三角函数与解三角形解答题专题突破练-2025届高三数学二轮复习

专题突破练10　三角函数与解三角形解答题 1.(2023·天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,∠A=120°. (1)求sin B的值; (2)求c的值; (3)求sin(B-C)的值. 2.(2024·新高考Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 3.(2022·新高考Ⅰ,18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)若C=,求B; (2)求的最小值. 4.(2024·福建泉州高三模拟)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)图象上的任意两点,f(0)=1,且当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为. (1)求f(x)的解析式; (2)当x∈[-]时,[f(x)]2-mf(x)-m≤0恒成立,求实数m的取值范围. 5.在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b=. (1)若cos Acos C=,求△ABC的面积; (2)试问=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由. 6.设n次多项式Pn(t)=antn+an-1tn-1+…+a2t2+a1t+a0(an≠0),若其满足Pn(cos x)=cos nx,则称这些多项式Pn(t)为切比雪夫多项式.例如:由cos θ=cos θ可得切比雪夫多项式P1(x)=x,由cos 2θ=2cos2θ-1可得切比雪夫多项式P2(x)=2x2-1. (1)若切比雪夫多项式P3(x)=ax3+bx2+cx+d,求实数a,b,c,d的值. (2)对于正整数n≥3,是否有Pn(x)=2x·Pn-1(x)-Pn-2(x)成立? (3)已知函数f(x)=8x3-6x-1在区间(-1,1)上有3个不同的零点,分别记为x1,x2,x3,证明:x1+x2+x3=0. 答案 1.解 (1)由已知及正弦定理,得, ∵a=,b=2,∠A=120°, ∴sin B=. (2)(方法一)由(1)及已知,得cos B=,sin C=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=cos B-sin B=. 由正弦定理,得c==5. (方法二)∵b2+c2-2bccos A=a2, ∴4+c2-2×2c×(-)=39, 整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去). (3)∵C为锐角,∴cos C=. ∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C==-. 2.解 (1)∵sin A+cos A=2, ∴2sin(A+)=2, ∴sin(A+)=1. 又A∈(0,π),∴A+,∴A=. (2)∵bsin C=csin 2B, ∴bsin C=2csin Bcos B, ∴bc=2bccos B,∴cos B=. 又B∈(0,π),∴B=, ∴C=π-A-B=. 在△ABC中,由正弦定理得=4. ∴b=4sin B=2,c=4sin C=4sin=4sin()=,∴a+b+c=2+3,即△ABC的周长为2+3. 3.解 ∵,且cos B≠0, ∴由得cos Acos B=sin B(1+sin A), ∴cos Acos B=sin B+sin Asin B, ∴sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C>0. ∴sin B>0,cos C<0, ∴<C<π,0<B<. ∴sin B=sin, ∴B=C-或B+C-=π(舍去). (1)若C=,则0<B<, ∴sin B=-cos C=-cos. ∴B=. (2)(方法一)由正弦定理得,(*) ∵C=+B,A+B+C=π, ∴A+B++B=π,∴A=-2B. 又0<A<,∴0<B<. ∴(*)式为===. 令cos2B=t,则t∈,于是原式==4t+-5≥2-5=4-5, 当且仅当即t=时取等号. ∴的最小值为4-5. (方法二)∵sin B=-cos C,B=C-, ∴A=π-(B+C)=-2C. 又0<A<,∴<C<, ∴<sin2C<1. ∴sin A=sin(B+C)=sin=-cos 2C, ∴====+4sin2C-5 ≥2-5=4-5, 当且仅当sin2C=时,有最小值4-5. 4.解 (1)由题知,f(0)=sin φ=1,即sin φ=,又0<φ<,所以φ=. 因为当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为,所以,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+). (2)当x∈[-]时,2x+∈[0,],所以0≤sin(2x+)≤1,所以f(x)∈[0,]. 令t=f(x),则当x∈-时,[f(x)]2-mf(x)-m≤0恒成立,等价于当t∈[0,]时,t2-mt-m≤0恒成立,即当t∈[0,]时,m≥恒成立,设g(t)=,则g'(t)=. 当t∈[0,]时,g'(t)≥0,所以g(t)在区间[0,]上单调递增,所以g(t)max=g()==2-2. 所以m≥2-2,即实数m的取值范围为[2-2,+∞). 5.解 (1)由B=,得A+C=,cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,即=cos Acos C-sin Asin C. 因为cos Acos C=, 所以sin Asin C=. 因为=2, 所以a=2sin A,c=2sin C. 所以S△ABC=·2sin A·2sin C·sin B=4sin Asin Bsin C=4×. (2)假设=1能成立,所以a+c=ac. 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B, 所以6=a2+c2+ac. 所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0, 所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c≥2,所以=1不成立. 6.(1)解 依题意,P3(cos θ)=cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ=(2cos2θ-1)cos θ-2sin2θcos θ=2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)cos θ=4cos3θ-3cos θ, 因此P3(x)=4x3-3x,即ax3+bx2+cx+d=4x3-3x,所以a=4,b=d=0,c=-3. (2)解 Pn+1(x)=2x·Pn(x)-Pn-1(x)成立. 这个性质是容易证明的,只需考虑公式cos(n+1)θ+cos(n-1)θ=2cos nθ·cos θ. 首先有如下两个式子: Pn+1(cos θ)=cos(nθ+θ)=cos nθcos θ-sin nθsin θ, Pn-1(cos θ)=cos(nθ-θ)=cos nθcos θ+sin nθsin θ, 两式相加得,Pn-1(cos θ)+Pn+1(cos θ)=2cos nθcos θ=2Pn(cos θ)cos θ, 将cos θ替换为x,所以Pn+1(x)=2x·Pn(x)-Pn-1(x). 所以对于正整数n≥3,有Pn(x)=2x·Pn-1(x)-Pn-2(x)成立. (3)证明 函数f(x)=8x3-6x-1在区间(-1,1)上有3个不同的零点x1,x2,x3,即方程4x3-3x=在区间(-1,1)上有3个不同的实根. 令x=cos θ,θ∈(0,π),由(1)知cos 3θ=,而3θ∈(0,3π), 所以3θ=或3θ=或3θ=, 所以x1=cos,x2=cos,x3=cos, 所以x1+x2+x3=cos+cos+cos=cos-(cos+cos), 而cos+cos=cos()+cos()=2coscos=cos,所以x1+x2+x3=0 学科网（北京）股份有限公司 $$