点处100海里范围内有暗礁．若巡逻船沿直线去营救船，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，） 44．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，客轮在处测得灯塔位于北偏东方向上，客轮从处以30海里的速度沿南偏东方向航行，后到达码头处，此时测得灯塔位于码头北偏东方向，求码头到灯塔的距离．（结果保留根号）    十三、坡度坡比问题（共3小题） 45．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下： 活动报告 活动目的 测量建筑物的高度 活动过程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图） 步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器 步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为． 步骤四：计算建筑物的高度 请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度． （参考数据：） 46．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 47．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 十四、其他问题（共3小题） 48．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图1是公交车的站台，主要由顶棚、站牌、底座构成．图2是其截面示意图，站牌截面是矩形，边平行于地面，边垂直于地面，顶棚与站牌上端的夹角，底座与地面的夹角．经测量．（结果精确到；参考数据：） (1)求站牌边缘点D与棚顶边缘点E的水平距离； (2)求棚顶边缘点E到地面的距离． 49．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且． (1)求点D到的距离；（结果保留根号） (2)求的长．（结果精确到，参考数据） 50．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） $$