第3章函数的概念与性质章末检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第3章函数的概念与性质章末检测卷-2024-2025学年高一数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D．不确定 2．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D．1 4．定义在R上的偶函数，满足，在区间上单调递减，设，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 6．设函数的定义域为，则“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，，都有，且，都有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．函数，则下列选项中正确的有（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．若，则函数是定义域上的增函数 C．若，则函数的值域为 D．若，则，不等式（是一个无限小的正实数）恒成立 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.若，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．函数的值域为 C．当时，函数的值域为 D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是 三、填空题 12．函数的值域为 . 13．已知函数是定义域为，图象恒过点，对于上任意，都有，则关于的不等式的解集为 ． 14．已知函数若存在最小值，则实数的最大值为 . 四、解答题 15．已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，用定义法证明在上单调递减． 16．已知函数是定义域为的奇函数. (1)求出的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明该结论； (3)解不等式. 17．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为. (1)求函数的解析式； (2)记函数，求的最大值及相应的的值. 18．已知定义在上的函数满足：对任意，都有，且当时，． (1)判断并证明的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19．已知过点，且满足 (1)若存在实数，使得不等式成立，求实数t的取值范围. (2)求在上的最小值 (3)若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A B A C A BC ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称，得，可求得；根据是偶函数，得，代入解析式，可求得，从而求得的值. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得. 由，得，解得. 所以. 故选：. 2．A 【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解. 【详解】由二次函数性质可知，要使函数在上单调递减，只需， 解得，即的取值范围为. 故选：A 3．D 【分析】根据分段函数求函数值. 【详解】由题可知，， 故选:D. 4．A 【分析】由题意得的周期为4，在区间上单调递增，据此即可求解. 【详解】因为定义在R上的偶函数，满足， 所以，所以的周期为4， 因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递增， . 故选：A. 5．B 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】设，则且，因为，可得， 所以函数. 故选：B. 6．A 【分析】根据函数的单调性、最值以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若“在区间上单调递增”， 则“在区间上的最大值为”； 若“在区间上的最大值为”， 则在区间上不一定单调. 所以“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的充分不必要条件. 故选：A 7．C 【分析】根据图象分析的奇偶性以及定义域，然后逐项判断即可. 【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为， 对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合； 对于B：定义域为，不符合； 对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合； 对于D：定义域为，不符合； 故选：C. 8．A 【分析】采用赋值法先分析的奇偶性，再根据条件得到的单调性，然后将函数值大小关系转化为自变量大小关系，从而可求结果. 【详解】因为，都有， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则， 又的定义域为关于原点对称，所以为偶函数； 因为，都有， 即，都有， 所以在上单调递减， 所以在上单调递减，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 由此解得或， 故选：A. 9．BC 【分析】根据同一函数的对应法则、定义域相同判断各项正误. 【详解】A：对于，定义域为，对于，定义域为，不是同一函数； B：根据解析式对应法则和定义域都相同，是同一函数； C：由，显然与的对应法则、定义域都相同，是同一函数； D：由的定义域为，而的定义域为R，不是同一函数. 故选：BC 10．ACD 【分析】由奇函数的定义，以及解析式直接判断函数单调性，基本不等式求最值，和对勾函数的单调性逐个判断即可. 【详解】对于A：函数定义域为，且，所以为奇函数，A正确； 对于B：当，取可得：，显然在定义域上不是增函数，B错误； 对于C：，当时， 在时，，当切仅当时取等号，再结合函数为奇函数， 故函数的值域为，C正确； 对于D：，由对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，又，（是一个无限小的正实数）,所以， 所以恒成立，D正确， 故选：ACD 11．BCD 【分析】对于A，利用取整函数的定义即可判断；对于B，利用取整函数定义得到即即可得解； 对于C，由题意结合取整函数的定义得且，代入解析式即可求解； 对于D，依据已知条件的结构特征得到，再由得到，从而得解. 【详解】对于A，表示不超过的最大整数，若，， 因为是整数，则，矛盾，故A错误； 对于B，由取整函数定义可得，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，因为，所以且， 所以， 且，当且仅当时取等号， 所以当时，函数的值域为，故C正确； 对于D，若，使得，，，…，同时成立， 则，且，且，且，…，且， 因为，所以若，则不存在t满足和， 所以只有当时，存在满足题意. 所以满足题意的正整数的最大值是.故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：对于D选项，关键在于依据已知条件的结构特征，依次选定关于t取值的特殊的解的范围：，且，且，且，…，且，从而得到t的解是这些不等式的公共部分，再结合得到无解，从而得到而得解. 12． 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 13． 【分析】构造函数，利用的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为，所以， 即，即在上单调递增. 又，所以. 由，即. 所以. 故答案为： 14．2 【分析】根据题意，分，以及讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，单调递减，当时，， 当时，由可得， 由可得，此时函数取不到最小值， 当时，由可得， 由可得，此时函数存在最小值， 当时，若存在最小值，则，解得， 综上所述，，所以的最大值为2. 故答案为： 15．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求出方程的两根，再分、、三种情况讨论，分别求出所对应的不等式的解集； （2）首先求出解析式，再根据函数的单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由，得方程的两根分别为、， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）当时，，则， 任取，则 ， 由，有， 得，即，所以在上单调递减． 16．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称和求出即可； （2）利用定义法证明,当时，，从而判断函数是单调递减的； （3）利用奇函数和减函数解抽象函数不等式，再配合分式不等式的解法求出即可； 【详解】（1）由奇函数的定义域关于原点对称，所以， 又，所以， 所以， （2）在上为减函数；证明如下： 证明：设， 又由，则，，， 则有，即函数在上为减函数； （3）即， 因为是定义域为的奇函数，所以， 又函数在上为减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 17．(1) (2)时，有最大值为 【分析】（1）根据题意分、和三种情况，结合题意运算求解即可； （2）由（1）可得的解析式，分、和三种情况，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）设直线与轴交于点，与线段或交于点， 由已知有，，， 当时，； 当时，； 当时，； 所以. （2）由（1）可得. 当时，； 当时，，当且仅当，即时取等号， 此时； 当时，； 综上所述：当时，有最大值为 18．(1)奇函数，证明见解析； (2)增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令可求得的值，令，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立. （2）设，则，，作差，并判断出的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立. （3）由奇函数的性质变形不等式，再利用单调性脱去法则，分离参数转化成恒成立问题求解. 【详解】（1）函数为奇函数. 对任意，都有， 令，得，解得， ，令，则，即， 所以为奇函数. （2）函数在上单调递增. ，则，而当时，，于是， 则， 所以函数在上单调递增. （3）不等式， 由（1）知 ，由（2）知，， 因此对任意，不等式恒成立，即恒成立， 而当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 19．(1)； (2)； (3)6. 【分析】（1）根据已知条件直接列方程求解可得的解析式，然后将问题转化为最值问题即可得解； （2）根据二次函数单调性对分类讨论即可； （3）将条件转化为有两个不相等的正实数根，然后求出的范围，利用韦达定理将所求转化为关于的表达式，利用基本不等式求解可得. 【详解】（1）由题设可知，得， 因为，所以，解得，， 若存在实数，使得不等式成立，即，所以， 由二次函数性质可知，，因此. （2）的对称轴为 当时，在上的最小值为 当，即，在上的最小值为， 当，即时，在上的最小值为. 综上所述， （3）由得， 函数有两个不相等的不动点、，且、， 即有两个不相等的正实数根、， 即有两个不相等的正实数根、， ， 则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$