精品解析：安徽省淮南第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

淮南二中2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为上的奇函数，当时，，则（　　） A. B. 0 C. 2 D. 4 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过大约（ ）个小时才能驾驶. A. B. C. D. 6. 二次函数与指数函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数当时，方程的根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数最小值为2 C. 已知，，则 D. 函数的单调递增区间为 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.13题第一空2分，第二空3分） 12. 命题“，”的否定是_________． 13. 函数的图象的对称中心是______，不等式的解集是______. 14. 已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2） 16. 给定函数，，，用表示，中的较大者，记为. （1）求函数的解析式并画出其图象； （2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）证明函数是奇函数，并判断单调性（不需要证明） （2）求使不等式恒成立时，实数的取值范围； （3）令（其中），求函数在上的值域. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系；，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （3）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南二中2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，，所以. 故选：C 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设幂函数,将代入，求得 ，即得答案. 【详解】设幂函数，由于的图象过点， 故， 即， 故选：A 3. 已知为上的奇函数，当时，，则（　　） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，为上的奇函数，所以， 且， 所以. 故选：A 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，，，所以． 故选：A. 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过大约（ ）个小时才能驾驶. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意饮酒后的初始含量为，根据酒精递减速度列出不等式计算可得结论. 【详解】根据题意可知，相当于饮酒后的初始含量为血液中酒精含量达到； 依题意可知，小时后血液中酒精含量为， 若能正常驾驶需满足， 即，经代入选项验证可得即可满足条件， 即至少经过大约5个小时才能驾驶. 故选：C 6. 二次函数与指数函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数知同号，再结合二次函数的对称轴、二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得答案. 【详解】根据指数函数知同号且不相等，可知二次函数的对称轴，可排除， 对于选项，时，所以，又，所以，与指数函数单调递减矛盾，故不正确. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，属于中档题. \ 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 8. 已知函数当时，方程的根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解. 【详解】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点. 综上所述，两函数有三个零点. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分） 9. 下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项 【详解】①，正确； ②根据指数式和对数式的互化可知其正确； ③，错误； ④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误. 故选：AB 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 函数最小值为2 C. 已知，，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可判定A，利用基本不等式可排除B，利用奇偶性可判定C，利用复合函数的单调可判定D. 【详解】对A：由特称命题的否定形式可知A正确； 对B：易知， 由基本不等式知， 当且仅当，即时能取得等号，显然不成立，故B错误； 对C：易知，令， 易知，即为奇函数， 所以，则，故C正确； 对D：令，显然在上单调递减， 而是定义域上的减函数， 根据复合函数的单调性知函数的单调递增区间为，故D正确. 故选：ACD 11. 对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ） A. 函数是“倒函数” B. 若函数在上为“倒函数”，则 C. 若函数在上为“倒函数”，当，则 D. 若函数在上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调增函数，记，若，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D. 【详解】对于A，对于，则， 所以， 则函数是“倒函数”，故A正确； 对于B，取，则， 所以， 此时在R上为“倒函数”，但，故B错误； 对于C，当时，则，所以，故C正确； 对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数， 所以， 任取、且，则，所以，， 所以 ， 所以函数为上的增函数， 因为，故函数为上的奇函数， 当时，即，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.13题第一空2分，第二空3分） 12. 命题“，”的否定是_________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】解：因为命题“，”为全称量词命题， 所以该命题的否定为“，”． 故答案为：， 13. 函数的图象的对称中心是______，不等式的解集是______. 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】空1：整理可得，结合函数图象平移求对称中心；空2：分和两种情况，根据题意运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为的对称中心为，向右平移1个单位，得到，对称中心为， 再向上平移1个单位，得到，对称中心为； 因为的定义域为，则有： 当时，则，可得，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：不等式的解集是. 故答案为：；. 14. 已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和函数在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，函数和函数在上单调性相同，由和单调性相反，可得在上恒成立，进而求出的取值范围． 【详解】因为函数与的图象关于y轴对称， 所以, 因为为函数的“不动区间”， 所以函数和函数在区间上的单调性相同, 又因为和的单调性相反， 所以在上恒成立， 而在时，， 所以在上恒成立，所以， 故答案为：. 【点睛】已知函数单调性求参数的范围的常用方法， (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】根据指数幂的运算即可求解（1）；根据对数的运算性质计算即可求解（2）. 【详解】（1）原式 （2）原式 16. 给定函数，，，用表示，中的较大者，记为. （1）求函数的解析式并画出其图象； （2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 图象如下： （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解并画出图象即可； （2）构造新函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ①当即时，，则， ②当即或时，，则， 故 图象如下： 【小问2详解】 由（1）得，当时，， 则在上恒成立等价于在上恒成立. 令，， 原问题等价于在上的最小值. ①当即时，在上单调递增， 则，故. ②当即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，由时，，故不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）证明函数是奇函数，并判断单调性（不需要证明） （2）求使不等式恒成立时，实数的取值范围； （3）令（其中），求函数在上的值域. 【答案】（1） 因为的定义域为R，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数. 在R上单调递增. （2） （3） 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为. 【解析】 【分析】（1）先判断函数的定义域，然后再分析之间的关系，从而判断出的奇偶性； （2）根据函数的奇偶性将不等式变形，再根据函数的单调性将函数值的不等关系转变为自变量的不等关系，再根据恒成立的思想求解出的取值范围. （3）令，得到二次函数，结合二次函数的图象与性质分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为奇函数且恒成立， 所以恒成立， 又因为是R上的增函数，所以恒成立， 所以对成立， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 ， 令，由（1）可知为增函数， ∵，∴， 令， 若，当时，，则， 此时在上的值域为； 若时，，此时在上的值域为； 综上，当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系；，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为千克时，该水果单株最大利润，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可得解. 【小问1详解】 依题意，当时， ； 当时， ； 所以； 【小问2详解】 当时，， 此时由二次函数的性质可知； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立； 综上，当施用肥料为千克时，该水果单株最大利润，最大利润为元. 19. 定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （3）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】（1）为“1距”增函数. （2）. （3）,当时，,当时，. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【小问1详解】 因为，故， 故为“1距”增函数. 【小问2详解】 由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. 【小问3详解】 因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 所以. 令，则. ①当时，即时， 当时， ②当时，即时， 当时， 综上，当时， 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $