精品解析：河南省周口市商水县大武乡第二初级中学等校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试卷 八年级数学 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如果一个单项式与-3ab的积为，则这个单项式为（　　） A. B. C. D. 4. 多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　） A. x﹣1 B. x+1 C. x2﹣1 D. （x﹣1）2 5. 若n为正整数，且 则 的值 ( ) A. 837 B. 2891 C. 3283 D. 1225 6. 如果的结果不含项，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 7. 从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 9. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 10. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ） A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 计算：________ 12. 已知，则_________． 13. 已知a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，那么a＝_______，b＝______. 14. 对于实数，规定一种运算，例如：．若，则__________． 15. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（），甲、乙的面积分别记为，．请比较与的大小：______．（填“＞”“＜”或“＝”） 三、解答题(共75分) 16. 按要求完成 （1）分解因式：； （2）计算： 17. 已知 ，． （1）求和的值． （2）求 的值． 18. 先化简，再求值： （1），其中； （2）其中． 19. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图． 如，第一次按键后，，两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果； （2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 20. 小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心污染了这道习题，只看见被除式的其中一项“”和中间的符号“”，污染后的习题形式如下：．小明翻看了书后的答案是“ ”，请你帮忙复原这道习题． 21. 规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． （1）根据上述规定，填空： ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 22. 定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． （1）若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． （2）若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 23. 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证 （1）的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试卷 八年级数学 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项法则可判定A，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B，利用同底数幂乘法法则可判定C，利用完全平方公式可判定D． 【详解】解：A. ，故选项A计算不正确； B. ，故选项B计算正确； C. ，故选项C计算不正确； D. ，故选项D计算不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键． 3. 如果一个单项式与-3ab的积为，则这个单项式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知两个因式的积与其中一个因式，求另一个因式，用除法．根据单项式的除法法则计算即可得出结果． 【详解】解：（-a2bc）÷（-3ab）=ac． 故选A． 【点睛】本题考查了单项式的除法法则．单项式与单项式相除，把他们的系数分别相除，相同字母的幂分别相除，对于只在被除式里出现的字母，连同他的指数不变，作为商的一个因式． 4. 多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　） A. x﹣1 B. x+1 C. x2﹣1 D. （x﹣1）2 【答案】A 【解析】 【分析】分别将多项式 与多项式 进行因式分解，找出公因式即可； 【详解】解：多项式：，多项式：， 则两多项式的公因式为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 5. 若n为正整数，且 则 的值 ( ) A. 837 B. 2891 C. 3283 D. 1225 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方计算，幂的乘方的逆运算，把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 6. 如果的结果不含项，则的值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，然后再由结果不含x项可进行求解． 【详解】解：， ∵结果不含项， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的方法是解题的关键． 7. 从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 8. 已知，，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，可求再整体代入即可． 【详解】解: ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键． 9. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为1 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，求出已有展开式的系数和，推出的展开式的系数和为，进而求出展开式的系数和即可． 【详解】解：∵的展开式的系数和为：； 的展开式的系数和为：； 的展开式的系数和为：； ， ∴的展开式的系数和为， ∴展开式的系数和是； 故选C． 10. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ） A. 205 B. 250 C. 502 D. 520 【答案】D 【解析】 【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案． 【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为 由这两个奇数得到的“幸福数”为 观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4 即 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知，则_________． 【答案】36 【解析】 【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】∵， ∴原式=， 故答案是：36． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 13. 已知a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，那么a＝_______，b＝______. 【答案】 ①. -1 ②. 3 【解析】 【详解】∵a2＋2a＋b2－6b＋10＝0， ∴a2＋2a＋1+b2－6b＋9＝0， ∴(a+1)2+(b﹣3)2=0， 则a+1=0，b﹣3=0， 即a=﹣1，b=3. 故答案为﹣1；3. 【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负性，解此题的关键在于将原式配方成两个完全平方相加等于0，再根据非负数的性质求解即可. 14. 对于实数，规定一种运算，例如：．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算、整式的加减乘法运算等知识，理解新定义运算是解决问题的关键．根据题中新定义的，将化为，再由整式的乘法运算、加减运算求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， ， 解得， 故答案为：． 15. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（），甲、乙的面积分别记为，．请比较与的大小：______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的计算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解决问题的关键．根据题意利用多项式乘多项式的法则求出，，再求出，根据，得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题(共75分) 16. 按要求完成 （1）分解因式：； （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，整式的混合计算： （1）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知 ，． （1）求和的值． （2）求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算，从而可求解； （2）把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ，． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值： （1），其中； （2）其中． 【答案】（1） （2）， 2023 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，接着合并同类项化简，最后根据非负数的性质求出a、b的值，进而代值计算即可得到答案； （2）先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，接着根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式； 【小问2详解】 解； ， 当时，原式． 19. 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图． 如，第一次按键后，，两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果； （2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 【答案】（1）；； （2）；和不能为负数，理由： 初始状态按4次后A显示为： B显示为： ∴A+B= = = ∵恒成立， ∴和不能为负数． 【解析】 【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果． （2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可． 【详解】解：（1）A区显示结果为： ， B区显示结果为：； （2）略 【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负． 20. 小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心污染了这道习题，只看见被除式的其中一项“”和中间的符号“”，污染后的习题形式如下：．小明翻看了书后的答案是“ ”，请你帮忙复原这道习题． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，单项式除以单项式，单项式乘以多项式，由于除以一个单项式的结果一定是个单项式，那么除以这个单项式的结果可以为或，据此分两种情况求出除数，进而确定被除数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，有两种情况： ①除式是 此时被除式是 ∴这道习题为 ； ②除式是， 此时被除式是 ， ∴这道习题为 ； 综上所述，这道习题为 或． 21. 规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． （1）根据上述规定，填空： ； （2）小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【答案】（1）3；2；0 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【小问1详解】 解：， ； ， ； ∵， ∴． 【小问2详解】 解：设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 22. 定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． （1）若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． （2）若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 【答案】（1） B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵， 的项数比A的项数多1， ∴B是A的“郡园多项式”． （2）2 【解析】 【分析】题目主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键． （1）根据多项式的乘法及项数依据新定义求解即可； （2）根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴且，解得， ∴a的值是2． 23. 发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证 （1）的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 【答案】验证：（1）的结果是5的3倍； （2）设五个连续整数的中间一个为n， 则， ∵n为整数， ∴这个和是5的倍数； 延伸：任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2，理由如下： 设三个连续整数的中间的整数为n， 则 ∵， 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键． 验证：（1）直接计算这个算式的值即可；（2）先用代数式表示出这五个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论； 延伸：设三个连续整数的中间的整数为n，先用代数式表示出这三个连续整数的平方和，再化简，根据代数式的形式作出结论． 【详解】解：验证：（1）∵， ∴结果是5的3倍； （2）略 延伸：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $