精品解析：福建厦门湖里中学2024—2025学年上学期九年级学期中质量检测卷　

湖里中学2024-2025学年上学期期中考试 九年级数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 对于一元二次方程x2－2x＋1＝0，根的判别式b2－4ac中的b表示的数是（ ） A. －2 B. 2 C. －1 D. 1 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 正三角形 D. 平行四边形 3. 如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ） A. ∠APB B. ∠ABD C. ∠ACB D. ∠BAC 4. 若关于x 的一元二次方程ax2＋2x－＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. a＜－2 B. a＞－2 C. －2＜a＜0 D. －2≤a＜0 5. 如图，已知是的直径，，，是圆上的点，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A. 小球滑行12秒停止 B. 小球滑行6秒停止 C. 小球滑行6秒回到起点 D. 小球滑行12秒回到起点 7. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（　　） A. 已知：在中，，．求证：． B. 已知：在中，，．求证：． C. 已知：在中，．求证：，． D. 已知：在中，．求证：，． 9. 如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小亮同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄绕点转动的角度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，点，是其图象上两点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是方程的一个根，则________． 12. 二次函数y＝2017x2﹣2018x有最____　值（填“大”或“小”） 13. 已知的半径是3，，那么点和的位置关系是________________． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 15. 已知是的弦，为的中点，连接，，将绕点逆时针旋转到．设的半径为1，，则的长为________． 16. 已知抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，是的中点．在抛物线上，关于直线的对称点为，关于点的对称点为．当时，线段的长随的增大而发生的变化是：______．（“变化”是指增减情况及相应的取值范围） 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，是的直径，，，求证：是的切线． 20. 某药厂2022年生产甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2024年生产甲种药品的成本是3600元，求生产甲种药品成本的年平均下降率． 21. 如图7，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图像经过点A（1，m），B（2，n），C（4，t），且点B是该二次函数图像的顶点．请在图7中描出该函数图像上另外的两个点，并画出图像． 22. 如图，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线． （1）把△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AEF，点B的对应点为E，点C的对应点F在CD的延长线上，请你在图中作出△AEF．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：B，D，E三点共线． 23. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 24. 如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接AD，过点B作直线交AC于E，交于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD． （1）求证：； （2）若，试探究与之间的数量关系，并证明． 25. 已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）若点P的坐标为，求证：； （2）将抛物线绕点旋转，，得到抛物线，抛物线的顶点为Q，与x轴相交于C，D两点（点C在点D左侧）． ①若，且点P在抛物线上，当时，抛物线最低点的纵坐标为，求抛物线的解析式； ②若点B在点M左侧，，且，判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖里中学2024-2025学年上学期期中考试 九年级数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 对于一元二次方程x2－2x＋1＝0，根的判别式b2－4ac中的b表示的数是（ ） A. －2 B. 2 C. －1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可． 【详解】因为一元二次方程根的判别式△=b2-4ac， 在方程x2-2x+1=0中，a=1，b=-2，c=1， 故选：A． 【点睛】此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b2-4ac，不要盲目套用，要看具体方程中的a，b，c的值．a代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 正三角形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解： 等腰梯形、正三角形只是轴对称图形，矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，平行四边形只是中心对称图形， 故选B 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成． 3. 如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ） A. ∠APB B. ∠ABD C. ∠ACB D. ∠BAC 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB， 故选C． 【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键． 4. 若关于x 的一元二次方程ax2＋2x－＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. a＜－2 B. a＞－2 C. －2＜a＜0 D. －2≤a＜0 【答案】C 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程ax2＋2x－＝0（a＜0）有两个不相等的实数根可得，解不等式即可求出a的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程ax2＋2x－＝0（a＜0）有两个不相等的实数根， ∴， 解得：a>−2， ∵a<0， ∴−2<a<0． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键． 5. 如图，已知是的直径，，，是圆上的点，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，角所对直角边是斜边的一半，由圆周角定理可得，，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握圆周角定理及角所对直角边是斜边的一半的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，又， ∴， 故选：A． 6. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A. 小球滑行12秒停止 B. 小球滑行6秒停止 C. 小球滑行6秒回到起点 D. 小球滑行12秒回到起点 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案． 【详解】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得， 当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键． 7. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键；所以由题意易得平移后的二次函数表达式为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意知：平移后的二次函数表达式为， ∴新函数的对称轴为直线； 故选：C． 8. 如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（　　） A. 已知：在中，，．求证：． B. 已知：在中，，．求证：． C. 已知：在中，．求证：，． D. 已知：在中，．求证：，． 【答案】D 【解析】 【分析】根据“已知”后面是题设，“求证”后面是结论即可进行解答． 【详解】解：将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式为： 已知：在中，． 求证：，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了将命题改写成“已知……求证……”的形式，解题的关键是正确找出题设和结论，理解“已知”后面是题设，“求证”后面是结论． 9. 如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小亮同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄绕点转动的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接并且延长至，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到的度数． 【详解】解：如图：连接并且延长至， 依题意，． 故灰斗柄绕点转动的角度为． 故选：B 10. 已知二次函数，点，是其图象上两点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线及抛物线开口方向，再通过判断点与点到对称轴的距离求解．本题考查二次函数的性质，平移的性质，解题关键是掌握二次函数开口向上，越靠近对称轴的所对应的值越小． 【详解】解：∵可以看作是向下平移1个单位得到的，且这个过程不改变二次函数的对称轴， 抛物线对称轴为直线，开口向上，越靠近对称轴的所对应的值越小， 当时，点，关于抛物线对称轴对称，即， ∵， ∴当时，点到抛物线对称轴的距离大于点到抛物线对称轴的距离， 则，故A选项不符合题意； 当时，点到抛物线的距离小于点到抛物线的距离， ，故B选项符合题意； 若，则 ∴点到抛物线对称轴的距离大于点到抛物线对称轴的距离， 则，故C选项不符合题意； 若，则， ∴点到抛物线的距离小于点到抛物线的距离， ，故D选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是方程的一个根，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 解得， 故答案为：1． 12. 二次函数y＝2017x2﹣2018x有最____　值（填“大”或“小”） 【答案】小 【解析】 【分析】根据二次函数的二次项系数填空即可． 【详解】∵a=2017＞0， ∴抛物线开口向上，有最小值， 故答案为：小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础题，根据二次函数的开口方向是解题的关键． 13. 已知的半径是3，，那么点和的位置关系是________________． 【答案】点P在外 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径是3，，且， ∴点P在外， 故答案为：点P在外． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个队，横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 已知是的弦，为的中点，连接，，将绕点逆时针旋转到．设的半径为1，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，推出是等腰直角三角形，求得，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【详解】解：依题意，如图： ，为的中点， ，， 将绕点逆时针旋转到， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 16. 已知抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，是的中点．在抛物线上，关于直线的对称点为，关于点的对称点为．当时，线段的长随的增大而发生的变化是：______．（“变化”是指增减情况及相应的取值范围） 【答案】当时，的长随的增大而减小；当时，的长随的增大而增大． 【解析】 【分析】根据函数关系式求出顶点坐标和对称轴方程，得到点A坐标，根据M与C关于N（3，2）对称求出点C，最后根据BC的取值确定m的取值即可． 【详解】解：= 则P(3,4) ∴A（3，0） ∴N（3，2） 如图， 由图知，BC的长随着m的增大先减小，后增大， ∵ ∴ ∵M与C关于N（3，2）对称 ∴ 解得 ∴C ∴ ∵ ∴ 当n=2时，BC最小值=0，此时 当n=0或4时，BC最大值=4，此时m=1或3， 所以，当时，的长随的增大而减小；当时，的长随的增大而增大． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，对称性，求出BC的取值是解本题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴ 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入求值，即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 19. 已知：如图，是的直径，，，求证：是的切线． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵是的直径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据切线的判定定理即可证明结论． 【详解】略 20. 某药厂2022年生产甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2024年生产甲种药品的成本是3600元，求生产甲种药品成本的年平均下降率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设生产甲种药品成本的年平均下降率为x，表示出2024年生产甲种药品的成本，结合2024年生产甲种药品的成本是3600元建立方程求解即可． 【详解】解：设生产甲种药品成本的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：生产甲种药品成本的年平均下降率为． 21. 如图7，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图像经过点A（1，m），B（2，n），C（4，t），且点B是该二次函数图像的顶点．请在图7中描出该函数图像上另外的两个点，并画出图像． 【答案】 如图所示． 【解析】 【分析】由B点坐标，可得到函数的对称轴方程，所以可以得到A的对称点，C的对称点，从而画出函数图像． 【详解】解：∵点B是该二次函数图像的顶点， ∴抛物线对称轴为x=2， ∵C（4，t）， ∴C关于对称轴对称的点C′在y轴上， ∵A（1，m）， ∴A关于对称轴对称的点A′横坐标为3，利用描点法可画出函数图像 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图像是关于对称轴对称的点到对称轴的距离相等且纵坐标相等． 22. 如图，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线． （1）把△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AEF，点B的对应点为E，点C的对应点F在CD的延长线上，请你在图中作出△AEF．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：B，D，E三点共线． 【答案】 （1）如图，△AEF即为所求． （2）证明：如图，连接DE，BE． ∵∠AEF=∠ADF=90°， ∴A，F，D，E四点共圆， ∴∠AED+∠AFD=180°． ∵AF=AC， ∴∠ACD=∠AFD． ∵∠ACB=∠AFE，∠ACB+∠ACD=90°，∠AFE+∠FAE=90°， ∴∠ACD=∠EAF=∠AFD． ∵∠ABD=∠EAF， ∴∠ABD=∠AFD． ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴∠AFD=∠AEB， ∴∠DEA+∠AEB=180°， ∴B，E，D共线． 【解析】 【分析】（1）延长CD，以A为圆心AC长为半径画弧交CD延长线即为F．以F为圆心BC长为半径画弧，以A为圆心AB长为半径画弧，两段弧交于点E．最后连接AE、EF、AF即可． （2）连接DE，BE．由题意可知∠AEF=∠ADF=90°，即A，F，D，E四点共圆，即可知道∠AED+∠AFD=180°．再由AF=AC结合题意可进一步证明∠ABD=∠AFD．最后由AB=AE可知∠ABE=∠AEB，即推出∠AFD=∠AEB，即可证明∠DEA+∠AEB=180°． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图-旋转变换、矩形和等腰三角形的性质以及圆的确定条件和圆的性质．需理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】（1）11.25， （2） （3）她当天的比赛不能成功完成此动作 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米 对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解： ∴点坐标为 ∴ ∴ 当时， ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 24. 如图，已知点D是外接圆上的一点，于G，连接AD，过点B作直线交AC于E，交于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD． （1）求证：； （2）若，试探究与之间的数量关系，并证明． 【答案】 （1）证明：， ， ， ； （2）与之间的数量关系为：． 理由如下： 作于点M，连接OC、DF、CF， ， ， 为CD中点， ， ， 于G， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， ，，， ，，， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论； （2）作OM⊥DC于点M，连接OC．先证明∠ACB=∠CBF=∠DBF=30°，再根据AG与GE的关系推出DG=OD，然后可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含30°的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，判断出∠ACB=∠CBF=∠DBF=30°以及证明DG=OD是解答的关键． 25. 已知抛物线：的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）若点P的坐标为，求证：； （2）将抛物线绕点旋转，，得到抛物线，抛物线的顶点为Q，与x轴相交于C，D两点（点C在点D左侧）． ①若，且点P在抛物线上，当时，抛物线最低点的纵坐标为，求抛物线的解析式； ②若点B在点M左侧，，且，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：设抛物线的解析式为， ∴， ∴； （2）① ②四边形是矩形，理由为： 对于抛物线，令，则， ∴， 又∵点B在点M左侧，， ∴， ∴点B的坐标为，点A的坐标为，对称轴为， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴顶点坐标为，； 又∵抛物线绕点旋转，得到抛物线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴四边形矩形． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，可以得到，即可解题； （2）由题可得抛物线的顶点坐标为，根据对称得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，把代入可得，然后利用二次函数的增减性解题即可； （3）根据题意得到点B的坐标为，点A的坐标为，对称轴为，然后求出顶点，，然后根据勾股定理和旋转求出，即可判断四边形的形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线的对称轴为，这时，纵坐标为， 即抛物线的顶点坐标为， 又∵抛物线绕点旋转，得到抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵点P在抛物线上， ∴，解得， 代入可得， ∵，在对称轴左边，y随x的增大而减小， 即当时，最低点的纵坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； ②略 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，矩形的判定，能根据二次函数的图像和性质求出二次函数的顶点坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $