浙江省宁波市海曙区部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期九年级期中教学质量检测试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的对称轴是直线(    ) A. B. C. D. 2.如图，点在上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.将抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位所得的解析式为(    ) A. B. C. D. 4.已知线段，，线段是线段，的比例中项，那么线段的长为(    ) A. B. C. D. 5.对抛物线而言，下列结论正确的是(    ) A. 开口向上 B. 与轴的交点坐标是 C. 与两坐标轴有两个交点 D. 当时，有最大值 6.小明所在的班级有人去体育场观看演出，张票分别为区第排号到号采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是(    ) A. B. C. D. 7.点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是(    ) A. B. C. D. 8.如图，直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时到了点的位置，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 9.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为下列描述正确的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10.已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；若点在该抛物线上，则其中正确的结论个数是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若二次函数的图象开口向上，请写出一个符合题意的的值为          ． 12.在一个不透明的盒子里装有个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为           13.一个扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为          ． 14.某一型号飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行时间单位：之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行          才能停下来． 15.已知二次函数与轴的交点是和，关于的方程其中的两个解分别是和，关于的方程其中也有两个整数解，这两个整数解分别是          ． 16.我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为的圆十二等分构造出个矩形和个正方形如图，则阴影部分的面积是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 一个二次函数，其图象由抛物线向右平移个单位所得． 写出平移后的抛物线的函数表达式； 若将中的抛物线再向上平移个单位后经过，求的值． 18.本小题分 如图，是一个的网格，每个小正方形的边长均为． 在图中，画一个以为一边的等腰直角三角形． 在图中，用一把无刻度直尺，在线段中作出一点，使得，并保留作图痕迹． 19.本小题分 某校社会实践小组为了测量花丛中路灯的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，路灯的顶端点正好在同一直线上，测得，将标杆向后平移到达点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，路灯的顶端点正好在同一直线上，这时测得， 求证：； 请你根据以上数据，计算花丛中路灯的高度． 20.本小题分 如图，已知二次函数图象经过点和． 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． 当时，请根据图象直接写出的取值范围． 21.本小题分 【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图，抛物线的顶点为轴于点，它与轴交于点，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比． 【特例】如图，已知抛物线与轴交于点点在点右侧抛物线关于轴的矢高是          ，跨径是          ，矢跨比是          ； 【应用】如图是某地一座三连拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为米与米，已知主跨的矢跨比为，请求出边跨的矢跨比． 22.本小题分 一条盘水管的截面如图所示，水面宽垂直平分半径． 求的度数； 若的半径为，求弦的长． 若连结，请判断四边形的形状，并给出证明． 23.本小题分 如图，四边形内接于，平分，延长交的延长线于点． 若，求的度数； 若，求证： 24.本小题分 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形． 如图，点是的中点，是所对的圆周角，，连结，试说明与是偏等三角形． 如图，与是偏等三角形，其中，则__请填写结论，并说明理由． 如图，内接于，，若点在上，且与是偏等三角形，，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据抛物线解析式，可直接求出对称轴． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为． 故选：． 2.【答案】  【解析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求解即可． 【详解】解：， ， 故选：． 3.【答案】  【解析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】依题意可知，原抛物线顶点坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为， 又因为平移不改变二次项系数， 所以所得抛物线解析式为：． 故选：． 4.【答案】  【解析】根据线段比例中项的概念，：：，可得，故的值可求． 【详解】线段是、的比例中项， ， 解得， 又线段是正数， ． 故选：． 5.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式求解，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：、抛物线中，， 抛物线开口向下，故此选项错误，不符合题意； 、当时，， 抛物线与轴交点坐标为，故此选项错误，不符合题意； 、， 抛物线与轴有个交点， 又抛物线与轴交点坐标为， 与两坐标轴有三个交点，故此选项错误，不符合题意； 、， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，为函数最大值，故此选项正确，符合题意； 故选：． 6.【答案】  【解析】解：因为与号座位相邻得有个座位， 所以小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率为． 故选：． 直接利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：灵活运用概率公式是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】解：如图： 点，点是线段的黄金分割点，， ， ， ， 故选：． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 8.【答案】  【解析】本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为，阴影面积为旋转后为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可． 【详解】解：直径的半圆，绕点顺时针旋转， ， 又， ， ， ， ， 故选：． 9.【答案】  【解析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：、当时，可能大于，故本选项不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选： 10.【答案】  【解析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和函数图象，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：抛物线开口向上， ，故正确； 抛物线与轴没有交点， ，故错误； 由抛物线的顶点坐标是，可设抛物线为， 过点， ，解得， ， ， ，故正确， 抛物线的最低点是， 若点在该抛物线上，则，故正确． 故选：． 11.【答案】正数即可，答案不唯一  【解析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数图象的开口方向与二次项系数有关，时，开口向上，时，开口向下，本题中的图象开口向上，可知，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， 故答案为：正数即可，答案不唯一． 12.【答案】  【解析】黑色棋子除以对应概率算出棋子的总数，再减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数． 【详解】个 白色棋子有个． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】直接运用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：根据弧长的公式， 得到：， 故答案是： 14.【答案】  【解析】解：， 函数有最大值． ， 即飞机着陆后滑行米才能停止， 故答案为：． 15.【答案】和  【解析】本题考查二次函数与一元二次方程．解决问题的关键是画出图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 先确定二次函数与轴和直线的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与的交点位置，判断两个根的大小范围即可求解． 【详解】解：由题意可知二次函数与轴的交点分别为和， 与的交点分别为和， 设与的交点分别为和， ， 直线在轴和直线之间， 如图所示： 由图可知，， 又，都为整数， ，， 故答案为：和． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接、、、，过点作，垂足为， 由圆的对称性可知，点、点是的三等分点，四边形是正方形， ，， 在中，，， ，， 在中，，， ， ， 个阴影三角形的面积和为：， 故答案为：． 根据正多边形与圆的对称性、垂径定理以及正多边形与圆的计算，可求出，，由直角三角形的边角关系求出、、，根据三角形的面积公式进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，理解正多边形和圆的对称性，掌握正多边形和圆的相关计算的方法是解题的关键． 17.【答案】解：由题意得，平移后的抛物线的函数表达式为． 将抛物线向上平移个单位后，得， 将代入， 得， 解得．  【解析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减可得答案． 抛物线向上平移个单位后，得，将代入计算即可． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18.【答案】【小题】 解：如图所示，即为所求； 利用勾股定理和勾股定理的逆定理易证明，，则为等腰直角三角形； 【小题】 解；如图所示，取格点、，连接交于，点即为所求； 易证明，则，则点即为所求．   【解析】  本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 如图所示，取格点，连接，则即为所求；   如图所示，取格点、，连接交于，点即为所求． 19.【答案】【小题】 解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ； 【小题】 ，， ， ，经检验符合题意， ， ， ，经检验符合题意； 答：花丛中路灯的高度米．   【解析】  本题考查相似三角形的应用，解题的关键是： 首先证明，，得到，，等量代换可得；   列出方程求出，由可得结果． 20.【答案】【小题】 解：二次函数图象经过点和． ，解得： 抛物线为， 顶点坐标为：； 【小题】 当时，， 解得：，，    如图，当时， ．   【解析】  把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；   把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 21.【答案】【小题】 【小题】 设以主跨的对称轴为轴的坐标系，如图，   依题意主跨的矢跨比为，设矢高是，则跨径是，设主跨的抛物线表达式为 主跨的跨径为米， ，解得， 根据跨径为，抛物线与轴交点， ，解得， 则主跨的抛物线表达式为 主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线， 设边跨的抛物线表达式为 边跨的跨径为米， 边跨的抛物线与轴交和， ，解得 则边跨的抛物线表达式为 即其顶点坐标为， 边跨的矢跨比为，   【解析】  本题主要考查了二次函数的实际应用，根据待定系数法求解析式及二次函数的图像和性质是解题即可． 根据求得矢高和跨径的值，结合给定的矢跨比的定义，即可求解； 【详解】解：抛物线的顶点为， 抛物线的顶点到轴的距离是， 拋物线关于轴的矢高是， 在中，当时，， 解得， ， 抛物线关于轴的跨径是， 矢跨比是；   依题意建立坐标系，设根据主跨的矢跨比为和跨径为米，求得主跨抛物线表达式为根据题意设可得边跨的抛物线与轴交和，可求得边跨抛物线表达式为进一步求得顶点坐标，即可求得边跨的矢跨比． 22.【答案】【小题】 解：垂直平分， ， 由， ， 为等边三角形， ； 【小题】 的半径为，即， 又垂直平分， ，且， ， ，为半径， ， ； 【小题】 四边形为菱形，证明如下： 连接，如下图， 垂直平分， ，， 由， ， 四边形为菱形．   【解析】  结合垂直平分线的性质以及圆的性质，证明，易知为等边三角形，即可获得答案；   结合题意可得，，利用勾股定理可解得，然后由垂径定理可知，即可获得答案；   证明，即可判断四边形的形状． 23.【答案】【小题】 四边形内接于， ， 又， ， ． 【小题】 ， ， 平分， ， ， 四边形内接于， ， 又， ， ≌， ．   【解析】  根据圆内接四边形的性质计算即可；   证明≌即可． 24.【答案】【小题】 点是的中点， ， 又， 与是偏等三角形． 【小题】 ，理由如下： 如图，在上截取，连接， 又， ， ，， ， ， ， ， 【小题】 分类讨论：当时，如图， ，， ， ， ， ， 符合题意， ； 当时，如图， 过点作于点， ， ， ，， 符合题意， 设，则， ，即， ， ， ， 综上，的值为或．   【解析】  由题意得，从而得到结论；   在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得到，，证出，则可得出结论；   分两种情况：当时，求出；当时，过点作于点，由直角三角形的性质可得出答案． 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$