5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质（八大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 3 【典型例题】 6 题型一：正余弦函数的周期问题 6 题型二：正余弦函数的奇偶问题 8 题型三：正余弦函数的对称问题 11 题型四：正余弦函数的单调问题 15 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 18 题型六：比较大小 23 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 25 题型八：正余弦函数的综合应用 29 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 知识点诠释： 1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期． 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期． 知识点二：正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点三：正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为． 知识点四：余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点五：余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． 若，则函数不一定有对称轴和对称中心． 【典型例题】 题型一：正余弦函数的周期问题 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 【典例1-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由题意得为最小值，为最大值，所以的最小值为， 所以的最小值为. 故选：A. 【方法技巧与总结】 （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 【变式1-1】（2024·高一·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：B． 【变式1-2】（2024·高一·广西钦州·期末）已知，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，若，则（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或16 【答案】C 【解析】由题意，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点， 且，则的两个相邻的解之间距离为， 而或， 即或， 则，或， 解得或， 故选：C 【变式1-3】（2024·云南·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由周期公式得. 故选：A 【变式1-4】（2024·高一·湖北十堰·期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，则是偶函数. 因为，， 所以是周期为的偶函数. 故选：A. 【变式1-5】（2024·高三·江苏徐州·学业考试）已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由于的图像与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以. 故选：C 题型二：正余弦函数的奇偶问题 【典例2-1】（2024·上海浦东新·二模）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】因为函数是偶函数， 所以，解得， 又， 所以当时，的最小值是. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高一·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 . 【答案】 【解析】由奇函数的性质，可知得.经检验满足题意 故答案为： 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则 . 【答案】或 【解析】由题意知， 即. ∵， ∴当时，； 当时，. 故答案为：或. 【变式2-2】（2024·高一·辽宁大连·期中）关于的方程的一个解 【答案】（答案不唯一） 【解析】令，其中，则， 所以，函数为偶函数， 由，可得， 则原方程的一个解满足，可解得. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式2-3】（2024·高一·上海松江·期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为 ． 【答案】 【解析】解法一：是偶函数，则; 解法二： ， 由于为偶函数，所以，即，所以， 故答案为：. 【变式2-4】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数，则 . 【答案】2023 【解析】因为，所以， 设， 所以为奇函数，所以关于对称， 所以的图象关于对称， 所以， 所以， 故答案为：2023 【变式2-5】（2024·高一·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【解析】易知， 令， 易知定义域为R，且， 即是奇函数， 显然，， 由奇函数的对称性质易知. 故答案为： 【变式2-6】（2024·高一·广东深圳·期中）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】由，令， ，为奇函数， ，由，得，则 ，，． 故答案为： 题型三：正余弦函数的对称问题 【典例3-1】（2024·高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，若是偶函数，则图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数是偶函数， 则，得， 令 , 解得 . 因为，则，经验证只有D选项满足题意，此时. 故选：D 【典例3-2】（2024·高一·北京·阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，为奇函数，A错误； 对于B，为偶函数， 因为，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，为偶函数， 因为，所以不是的对称中心，C错误； 对于D，为奇函数，D错误. 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． 【变式3-1】（2024·高一·四川内江·期中）已知，函数，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，， 即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴， 所以， 解得， 又，所以当时取得最小值. 故选：B 【变式3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【解析】因为的最小正周期为满足， 所以，解得， 又的图象关于点中心对称， 所以，所以 解得， 当时， 所以，则. 故选：C 【变式3-3】（2024·高一·重庆·阶段练习）设函数关于对称，若函数，则的值为（    ） A．1 B．或3 C． D． 【答案】C 【解析】因为关于对称，故， 故，，故， 故选：C. 【变式3-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以． 故选：C 【变式3-5】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象与直线在轴右侧交点的横坐标从小到大依次为，且满足，则的值为 . 【答案】或 【解析】由题设，易知. 当时，由题意，得，解得，所以， 当时，由题意，得，解得，所以， 的值为或. 故答案为：或 【变式3-6】（2024·高二·山西运城·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】0 【解析】因为函数， 所以的对称中心是， 令，得， 在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示： 由图象知：两个函数图象有8个交点，即函数有8个零点 由对称性可知：零点之和为0， 故答案为：0 【变式3-7】（2024·高一·全国·课后作业）已知关于的函数（）的一条对称轴是，则 ． 【答案】 【解析】函数，其对称轴方程为，（） ∵函数图象的一条对称轴是直线， ∴，即，（） ∵， 当时，可得． 故答案为：． 题型四：正余弦函数的单调问题 【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）函数 的单调递减区间为 . 【答案】. 【解析】 的单调递减区间即为的单调递增区间. 令，，得,. 故其单调递减区间为. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高一·上海宝山·阶段练习） 单调增区间为 【答案】 【解析】函数 ， 令 ， 整理得 ， 所以函数的单调递区间为 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式． （2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略． 【变式4-1】（2024·高一·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 【答案】（开闭均可） 【解析】由，可得， 令， 解得， 即函数在的单调增区间为. 故答案为：.（开闭均可） 【变式4-2】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】由题知，，解得， 由解得：， 所以， 令，. 解得：，. 所以的单调递减区间为：. 故答案为：. 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 【典例5-1】（2024·高一·江西萍乡·期中）函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当，， 因为函数在上存在零点，所以，得， 当时，则， 由，可知，，则，则， 所以. 故选：B 【典例5-2】（2024·高一·广东佛山·期中）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 因为，所以，， 所以，解得，即的取值范围为． 故选:B． 【方法技巧与总结】 已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 【变式5-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，函数满足，且在区间上单调，则为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即对称中心为， 所以，即，解得， 又因为在区间上单调，所以，即， 所以，又且， 所以. 故选：B． 【变式5-2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， ，且时， 可得，且， 若在上单调，则，解得， 又因为的一个零点是，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式5-3】（2024·高一·河北张家口·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数a的最大值为. 故选：B 【变式5-4】（2024·高二·浙江·期中）若函数在区间恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当，则， 依题意可得，解得， 即的取值范围是. 故选：A. 【变式5-5】（2024·高三·湖北·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，由，得，即函数在上单调递增， 依题意，，则，解得， 由，得，由在上恰好取得一次最大值1，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 【变式5-6】（2024·高一·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】对于函数，令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，， 当时函数的一个单调递增区间为， 又函数在上单调递增，所以， 则的最大值为. 故选：B 【变式5-7】（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意得的图象关于点中心对称且关于直线对称， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即，即， 解得，而，故或1，或2， 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，结合，得， 则，此时， 当时，，由于在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 综上，或. 故选：B 【变式5-8】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【解析】由函数的图像关于轴对称，可得， 因为，可得，所以， 又由，可得， 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上不单调，符合题意； 当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意； 当时，则函数的最小正周期为，此时， 所以函数在上不是单调函数，符合题意， 所以，所以满足条件的有9个. 故选：C. 题型六：比较大小 【典例6-1】（2024·高一·广西·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，所以． 故选：D 【典例6-2】（2024·高一·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递减， 所以， 又在上单调递增， 故， 又，故. 故选：A 【方法技巧与总结】 比较两个三角函数值的大小 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 【变式6-1】（2024·高一·安徽宿州·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦函数性质及余弦函数性质可知：，即； 根据指数函数单调性得；由对数函数单调性得； 所以； 故选：A. 【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为锐角三角形的两个内角，则，即， ，， 余弦函数在上单调递减，所以. 对于等边三角形，A、C、D都不对； 故选：B. 【变式6-3】（2024·高一·四川绵阳·期中）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为，且在时单调递增， 则，即； 且，所以. 故选：A. 【变式6-4】（2024·高一·四川成都·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， ，则， 因此. 故选：C. 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 【典例7-1】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【解析】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 【典例7-2】（2024·高一·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 故， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 【变式7-1】（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）（1）函数，的值域为 ； （2）函数的最大值是 . 【答案】 【解析】（1）当时，，， ，即的值域为； （2），； 令，则，， 则当时，，即的最大值为. 故答案为：；. 【变式7-3】（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则 . 【答案】 【解析】依题意，函数在区间上的值域为， 由于， 所以， 此时，当时取得最小值，符合题意， 所以. 故答案为： 【变式7-4】（2024·高一·全国·单元测试）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】令，， 则，即， 所以， 又因为，所以， 即函数的值域为． 故答案为：. 【变式7-5】（2024·高一·上海·阶段练习）要使有意义，的取值范围是 . 【答案】； 【解析】因，因此， 所以， 所以， 或且 解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 【变式7-6】（2024·高一·北京·期中）若的最大值为3，则 ． 【答案】 【解析】由题意与同时取得最大值1，因此，， 故答案为：． 【变式7-7】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）函数的最小值为1，则 ． 【答案】 【解析】显然，当时，，，解得； 当时，，，解得， 所以. 故答案为： 题型八：正余弦函数的综合应用 【典例8-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【解析】（1）函数的最小正周期为. （2）. 由（）， 得（）， 所以的严格减区间为（）. （3）由，得， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为， 所以. 【典例8-2】（2024·高一·浙江衢州·期末）设函数图象的一条对称轴是直线. (1)求的值； (2)求函数的单调增区间. 【解析】（1）由题意可得正弦函数的对称轴方程为， 因为是函数图象的一条对称轴， 所以， 又，所以， （2）因为， 所以， 解得， 函数的单调增区间为. 【变式8-1】（多选题）（2024·高一·陕西渭南·期中）已知函数，则（    ） A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．的一个零点为 【答案】AD 【解析】A选项，，A正确； B选项，时，，不是的对称轴，B错误； C选项，，，不包含于的单调递减区间内，C错误； D选项，，，因为，所以D正确； 故选：AD. 【变式8-2】（多选题）（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A．的最大值为2 B．若，则 C．若，则 D．若函数两个零点间的最小距离为，则 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为函数在区间上单调递增，且， 则该函数的最小正周期满足，解得. 例如，，即， 若，则，且在内单调递增， 可知函数在区间上单调递增，符合题意， 所以的最大值为2，故A正确； 对于选项B：例如，，即， 若，则，且在内单调递增， 可知函数在区间上单调递增，符合题意，故B错误； 对于选项C：因为， 若时，结合正弦型函数的对称性可知，故C正确； 对于选项D：设函数两个零点分别为， 令，即， 则，可得， 若，所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式8-3】（多选题）（2024·高一·湖南邵阳·开学考试）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 【答案】AD 【解析】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD. 【变式8-4】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称， 所以，而，则，所以. （2），当时，设， 在为增函数，在为减函数， 所以方程有唯一实根， 等价于与的图象有一个交点， 由图象可知或， 所以或， 所以的范围是. （3）由（1）知，，则， ，， 当时，，，令， 显然， 不等式， 依题意，，不等式恒成立， 显然， ，当且仅当，即时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 【变式8-5】（2024·高一·辽宁辽阳·期末）已知函数，且. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若的值域是，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以, 可得， 所以, 所以. （2） 的单调增区间为. （3）因为, 又因为, 所以即. 【变式8-6】（2024·高一·江西吉安·期末）已知函数的一个对称中心为．函数． (1)当时，求的值域； (2)若，使恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵的对称中心为，, ∴，即， ∵，∴，此时． （2）， ∵，∴，设，， 则有，函数图象开口向下，对称轴为， 当时，在区间上单调递增，∴， ∴，解得，∴； 当时，在区间上单调递减， ∴，∴， 解得，故； 当时，， 故，解得，∴， 综上所述，实数a的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.正弦、余弦函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x 图象     定义域 R R 知识梳理 函数 y＝sin x y＝cos x 值域 ________ ________ 周期性 ___ ___ 奇偶性 _______ _______ 单调递 增区间 ________________ ______________ [－1,1] [－1,1] 2π 2π 奇函数 偶函数 [2kπ－π，2kπ] 知识梳理 函数 y＝sin x y＝cos x 单调递 减区间 ________________ ______________ 对称中心 _________ ___________ 对称轴 方程 ___________ _______ [2kπ，2kπ＋π] (kπ，0) x＝kπ 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 题型一：正余弦函数的周期问题 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由题意得为最小值，为最大值，所以的最小值为， 所以的最小值为．故选：A． 【方法技巧与总结】 （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 题型一：正余弦函数的周期问题 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：B． 题型一：正余弦函数的周期问题 典型例题 【典例2-1】（2024·上海浦东新·二模）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为函数是偶函数， 所以，解得， 又， 所以当时，的最小值是． 故答案为：． 题型二：正余弦函数的奇偶问题 典型例题 【典例2-2】（2024·高一·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【解析】由奇函数的性质，可知得．经检验满足题意 故答案为： 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 题型二：正余弦函数的奇偶问题 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则 ． 【答案】或 【解析】由题意知， 即． ∵， ∴当时，； 当时，． 故答案为：或． 题型二：正余弦函数的奇偶问题 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，若是偶函数，则图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数是偶函数， 则，得， 令 ， 解得 ． 因为，则，经验证只有D选项满足题意，此时． 故选：D 题型三：正余弦函数的对称问题 典型例题 【典例3-2】（2024·高一·北京·阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，为奇函数，A错误； 对于B，为偶函数， 因为，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，为偶函数， 因为，所以不是的对称中心，C错误； 对于D，为奇函数，D错误． 故选：B 题型三：正余弦函数的对称问题 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·四川内江·期中）已知，函数，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，， 即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴， 所以， 解得， 又，所以当时取得最小值． 故选：B 题型三：正余弦函数的对称问题 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）函数 的单调递减区间为 ． 【答案】． 【解析】 的单调递减区间即为的单调递增区间． 令，，得，． 故其单调递减区间为． 故答案为：． 题型四：正余弦函数的单调问题 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·上海宝山·阶段练习） 单调增区间为 ． 【答案】 【解析】函数 ， 令 ， 整理得 ， 所以函数的单调递区间为 故答案为： 题型四：正余弦函数的单调问题 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 【答案】（开闭均可） 【解析】由，可得， 令， 解得， 即函数在的单调增区间为． 故答案为：．（开闭均可） 题型四：正余弦函数的单调问题 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·江西萍乡·期中）函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当，， 因为函数在上存在零点，所以，得， 当时，则， 由，可知，，则，则， 所以． 故选：B 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 典型例题 【典例5-2】（2024·高一·广东佛山·期中）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 因为，所以，， 所以，解得，即的取值范围为． 故选：B． 【方法技巧与总结】 已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 典型例题 【变式5-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，函数满足，且在区间上单调，则为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即对称中心为， 所以，即，解得， 又因为在区间上单调，所以，即， 所以，又且， 所以． 故选：B． 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 典型例题 【典例6-1】（2024·高一·广西·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ，，所以． 故选：D 题型六：比较大小 典型例题 【典例6-2】（2024·高一·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递减， 所以， 又在上单调递增， 故， 又，故．故选：A 【方法技巧与总结】 比较两个三角函数值的大小 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 题型六：比较大小 典型例题 【变式6-1】（2024·高一·安徽宿州·期末）已知，， ，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦函数性质及余弦函数性质可知：， 即； 根据指数函数单调性得；由对数函数单调性得； 所以； 故选：A． 题型六：比较大小 典型例题 【典例7-1】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为． 故答案为： 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 典型例题 【典例7-2】（2024·高一·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 故， 故答案为：． 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 典型例题 【典例8-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的严格减区间； （3）若时，的最小值为–2，求a的值． 【解析】（1）函数的最小正周期为． （2）． 由（）， 得（），所以的严格减区间为（）． （3）由，得， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为，所以． 题型八：正余弦函数的综合应用 典型例题 【典例8-2】（2024·高一·浙江衢州·期末）设函数图象的一条对称轴是直线． （1）求的值； （2）求函数的单调增区间． 【解析】（1）由题意可得正弦函数的对称轴方程为， 因为是函数图象的一条对称轴， 所以， 又，所以， （2）因为， 所以， 解得， 函数的单调增区间为． 题型八：正余弦函数的综合应用 典型例题 【变式8-1】（多选题）（2024·高一·陕西渭南·期中）已知函数，则（    ） A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．的一个零点为 【答案】AD 【解析】A选项，，A正确； B选项，时，，不是的对称轴，B错误； C选项，，，不包含于的单调递减区间内，C错误； D选项，，，因为，所以D正确； 故选：AD． 题型八：正余弦函数的综合应用 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024年北京高考数学真题）设函数．已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 3．（2023年天津高考数学真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． B D B C  x＝kπ＋ $$ 5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 3 【典型例题】 6 题型一：正余弦函数的周期问题 6 题型二：正余弦函数的奇偶问题 7 题型三：正余弦函数的对称问题 7 题型四：正余弦函数的单调问题 9 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 9 题型六：比较大小 11 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 12 题型八：正余弦函数的综合应用 13 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 知识点诠释： 1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期． 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期． 知识点二：正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点三：正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为． 知识点四：余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点五：余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． 若，则函数不一定有对称轴和对称中心． 【典型例题】 题型一：正余弦函数的周期问题 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知的最大值为，若存在不同的实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 【变式1-1】（2024·高一·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·广西钦州·期末）已知，是函数（）图象与轴的两个相邻的交点，若，则（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或16 【变式1-3】（2024·云南·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高一·湖北十堰·期末）函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【变式1-5】（2024·高三·江苏徐州·学业考试）已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型二：正余弦函数的奇偶问题 【典例2-1】（2024·上海浦东新·二模）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【典例2-2】（2024·高一·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 . 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则 . 【变式2-2】（2024·高一·辽宁大连·期中）关于的方程的一个解 【变式2-3】（2024·高一·上海松江·期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为 ． 【变式2-4】（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数，则 . 【变式2-5】（2024·高一·浙江衢州·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则 . 【变式2-6】（2024·高一·广东深圳·期中）已知，且，则的值为 ． 题型三：正余弦函数的对称问题 【典例3-1】（2024·高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，若是偶函数，则图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高一·北京·阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． 【变式3-1】（2024·高一·四川内江·期中）已知，函数，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【变式3-3】（2024·高一·重庆·阶段练习）设函数关于对称，若函数，则的值为（    ） A．1 B．或3 C． D． 【变式3-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-5】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象与直线在轴右侧交点的横坐标从小到大依次为，且满足，则的值为 . 【变式3-6】（2024·高二·山西运城·阶段练习）已知函数，则函数的所有零点之和为 ． 【变式3-7】（2024·高一·全国·课后作业）已知关于的函数（）的一条对称轴是，则 ． 题型四：正余弦函数的单调问题 【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）函数 的单调递减区间为 . 【典例4-2】（2024·高一·上海宝山·阶段练习） 单调增区间为 【方法技巧与总结】 （1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式． （2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略． 【变式4-1】（2024·高一·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 【变式4-2】函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 ． 题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 【典例5-1】（2024·高一·江西萍乡·期中）函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·广东佛山·期中）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 【变式5-1】（2024·高一·重庆·期中）已知，函数满足，且在区间上单调，则为（    ） A． B． C．4 D． 【变式5-2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高一·河北张家口·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2024·高二·浙江·期中）若函数在区间恰存在三个零点，两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】（2024·高三·湖北·阶段练习）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-6】（2024·高一·北京·阶段练习）若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-7】（2024·陕西榆林·二模）已知函数在上单调，的图象关于点中心对称且关于直线对称，则的取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-8】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 题型六：比较大小 【典例6-1】（2024·高一·广西·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高一·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 比较两个三角函数值的大小 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 【变式6-1】（2024·高一·安徽宿州·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·高一·四川绵阳·期中）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·高一·四川成都·期中）英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 题型七：正余弦函数的最值与值域问题 【典例7-1】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 【典例7-2】（2024·高一·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【方法技巧与总结】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 【变式7-1】（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域是 ． 【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）（1）函数，的值域为 ； （2）函数的最大值是 . 【变式7-3】（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则 . 【变式7-4】（2024·高一·全国·单元测试）函数的值域为 ． 【变式7-5】（2024·高一·上海·阶段练习）要使有意义，的取值范围是 . 【变式7-6】（2024·高一·北京·期中）若的最大值为3，则 ． 【变式7-7】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）函数的最小值为1，则 ． 题型八：正余弦函数的综合应用 【典例8-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【典例8-2】（2024·高一·浙江衢州·期末）设函数图象的一条对称轴是直线. (1)求的值； (2)求函数的单调增区间. 【变式8-1】（多选题）（2024·高一·陕西渭南·期中）已知函数，则（    ） A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．的一个零点为 【变式8-2】（多选题）（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A．的最大值为2 B．若，则 C．若，则 D．若函数两个零点间的最小距离为，则 【变式8-3】（多选题）（2024·高一·湖南邵阳·开学考试）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 【变式8-4】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-5】（2024·高一·辽宁辽阳·期末）已知函数，且. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若的值域是，求的取值范围. 【变式8-6】（2024·高一·江西吉安·期末）已知函数的一个对称中心为．函数． (1)当时，求的值域； (2)若，使恒成立，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$