利用导数研究函数的单调性、极值与最值专题突破练-2025届高三数学二轮复习

专题突破练4　利用导数研究函数的单调性、极值与最值 一、单项选择题 1.若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值(　　) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,且与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,且与b有关 2.(2024·广西壮族自治区二模)已知函数f(x)=(x-1)(ex+a)在区间(-1,1)上单调递增,则a的最小值为(　　) A.e-1 B.e-2 C.e D.e2 3.已知函数f(x)=,则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A.在区间(-∞,+∞)内单调递增 B.在区间(-∞,1)内单调递减 C.有极大值,无极小值 D.有极小值,无极大值 4.已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-aln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0)∪(0,e) B.(0,e) C.(0,1)∪(1,e) D.(-∞,0)∪(1,e) 5.(2024·广西二模)记函数y=f(x)的导函数为y',y'的导函数为y″,则曲线y=f(x)的曲率K=.若函数为y=ln x,则其曲率的最大值为(　　) A. B. C. D. 6.已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为 (　　) A. B. C. D. 7.已知a=,b=cos,c=4sin,则(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 二、多项选择题 8.已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则(　　) A.f(x)的极大值为0 B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴 C.f(x)的最小值为0 D.f(x)在定义域内单调 9.(2024·新高考Ⅱ,11)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(　　) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 10.(2022·新高考Ⅱ,9)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点对称,则(　　) A.f(x)在单调递减 B.f(x)在有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的一条切线 三、填空题 11.已知函数f(x)=ex+x3-2x2-ax,若f(x)在区间(0,+∞)上有两个不同零点,则a的取值范围是　　　　.  12.试写出实数a的一个取值范围　　　　　,使函数f(x)=有极值.  13.(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　　　.  四、解答题 14.(2024·广东深圳一模)已知函数f(x)=aln x-bx2+1,a,b∈R.若曲线f(x)在点(1,f(1))处与直线y=0相切. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在区间[,e2]上的最大值和最小值. 15.已知函数f(x)=aex-x-1(a∈R),g(x)=x2. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值. 16.已知f(x)=a2ln x-ax2-(a2-a)x(a≠0). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 答案 一、单项选择题 1.C　解析 因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b,因此M-m=4.故选C. 2.A　解析 由题意得f'(x)≥0在区间(-1,1)上恒成立,f'(x)=ex+a+(x-1)ex=xex+a,所以xex+a≥0在区间(-1,1)上恒成立,即a≥-xex. 令g(x)=-xex,x∈(-1,1), 则g'(x)=-ex-xex=-(x+1)ex<0在区间(-1,1)上恒成立,所以g(x)=-xex在区间(-1,1)上单调递减,所以g(x)<g(-1)=e-1,故a≥e-1.故a的最小值为e-1.故选A. 3.C　解析 由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=. 令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=,函数f(x)无极小值. 故选C. 4.A　解析 设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=x-aln x(a≠0)相切于点P(x0,x0-aln x0)(x0>0). 由题意得,f'(x)=1-,则以P为切点的切线方程为y-x0+aln x0=(1-)(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+aln x0=(1-)(-x0),因此ln x0=1,即x0=e,所以k=1->0,得a<e,又a≠0,故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A. 5.C　解析 函数y=ln x的定义域为(0,+∞),y'=,y″=-,所以曲线y=ln x的曲率K=, 所以K'=,x>0,所以当0<x<时,K'>0,当x>时,K'<0,所以K在区间(0,)上单调递增,在区间(,+∞)上单调递减,所以当x=时,曲率K取得最大值.故选C. 6.C　解析 如图所示,要使|PQ|取得最小值, 则曲线y=-sin x(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x求导得y'=-cos x,令y'=,可得cos x=-,由于0≤x≤π,所以x=.故选C. 7.A　解析 因为=4tan,当x∈0,时,sin x<x<tan x,所以tan,即>1,所以c>b;设f(x)=cos x+x2-1,则f'(x)=-sin x+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,则f>f(0)=0,所以cos>0,所以b>a,所以c>b>a. 二、多项选择题 8.BC　解析 函数f(x)=x3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-(x3-1). 令f'(x)=(x3-1)=0,得x=1,列表得: x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误; 对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确,故选BC. 9.AD　解析 f(x)=2x3-3ax2+1.f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a). 令f'(x)=0,x1=0,x2=a. A:当a>1时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增. 又x→-∞时,f(x)→-∞,x→+∞时,f(x)→+∞,f(0)=1>0,f(1)=3-3a<0,所以f(a)<0.f(x)大致图象如图所示.所以f(x)有三个零点,A正确. B:当a<0时,f(x)在区间(-∞,a)上单调递增,在区间(a,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以x=0为f(x)的极小值点,B错误. C:三次函数无对称轴,C错误. D:令f(0)+f(2)=2f(1),即1+(2×23-3a×22+1)=2(3-3a),所以a=2,代入得f(x)=2x3-6x2+1,满足f(x)+f(2-x)=2f(1),D正确. 10.AD　解析 由题意得,f()=sin(+φ)=0, 所以+φ=kπ,k∈Z, 即φ=-+kπ,k∈Z. 又0<φ<π,所以k=2,φ=. 故f(x)=sin(2x+). 选项A,当x∈(0,)时,2x+∈(),所以f(x)在区间(0,)内单调递减,故选项A正确; 选项B,当x∈(-)时,2x+∈(), 由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+,可得极值点为x=,故选项B错误; 选项C,当x=时,2x+=3π,f()=0,所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴,故选项C错误; 选项D,结合该选项,若f'(x)=2cos(2x+)=-1,得cos(2x+)=-,解得2x++2kπ或2x++2kπ,k∈Z,从而得x=kπ或x=+kπ,k∈Z,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)=,则由-kπ(k∈Z),得k=0;当x=+kπ(k∈Z)时,f(x)=-,则--kπ(k∈Z),无解.所以函数y=f(x)的图象在点(0,)处的切线斜率为y'|x=0=2cos=-1,切线方程为y-=-(x-0),即y=-x,故选项D正确.故选AD. 三、填空题 11.(e-1,+∞)　解析 令f(x)=0,则当x>0时,a=+x2-2x, 令g(x)=+x2-2x(x>0),则g'(x)=, 注意到ex+2x2>0,令g'(x)=0,解得x=1,所以当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,则g(x)min=g(1)=e-1,且当x趋近于0或+∞时,g(x)都趋近于+∞,f(x)在区间(0,+∞)上有两个不同零点的充要条件为当x∈(0,+∞)时,函数y=g(x)与y=a图象有两个交点,所以a>e-1.故a的取值范围为(e-1,+∞). 12.(-)(答案不唯一)　解析 f(x)=的定义域为R,f'(x)=,由于函数f(x)=有极值,所以f'(x)=有变号零点,因此由cos x-sin x+a=0,即a=sin x-cos x=sin(x-),可得a∈(-),答案只要为(-)的子集都可以. 13.(-∞,-4)∪(0,+∞)　解析 由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex. 设切点为(x0,(x0+a)),则切线方程为y-(x0+a)=(1+x0+a)(x-x0). 又切线过原点,∴-(x0+a)=-x0(1+x0+a),整理得+ax0-a=0. ∵曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,∴+ax0-a=0有2个不同实数解, ∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4. 故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞). 四、解答题 14.解 (1)∵函数f(x)=aln x-bx2+1,∴f'(x)=-2bx. ∵曲线f(x)在点(1,f(1))处与直线y=0相切,∴解得 (2)由(1)可得f(x)=2ln x-x2+1, ∴f'(x)=-2x=. ∴当≤x<1时f'(x)>0,当1<x≤e2时f'(x)<0,∴f(x)在区间[1,e2]上单调递减,在区间[,1)上单调递增,在x=1处取得极大值即最大值,∴f(x)max=f(1)=0,又f()=2ln-()2+1=--1>-2,f(e2)=2ln e2-(e2)2+1=-e4+5<-2, ∴f(x)min=f(e2)=-e4+5. 15.解 (1)f'(x)=aex-1. 当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减. 当a>0时,由f'(x)=0,得x=-ln a. 当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减; 当a>0时,f(x)在区间(-∞,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+∞)内单调递增. (2)因为曲线C1:y1=aex与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,a),(x2,),显然x1≠x2. 由于y1'=aex,y2'=2x,所以a=2x2=, 因此2x2x1-2=a=2x2-,所以2x1x2-=2x2,即x2=2x1-2 学科网（北京）股份有限公司 $$