利用导数研究函数的零点专题突破练-2025届高三数学二轮复习

专题突破练7　利用导数研究函数的零点 1.已知函数f(x)=(x3-x2)ex的定义域为[-1,+∞). (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论函数g(x)=f(x)-a在区间[-1,2]上的零点个数. 2.(2024·江苏南通高三统考)已知函数f(x)=ax++2ln(1-x),曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y=2ln 2-3. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间,并证明f(x)在(-∞,0)上没有零点. 3.已知函数f(x)=ax++1(a∈R). (1)若函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围; (2)当a≠0时,讨论函数g(x)=f(x)-a-3的零点个数,并给予证明. 4.已知函数f(x)=aln x-x2+b-ln 2的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-x+1. (1)求f(x)的单调区间; (2)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)=f(x)-m的两个零点,求证:x2-x1<-4m. 5.已知函数f(x)=aex-x-3(a>0). (1)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围; (2)若函数g(x)=f(x)+x-ln(x+1),g'(x)是g(x)的导函数,证明:g'(x)存在唯一的零点t,且g(t)+2≥ln a. 6.已知函数f(x)=2exsin x(e是自然对数的底数). (1)求f(x)的单调区间; (2)记g(x)=f(x)-ax,0<a<6,试讨论g(x)在区间(0,π)内的零点个数(参考数据:≈4.8). 答案 1.解 (1)f'(x)=(x3+x2-x)ex=(3x+8)·(x-1)ex, 因为x∈[-1,+∞),所以函数f'(x)的零点为0和1. 所以当0<x<1时,f'(x)<0; 当x>1或-1≤x<0时,f'(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为[-1,0),(1,+∞). (2)由(1)知,f(x)在区间[-1,2]上的极大值为f(0)=0,极小值为f(1)=-. 因为f(-1)=-<1,所以f(1)<f(-1)<0.f(2)=,由g(x)=0,得f(x)=a. 故当a<-或a>时,g(x)的零点个数为0; 当a=-或0<a≤时,g(x)的零点个数为1; 当-<a<-或a=0时,g(x)的零点个数为2; 当-≤a<0时,g(x)的零点个数为3. 2.解 (1)因为f(x)=ax++2ln(1-x), 所以f'(x)=a-. 由题意知 解得 (2)由(1)可得f(x)=2x++2ln(1-x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1), 又f'(x)=2-,2x2-2x+1=2(x-)2+>0,所以当x<-1时,f'(x)>0,当-1<x<0或0<x<1时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为(-1,0),(0,1). 因为f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减,所以当x∈(-∞,0)时,f(x)≤f(-1)=-2-1+2ln 2=-3+2ln 2<0,所以f(x)在区间(-∞,0)上没有零点. 3.解 (1)f'(x)=a-. 由题意得f'(x)≥0,即a≥在区间(1,+∞)内恒成立. 当x∈(1,+∞)时,∈(0,),所以a≥. 故实数a的取值范围为[,+∞). (2)当a<0时,函数g(x)有且只有一个零点; 当a>0时,函数g(x)有两个零点.证明如下: 由已知得g(x)=ax+-a-2,则g'(x)=a-. 当a<0时,g'(x)<0, 所以函数g(x)单调递减. 又g(0)=-a>0,g(1)=-2<0,故函数g(x)有且只有一个零点. 当a>0时,令g'(x)<0,得x<ln, 令g'(x)>0,得x>ln,所以函数g(x)在区间(-∞,ln)内单调递减,在区间(ln,+∞)内单调递增, 而g=a(ln)<0,g>0. 由于x>ln x,所以>ln, 所以g(x)在区间(ln)内存在一个零点. 又g(ln)=a(a-ln),且ln<ln,设h(a)=a-ln,则h'(a)=1->0在区间(0,+∞)内恒成立,故h(a)在区间(0,+∞)内单调递增. 而h(0)=0,所以h(a)>0在区间(0,+∞)内恒成立,所以g(ln)>0, 所以g(x)在区间(ln,ln)内存在一个零点. 综上所述,当a<0时,函数g(x)有且只有一个零点; 当a>0时,函数g(x)有两个零点. 4.(1)解 由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x,又函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-x+1,所以解得所以f(x)=ln x-x2+1-ln 2,f'(x)=x=.当x∈(0,)时,f'(x)>0;当x∈(,+∞)时,f'(x)<0, 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). (2)证明 由(1)得f(x)=ln x-x2+1-ln 2(x>0),且f(x)在区间(0,)内单调递增,在区间[,+∞)内单调递减, 由题意得f(x1)=f(x2)=m,且0<x1<<x2, ∴x2-x1-+4m=x2-x1-+2(f(x2)+f(x1))=2ln x2+x2-+2ln x1-x1--4ln 2. 令t1(x)=2ln x+x-x2,x>, 则t1'(x)=,令t1'(x)>0,得<x<2; 令t1'(x)<0,得x>2,∴t1(x)在区间(,2]内单调递增,在区间(2,+∞)内单调递减, ∴t1(x)≤t1(2)=2ln 2.令t2(x)=2ln x-x-x2,0<x<,则t2'(x)=, 令t2'(x)>0,得0<x<1; 令t2'(x)<0,得1<x<, ∴t2(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间[1,)内单调递减, ∴t2(x)≤t2(1)=-,∴x2-x1-+4m≤t1(2)+t2(1)+-4ln 2=1-2ln 2<0. ∴x2-x1<-4m. 5.解 (1)令f(x)=0,则a=,记m(x)=,由题意,直线y=a与函数m(x)=的图象有两个交点, 易得m'(x)=, 所以当x∈(-∞,-2)时,m'(x)>0; 当x∈(-2,+∞)时,m'(x)<0, 即函数m(x)在区间(-∞,-2)内单调递增,在区间(-2,+∞)内单调递减,而m(-2)=e2,m(-3)=0, 当x∈(-2,+∞)时,m(x)>0,作出函数m(x)=的图象,如图. 由图可知,当0<a<e2时,直线y=a与函数m(x)=的图象有两个交点, 即实数a的取值范围为(0,e2). (2)依题意,a>0,g(x)的定义域为(-1,+∞). g(x)=aex-3-ln(x+1),则g'(x)=aex-[aex(x+1)-1](x>-1), 令h(x)=aex(x+1)-1,a>0, 显然h(x)在区间(-1,+∞)内单调递增, 又h(-1)=-1<0,h()=(a+1)-1>0, 所以存在t∈(-1,),使得h(t)=0,且当-1<x<t时,h(x)<0; 当x>t时,h(x)>0, 又当x>-1时,>0,所以当-1<x<t时,g'(x)<0;当x>t时,g'(x)>0, 故g'(x)存在唯一的零点t; 由h(t)=0,得aet=, 所以ln a+t=-ln(t+1). 因此g(t)+2-ln a=aet-ln(t+1)-ln a-1=+t-1=≥0, 当且仅当t=0时等号成立. 故g'(x)有唯一的零点t,且g(t)+2≥ln a. 6.解 (1)函数f(x)=2exsin x的定义域为R. f'(x)=2ex(sin x+cos x)=2exsin(x+). 由f'(x)>0,得sin(x+)>0,可得2kπ<x+<2kπ+π(k∈Z),解得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z), 由f'(x)<0,得sin(x+)<0,可得2kπ+π<x+<2kπ+2π(k∈Z),解得2kπ+<x<+2kπ(k∈Z). 所以f(x)的单调递增区间为(-+2kπ,+2kπ)(k∈Z),单调递减区间为(+2kπ,+2kπ)(k∈Z). (2)由已知g(x)=2exsin x-ax,所以g'(x)=2ex(sin x+cos x)-a,令h(x)=g'(x),则h'(x)=4excos x. 因为x∈(0,π),所以当x∈(0,)时,h'(x)>0; 当x∈(,π)时,h'(x)<0,所以h(x)在区间(0,)内单调递增,在区间(,π)内单调递减,即g'(x)在区间(0,)内单调递增,在区间(,π)内单调递减. g'(0)=2-a,g'=2-a>0,g'(π)=-2eπ-a<0. ①当2-a≥0,即0<a≤2时,g'(0)≥0, 所以∃x0∈(,π),使得g'(x0)=0.所以当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0.所以g(x)在区间(0,x0)内单调递增,在区间(x0,π)内单调递减. 因为g(0)=0,所以g(x0)>0. 因为g(π)=-aπ<0,所以由零点存在定理可得,此时g(x)在区间(0,π)内仅有一个零点. ②当2-a<0,即2<a<6时,g'(0)<0,所以∃x1∈(0,),x2∈(,π),使得g'(x1)=0,g'(x2)=0. 当x∈(0,x1),x∈(x2,π)时,g'(x)<0; 当x∈(x1,x2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在区间(0,x1)和(x2,π)内单调递减,在区间(x1,x2)内单调递增. 因为g(0)=0,所以g(x1)<0, 因为g=2a>2-3π>0, 所以g(x2)>0, 因为g(π)=-aπ<0,由零点存在定理可得,g(x)在区间(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点,即此时g(x)在区间(0,π)内有两个零点. 综上所述,当0<a≤2时,g(x)在区间(0,π)内仅有一个零点;当2<a<6时,g(x)在区间(0,π)内有两个零点 学科网（北京）股份有限公司 $$