5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质（八大题型）（精练）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质 目录 【题型归纳】 2 题型一：正余弦函数的周期问题 2 题型二：正余弦函数的奇偶问题 3 题型三：正余弦函数的对称问题 5 题型四：正余弦函数的单调问题 7 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 8 题型六：比较大小 12 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 13 题型八：正余弦函数的综合应用 14 【重难点集训】 19 【高考真题】 30 【题型归纳】 题型一：正余弦函数的周期问题 1．（2024·高一·全国·课后作业）若函数满足：①，②，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，函数周期为的偶函数， 函数周期为的奇函数，不适合题意； 函数周期为的偶函数，不适合题意； 函数不具有周期性，不适合题意； 函数周期为的偶函数，适合题意. 故选：D 2．（2024·高一·广东东莞·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】函数的最小正周期为. 故选:D 3．（2024·高一·上海·课后作业）函数的最小正周期（    ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】D 【解析】由题意，函数， 当时，函数，此时函数的最小正周期为； 当时，函数，此时函数的最小正周期为， 所以的最小正周期与无关，且与有关. 故选：D. 4．（2024·高一·全国·随堂练习）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】因为， ，所以函数是最小正周期为. 又因为，所以函数是奇函数. 故函数是最小正周期为的奇函数. 故选：C 题型二：正余弦函数的奇偶问题 5．（2024·高一·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 【答案】奇函数 【解析】令 所以函数的定义域为 令 所以 所以函数为奇函数 故答案为：奇函数 6．（2024·高一·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一，） 【解析】函数为奇函数，则， 所以符合条件的一个的取值可以为. 故答案为： 7．（2024·高一·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知：关于原点对称，可知， 且，所以. 故答案为：. 8．（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）若为偶函数，则 ． 【答案】1 【解析】， 定义域为R， 由题意得， 即， 故，解得. 故答案为：1 9．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【解析】因为函数为奇函数， 所以，所以，所以， 又，所以时，. 故答案为： 10．（2024·高一·上海·阶段练习）函数，若，则 ． 【答案】0 【解析】因为， 可得，所以. 故答案为：0. 题型三：正余弦函数的对称问题 11．（2024·高一·上海·随堂练习）函数的图象关于（    ）． A．y轴对称； B．直线对称； C．原点对称； D．直线对称． 【答案】C 【解析】是奇函数，图象关于原点对称，A错误，C正确； 而，则直线都不是的图象的对称轴，CD错误. 故选：C． 12．（2024·高一·北京海淀·期末）已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，解得，， 对于A，，，则函数的图象关于不对称，A不正确； 对于B，，，则函数的图象关于不对称，B不正确； 对于C，，即，， ，则函数的图象关于对称，C正确； 对于D，，，则函数的图象关于不对称，D不正确. 故选：C 13．（2024·高一·四川达州·阶段练习）若函数满足，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为函数满足， 可得函数关于点对称，所以，且， 所以，则， 又，当时，，所以. 故选：B. 14．（2024·高一·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由的图象关于点对称，得， 由及得，或， 当时，，由得的最小值为； 当时，，由得的最小值为； 综上所述，的最小值为； 故答案为：． 15．（2024·新疆·三模）已知函数的图像关于直线对称，则 ． 【答案】 【解析】的图像关于直线对称， ，解得： 当时，. 故答案为：. 题型四：正余弦函数的单调问题 16．（2024·高一·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 17．（2024·高一·全国·课后作业）的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】由，解得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 18．（2024·高一·内蒙古·阶段练习）函数单调减区间为 【答案】 【解析】正弦函数的单调递减区间为， 由，得， 记，则， 故答案为：. 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 19．（2024·高一·广东佛山·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得到， 又因为在上单调递减，所以， 得到，又，，即， 令，得到， 故选：D. 20．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，可得，解得， 当时，可得， 因为函数在上单调，则， 所以 ，其中，解得， 所以，解得， 又因为，则，所以，所以， 因此的取值范围是． 故选：D． 21．（2024·高三·天津·开学考试）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在内单调递减， 所以，得， 因为是函数的一条对称轴， 所以，① 因为函数是奇函数， 所以，②， 由①②可得，， 而，所以 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数单调递减，符合题意， 所以 当时，，得，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意， 所以. 故选：B 22．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解析】因为，故时，函数取到最大值， 又，可知为的对称中心， 故， 故； 又在上单调，故， 即， 结合选项，当时，，时，函数取到最大值， 故，则， 结合，没有符合题意的值，不合题意； 当时，，时，函数取到最大值， 故，则， 结合，没有符合题意的值，不合题意； 当时，，时，取到最大值， 故，则， 结合，可得，则， 由，得， 由于在上不单调，故在上不单调，不合题意； 当时，，时，取到最大值， 故，则， 结合，可得，则，满足为的对称中心， 由，得， 由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意； 故 故选：A 23．（2024·高一·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 由于是三角形的一个内角，所以， 则， 由于函数在区间上单调， 所以，解得， 即的取值范围为. 故选：B 题型六：比较大小 24．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 又，则，且，即， 因为，所以， 所以. 故选：A 25．（2024·高一·海南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，而， 即，所以. 故选：A 26．（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，，， 因此， 故选：A 27．（2024·高一·江苏苏州·开学考试）设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， ，，即， ． 故． 故选：C． 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 28．（2024·高一·上海·课后作业）函数，值域是 . 【答案】 【解析】因为，所以， ， 所以函数，值域是. 故答案为： 29．（2024·高一·山东潍坊·阶段练习）已知函数，.则的最大值为 . 【答案】1 【解析】因为，所以， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为1． 故答案为：1. 30．（2024·高一·全国·课后作业）使有解的的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由于，若有解， 则，解得， 故答案为：. 31．（2024·高一·河北衡水·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【解析】由于，所以. 又函数， 所以当时，. 故答案为：. 题型八：正余弦函数的综合应用 32．（多选题）（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的一个周期为 C．的图象关于直线对称 D．的值域为 【答案】AC 【解析】对于选项A：令，解得， 可知的定义域为， 且， ， 可得，所以关于对称，故A正确； 对于选项B：因为， 所以不是的周期，故B错误； 对于选项C：因为， 所以是的一条对称轴，故C正确； 对于选项D：令，则， 且在单调递增，则， 可知在上的范围为， 且，可知为奇函数， 则在上的范围为， 所以的值域为，故D错误. 故选：AC. 33．（多选题）（2024·高一·江苏盐城·开学考试）函数在上单调递增，下列命题正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的图象有一个对称中心为 C．是图象的一条对称轴 D．在上的值域为 【答案】ABD 【解析】由，得，而在， 则，解得， 由，解得，则，， 又，因此，， 对于A，当时，，而在上单调递减， 因此在区间上单调递减，A正确； 对于B，，则的图象的一个对称中心为，B正确； 对于C，，则不是图象的对称轴，C错误； 对于D，当时，，， 因此，D正确. 故选：ABD 34．（2024·高一·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【解析】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. （3）因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 35．（2024·高一·广东深圳·期末）已知函数，函数的最小正周期为，且 (1)求函数的解析式: (2)求使成立的的取值范围. 【解析】（1）由，，则， 又，即，即， 又，则，即； （2）若，即， 即有， 即， 故的取值范围为. 36．（2024·高一·河南濮阳·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若在区间上的取值范围是，求实数的最大值. 【解析】（1）的最小正周期， 令， 解得， 所以的单调递减区间为. （2）由，可得， 当时，， 由正弦函数的性质可知，解得. 所以实数m的最大值为. 37．（2024·高一·安徽马鞍山·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)当时，函数的最大值为1，最小值为，求实数的值. 【解析】（1）依题意， 由，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，，则，即， 令，则，显然， 当时，函数在上单调递减，于是，解得， 当时，函数在上单调递增，于是，解得， 所以实数的值为或. 【重难点集训】 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设知：，即， 则，， 所以. 故选：A. 2．音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数表示，则下列结论中正确的个数是（    ） ①是周期为的周期函数 ②是函数的一个单调递增区间 ③若，，则的最小值为 ④的对称中心为， A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】因为,所以周期不是，①错误； ， ，所以不是的单调递增区间，②错误； , 因为设， 所以, 所以, 所以的最小值为，③正确； ,④正确. 故选：C. 3．已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 则. 故选：C. 5．已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②-①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 故选：C. 6．函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，设，则， 由图可知直线在线段之间，不含点， 所以，得． 故选：C. 7．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值， 则，解得， 所以的最小值是. 故选：B 8．已知函数，则图象有如下性质（   ） A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称 C．关于点中心对称 D．关于点中心对称 【答案】C 【解析】ACD选项， ， 故， 故关于点中心对称，C正确，AD错误； B选项，， 故不关于直线轴对称，B错误. 故选：C 9．（多选题）已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A错误； 所以，又， 所以，则，又， 所以，故B正确； 所以， 又，则，因为在上单调递增， 所以，解得，故C正确； 因为，， 所以，故D错误. 故选：BC 10．（多选题）关于函数有下述四个结论，其中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．的最大值为2 D．在有4047个零点 【答案】AC 【解析】由题意得， 所以是偶函数，故A正确，当时，， 此时在区间上单调递减，故B错误， 因为，，所以，且， 所以的最大值为2，故C正确， 当时，，所以此区间上有无数个零点， 故在不可能只有4047个零点，故D错误. 故选：AC 11．（多选题）设，函数，，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．时，在区间上无对称轴 D．时，在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】对于A，，则， 故函数为偶函数，故A错误； 对于B，，则， 故函数为偶函数，故B正确； 对于C，当，时，， ∴，，∴， ∵在区间上无对称轴， 故在区间上无对称轴，故C正确； 对于D，若，当时，． ∴，∴． ∴根据复合函数的单调性，可知时，单调递增， 又在区间上单调递减， ∴在区间上单调递减，故D正确． 故选：BCD. 12．（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 13．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，， 由，得； 由，得， 因此函数， 在上单调递增，函数值从增大到， 在上单调递减，函数值从减小到， 且， 由函数在上有两个零点，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 14．函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 故，令， 得到，由二次函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 而，，故，故原函数值域为. 故答案为： 15．已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围为 ． 【答案】. 【解析】因为函数， 令，可得， 即函数的单调递减区间为， 又因为函数在区间上单调递减，可得， 解得， 又由，可得，即且，所以， 令，可得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)求函数在上的单调区间． 【解析】（1）因为 ； 所以函数的最小正周期为，函数的最大值为； （2）设，解得． 所以函数的单调递减区间是， 又因为， 所以分别取和1，取交集可得在上的单调递减区间为和． 设，解得． 所以函数的单调递增区间是， 又因为， 所以取，取交集可得在上的单调递增区间为． 17．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的最小值及相应的x的值． 【解析】（1）由，则函数最小正周期为． （2）令，∴，， 故函数的单调递增区间为，． （3）时，， 当，即时取得最小值． 18．已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； 列表： 作图： (2)直接写出函数的值域和单调递增区间． 【解析】（1）列表: 0 图象如图所示： （2）因为，则，即值域为. 由解得， 所以函数的递增区间为出 19．已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. (1)求解析式； (2)若函数在上有两个零点，，求的值. 【解析】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值. 因为在是单调函数，且的图象关于点对称， 所以得，所以 又因为函数在时取得最大值，所以，， 即，.因为，所以， 所以：. （2）因为，令，则 在内的图象如图所示， 由题函数在有两个零点，， 即与在内有两个交点，， 数形结合可得：，，即， 所以. 【高考真题】 1．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 3．（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质 目录 【题型归纳】 2 题型一：正余弦函数的周期问题 2 题型二：正余弦函数的奇偶问题 2 题型三：正余弦函数的对称问题 2 题型四：正余弦函数的单调问题 3 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 3 题型六：比较大小 4 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 4 题型八：正余弦函数的综合应用 5 【重难点集训】 6 【高考真题】 10 【题型归纳】 题型一：正余弦函数的周期问题 1．（2024·高一·全国·课后作业）若函数满足：①，②，则可以是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·高一·广东东莞·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．6 D． 3．（2024·高一·上海·课后作业）函数的最小正周期（    ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 4．（2024·高一·全国·随堂练习）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 题型二：正余弦函数的奇偶问题 5．（2024·高一·上海·课后作业）函数的奇偶性是 ． 6．（2024·高一·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 7．（2024·高一·上海·期中）已知函数是奇函数，则 ． 8．（2024·高一·内蒙古赤峰·阶段练习）若为偶函数，则 ． 9．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则 . 10．（2024·高一·上海·阶段练习）函数，若，则 ． 题型三：正余弦函数的对称问题 11．（2024·高一·上海·随堂练习）函数的图象关于（    ）． A．y轴对称； B．直线对称； C．原点对称； D．直线对称． 12．（2024·高一·北京海淀·期末）已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（     ） A． B． C． D． 13．（2024·高一·四川达州·阶段练习）若函数满足，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 14．（2024·高一·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ． 15．（2024·新疆·三模）已知函数的图像关于直线对称，则 ． 题型四：正余弦函数的单调问题 16．（2024·高一·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（2024·高一·全国·课后作业）的单调递增区间为 ． 18．（2024·高一·内蒙古·阶段练习）函数单调减区间为 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 19．（2024·高一·广东佛山·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 21．（2024·高三·天津·开学考试）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·四川巴中·一模）已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 23．（2024·高一·山东聊城·期末）若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六：比较大小 24．（2024·山东临沂·二模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 25．（2024·高一·海南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（2024·高一·江苏苏州·开学考试）设，，，则（ ） A． B． C． D． 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 28．（2024·高一·上海·课后作业）函数，值域是 . 29．（2024·高一·山东潍坊·阶段练习）已知函数，.则的最大值为 . 30．（2024·高一·全国·课后作业）使有解的的取值范围为 ． 31．（2024·高一·河北衡水·期中）函数的最大值为 . 题型八：正余弦函数的综合应用 32．（多选题）（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．的一个周期为 C．的图象关于直线对称 D．的值域为 33．（多选题）（2024·高一·江苏盐城·开学考试）函数在上单调递增，下列命题正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的图象有一个对称中心为 C．是图象的一条对称轴 D．在上的值域为 34．（2024·高一·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 35．（2024·高一·广东深圳·期末）已知函数，函数的最小正周期为，且 (1)求函数的解析式: (2)求使成立的的取值范围. 36．（2024·高一·河南濮阳·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若在区间上的取值范围是，求实数的最大值. 37．（2024·高一·安徽马鞍山·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)当时，函数的最大值为1，最小值为，求实数的值. 【重难点集训】 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘’的各项之和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数表示，则下列结论中正确的个数是（    ） ①是周期为的周期函数 ②是函数的一个单调递增区间 ③若，，则的最小值为 ④的对称中心为， A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则图象有如下性质（   ） A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称 C．关于点中心对称 D．关于点中心对称 9．（多选题）已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）关于函数有下述四个结论，其中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．的最大值为2 D．在有4047个零点 11．（多选题）设，函数，，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．时，在区间上无对称轴 D．时，在区间上单调递减 12．（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 13．已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ． 14．函数的值域为 . 15．已知函数在上单调递减，则实数ω的取值范围为 ． 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)求函数在上的单调区间． 17．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的最小值及相应的x的值． 18．已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； 列表： 作图： (2)直接写出函数的值域和单调递增区间． 19．已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有. (1)求解析式； (2)若函数在上有两个零点，，求的值. 【高考真题】 1．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 3．（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$