浙江省金华市义乌市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件是必然事件的是(    ) A. 在学校操场上抛出的篮球会落下 B. 买奖券中特等奖 C. 明天会下雨 D. 打开电视，正在播放动画片 2.已知二次函数，则其图象经过下列点中的(    ) A. B. C. D. 3.若，则下列等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 4.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为(    ) A. B. C. D. 5.二次函数在时有最小值，则这个函数的图象可以是(    ) A. B. C. D. 6.如图，是的直径，点在圆上，将沿翻折与交于点若，的度数为，则 A. B. C. D. 7.如图，是的两条弦，于点，于点，连结，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.下列语句中正确的有(    ) 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴：三点确定一个圆． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 10.如图，是以为直径的半圆上一点，连结，，分别以，为边向外作正三角形，正三角形，弧，弧的中点分别是，，连结，，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.二次函数，图象的顶点坐标是          ． 12.“清明时节雨纷纷”是          事件．填“必然”“不可能”或“随机” 13.某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为估计在这一批衬衣中，件衬衣有          件衬衣是不合格的． 14.如图，，，，为上的点，于点  若，，则的长为          ． 15.一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为米，现要将其改造成圆弧型门洞如图，则改造后圆弧型门洞的最大高度是______． 16.在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． 线段的长为______； 连接，若交于点，则 ______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算： ； 已知三个数中，其中是的比例中项，若，求的值． 18.本小题分 一个布袋里装有只有颜色不同的个球，其中个红球，个白球． 从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率． 从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，请画出树状图或列表，并求摸出的个球中，个是白球，个是红球的概率． 19.本小题分 【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？ 【初步尝试】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分； 【问题联想】如图，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形； 【问题再解】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹 20.本小题分 如图，如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． 若，求的度数； 若，，求的长． 21.本小题分 如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点建立平面直角坐标系． 画出绕点逆时针旋转后所得的图形； 写出点，的坐标； 求四边形的面积． 22.本小题分 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点，为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． 求雕塑高． 求落水点，之间的距离． 若需要在上的点处竖立雕塑，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 23.本小题分 一座桥如图，桥下水面宽度是米，高是米． 如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系． 求抛物线的解析式；要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 如图，若把桥看做是圆的一部分． 求圆的半径；要使高为米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 24.本小题分 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，顶点为，点的坐标为． 填空：点的坐标为          ，点的坐标为          ，抛物线的解析式为___          __； 是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 当二次函数的自变量满足时，函数的最小值为，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题考查事件的判断，涉及事件的概念、必然事件的判定，根据必然事件的概念逐项判断即可得到答案，熟练掌握必然事件的概念是解决问题的关键． 【详解】解：、在学校操场上抛出的篮球会落下，是必然事件，符合题意； B、买奖券中特等奖，是随机事件，不符合题意； C、明天会下雨，是随机事件，不符合题意； D、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意； 故选：． 2.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】解：、当时，，故二次函数图象经过点，符合题意； B、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； C、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； D、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意； 故选：． 3.【答案】  【解析】根据比例的性质，则，逐个判断可得答案． 【详解】解：由可得： A.，此选项不符合题意     B.，此选项不符合题意     C.，则，此选项不符合题意     D.，则，正确 故选： 4.【答案】  【解析】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式：据此计算即可． 【详解】解：由题意得：， 扇形的面积为． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：、函数值不是最小值，故本选项不符合题意； B、时有最小值，故本选项符合题意； C、时有最大值，故本选项不符合题意； D、函数有最大值，故本选项不符合题意． 故选：． 根据二次函数最值问题对各选项分析判断即可得解． 本题考查了二次函数的最值问题，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，开口向下，二次函数在顶点处取得最大值． 6.【答案】  【解析】解：如图，作关于的对称点，连接，，， 的度数为， ， ， ， ， 的度数为． 故选：． 作关于的对称点，连接，，，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 7.【答案】  【解析】根据四边形的内角和等于计算可得，再根据圆周角定理得到，进而可以得到答案． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故选：． 8.【答案】  【解析】根据圆心角定理、垂径定理、圆的性质逐个判断即可． 【详解】同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，说法错误 平分弦非直径的直径垂直于弦，说法错误 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，说法正确 不在同一条直线上的三点确定一个圆，说法错误 综上，正确的个数为个 故选：． 9.【答案】  【解析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】与关于轴对称 抛物线的对称轴为轴， 因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于轴对称 设与交点为，则， 即在点之间的函数图像满足题意 的解集为： 故选D． 10.【答案】  【解析】本题考查了中位线定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握中位线定理是解答本题的关键． 连接，，交，于点，，根据题意，证明点，，共线，点，，共线，得到，，利用中位线定理，得到，利用，等边三角形的性质，得到的值． 【详解】解：如图，连接，，交，于点，，连接，，，，    弧，弧的中点分别是，， ，，，， ，， ，是正三角形， ，， 在和中， ， ， ， 点，，共线， 同理得点，，共线， 为半圆的直径， ， 又，， 四边形是矩形， ， ， ， ，是正三角形， ， ， 故选：． 11.【答案】  【解析】本题考查二次函数图象与性质，涉及顶点式得顶点坐标，熟记二次函数顶点式的性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数，图象的顶点坐标是， 故答案为：． 12.【答案】随机  【解析】“清明时节雨纷纷”这一事件可能发生，也可能不发生，因此这个事件是随机事件， 故答案为随机． 13.【答案】  【解析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据频数总数频率，即可得出答案． 【详解】解：件， 件衬衣中有件是不合格的． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形的应用，熟记垂径定理是解题的关键．由垂径定理知，，根据圆周角定理可求，，根据含直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15.【答案】米  【解析】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点，过点作于点， 点为线段的中点，， 为圆的直径， 宽为米，高为米， 米， 圆的半径米， ， 点为的中点， 又点为线段的中点， 是的中位线， 米， 则改造后门洞的最大高度米； 故答案为：米． 根据矩形的性质可推出线段为圆的直径，然后根据勾股定理可求出的长，再根据垂径定理求出点为的中点，利用中位线即可求出的长，即可求出最大高度． 本题考查的是垂径定理的应用，解题关键是求出直径和线段的长． 16.【答案】   【解析】解：根据题意，画出图： ，，， ， ，， ； 故答案为：； 若交于点，延长交延长线于点，如图所示： 在中， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ． 利用三角形面积相等，列出等式，求解即可； 延长交的延长线于，利用相似三角形的性质求出，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 17.【答案】【小题】 解：原式 ； 【小题】 解：是的比例中项，， ， ．   【解析】  本题考查了比例中项的概念和特殊角的三角函数值，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，可得出方程求解． 先计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可；   根据比例中项的定义，得，即可求解． 18.【答案】【小题】 解：由题意可知，布袋里装有只有颜色不同的个球，其中个红球，个白球， 所以从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率为； 【小题】 解：根据题意画出相应树状图如下， 由树状图可知，共有中等可能结果，其中摸出的个球中，个是白球，个是红球的有种结果， 摸出的个球中，个是白球，个是红球的概率为．   【解析】  根据简单概率计算公式即可获得答案；   根据题意画出相应的树状图，找出所有等可能结果，进而确定摸出的个球中，个是白球，个是红球的结果个数，然后由概率公式求解即可． 19.【答案】【小题】 【初步尝试】如图所示，作的角平分线所在直线即为所求； 【小题】 【问题联想】如图，先作的线段垂直平分线交于点，再以为圆心为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点； 【小题】 【问题再解】如图，先作的线段垂直平分线交于点，再以为圆心为半径作圆，与垂直平分线的交点为，然后以为圆心，为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．   【解析】  【初步尝试】如图，作的角平分线所在直线即为所求；   【问题联想】如图，先作的线段垂直平分线交于点，再以为圆心为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；   【问题再解】如图先作的线段垂直平分线交于点，再以为圆心为半径作圆，与垂直平分线的交点为，然后以为圆心，为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求． 20.【答案】【小题】 解：， ， ； 【小题】 解：， ， ，， 在中，， ．   【解析】  先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到；   根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可． 21.【答案】【小题】 解：如下图，即为所求； 【小题】 由图形可知，，； 【小题】 ． 答：四边形的面积为．   【解析】  本题主要考查了坐标与图形、旋转变换等知识，利用旋转的性质作出是解题关键． 首先根据旋转的性质确定点的对应点，然后顺次连接即可；   结合图形，即可获得答案；   利用割补法求解即可． 22.【答案】【小题】 解：由题意得，点在图象上． 当时， ． 【小题】 由题意得，点在图象上． 令，得． 解得：不合题意，舍去． 【小题】 当时，， ， 不会碰到水柱．   【解析】  求雕塑高，直接令，代入求解可得；   可先求出的距离，再根据对称性求的长；   利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 23.【答案】【小题】 解：设抛物线解析式为：， 桥下水面宽度是米，高是米， ，，， ，解得： 抛物线解析式为：； 要使高为米的船通过， ，则， 解得：， 米； 答：要使高为米的船通过，则其宽度须不超过米； 【小题】 解：设圆半径米，圆心为， ， ， 解得：；即圆的半径为米； 在中，由题可知，，， 根据勾股定理知：， 即， 所以， 此时宽度米． 答：要使高为米的船通过，则其宽度须不超过米．   【解析】  利用待定系数法求函数解析式即可； 根据题意得出时，求出的值即可；   构造直角三角形利用，求出即可； 在中，由题可知，，，根据勾股定理知：，求出即可． 24.【答案】【小题】 【小题】 解：存在点，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令得， ， ， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得或 或； 【小题】 解：由抛物线对称轴为直线分三种情况： 当即时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得舍去或， 此时； 当即时，时最小值为， 这种情况不存在最小值为； 当时，随的增大而增大， 时，取最小值， ， 解得舍去或； 此时， 综上所述，或．   【解析】  由对称轴为直线，点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为即可得顶点； 【详解】解：对称轴为直线，点的坐标为， ， 将代入得： ，解得 抛物线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：；   设，可得根据是以为斜边的直角三角形，有即可解得或；   由抛物线对称轴为直线分三种情况：当即时，随的增大而减小，可得当即时，时最小值为这种情况不存在最小值为；当时，随的增大而增大，有，分别解方程可得答案． 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$