浙江省台州市重点中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试卷

2024学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则等于(    ) A. B. C. D. 2.在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将个标有“北斗”，个标有“天眼”，个标有“高铁”的小球除标记外其它都相同放入盒中，小红从盒中随机摸出个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是(    ) A. 摸出“北斗”小球的可能性最大 B. 摸出“天眼”小球的可能性最大 C. 摸出“高铁”小球的可能性最大 D. 摸出三种小球的可能性相同 3.已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为(    ) A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 不能确定 4.元旦游园晚会上，有一个闯关活动，将个大小重量完全一样的乒乓球放入一个袋子中，其中个白色的，个黄色的，个绿色的，个红色的，如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率是(    ) A. B. C. D. 5.下表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据图答下列问题： 投篮次数(    ) 投中次数 估计这位同学投篮一次，设中的概率约是    精确到 A. B. C. D. 6.如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手的开口的值应是(    ) A. B. C. D. 7.如图，内接于，是的直径若，的度数为，则等于(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，点在边上，于点，点在边上，连结，，已知的值，则可求得以下哪个图形的面积(    ) A. B. C. D. 9.点都在二次函数的图象上，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 10.如图，是的外接圆，，点是外一点，，，则线段的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，四边形内接于圆，若，则的度数是          ． 12.为估计种子的发芽率，做了次试验．每次种了颗种子，发芽的种子都是颗左右，预估该种子的发芽率是          ． 13.将二次函数的图象向上平移          个单位，可以得到二次函数的图象． 14.如图，在中，，，则           15.已知线段，点是它的黄金分割点，则的长为           ． 16.如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆，是半圆上的一个动点，是的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点的运动路径长为          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，的顶点都在边长为的正方形组成的网格格点上，，． 将绕点顺时针旋转得到，作出旋转后的； 在旋转过程中，点经过的路径为，求的长． 18.本小题分 一个不透明的口袋里装着分别标有数字，，，的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验时把小球搅匀． 从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率为______； 从中任取一球，记下球上的数字，然后把小球放回；再任取一球，记下球上的数字，请用画树状图或列表法的方法，求出两球上的两数之积为非负数的概率． 19.本小题分 在一个不透明的袋子中，分别装有写着整数，，，的四个质地、大小均相同的小球． 从四个小球中任意抽取一个，则该小球上的数字是奇数的概率为           ； 从四个小球中随机地摸取一个小球不放回，再随机抽取一个小球，利用树状图或者列表法求两次球上的数字都小于的概率． 20.本小题分 如图，是的三等分点，连结分别交于点． 求出的度数； 求证：． 21.本小题分 如图，已知是的直径，是所对的圆周角，． 求的度数； 过点作，垂足为，的延长线交于点若，求的长． 22.本小题分 在中，，，点为内一点，连接、． 把逆时针旋转得到了如图，旋转中心是点          ，旋转角是          ． 在的条件下，延长交于，求证：． 在图中，若，把绕点逆时针旋转得到，如图，若旋转一周，当旋转角是多少度时，，直接写出结果． 23.本小题分 一网店经营一种玩具，购进时的单价是元．根据市场调查表明：当销售单价是元时，销售量是件，而销售单价每涨元，就会少售出件玩具． 不妨设该玩具的销售单价为元，请你分别用的代数式来表示销售量件和销售该玩具获得利润元，并把结果填写在表格中： 销售单价元 销售量件 销售玩具获得利润元 若该网店要获得了元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？ 若该网店要完成不少于件的销售任务，求网店销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 24.本小题分 抛物线与直线交于原点和点，与轴交于点，顶点为． 填空：点的坐标为          ，点的坐标为          ． 如图，连结，为轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求点的坐标； 如图，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横生标为，连结，，与直线交于点设和的面积分别为和，设己，试求关于的函数解析式并求出的最值， 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据比例的性质即可求解． 【详解】 故选C． 2.【答案】  【解析】根据概率公式计算摸出三种小球的概率，即可得出答案． 【详解】解：盒中小球总量为：个， 摸出“北斗”小球的概率为：， 摸出“天眼”小球的概率为：， 摸出“高铁”小球的概率为：， 因此摸出“高铁”小球的可能性最大． 故选C． 3.【答案】  【解析】本题考查点与圆的位置关系，涉及点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径比较即可得到答案，熟练掌握点与圆的位置关系的判定是解决问题的关键． 【详解】解：点到圆心的距离为，的半径为，即， 点与的位置关系为点在外， 故选：． 4.【答案】  【解析】已知全部个球，只有个红球，所以任意摸出一个乒乓球是红色的概率是故选D． 点睛：本题主要考查了等可能事件的概率、考查概率的求法，即如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 5.【答案】  【解析】本题考查了利用频率估计概率的知识．计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 【详解】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是 ， 故选：． 6.【答案】  【解析】根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出的值，此题得解． 【详解】正六边形的任一内角为， 如图，   ， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接、， 由题意知， ， ， ， ， ， ， 故选：． 如图，连接、，由圆周角定理可得，，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可． 本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：如图， 设，，，， 则， ， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， 若已知的值，即已知， 即只可求出， 故选：． 设，，，，则可表示出则，，，，再证明∽，根据相似三角形的性质表示出，即可表示出，根据已知的值，即已知，即可判断． 该题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积计算等知识点，解题的关键是表示出选项中的四个三角形的面积． 9.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点都在二次函数的图象上，且， 点到直线的距离小于点到直线的距离， ， ． 故选：． 10.【答案】  【解析】连接、，如图，则是顶角为的等腰三角形，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，则，，，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得，于是求的最大值转化为求的最大值，因为，所以当、、三点共线时，最大，据此求解即可． 【详解】解：连接、，如图，则，，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，则，，， 过点作于点，则，， 在直角中，，， 当最大时，最大， 又因为，所以当、、三点共线时，最大，此时， 所以的最大值是：． 故选：． 11.【答案】度  【解析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】根据发芽率的意义，求出发芽的种子数占实验种子总数的百分比即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律即可得解． 【详解】解： 二次函数的图象向上平移个单位，可以得到二次函数的图象， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】根据等弧所对的弦相等求得，从而判定是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角；最后由三角形的内角和定理求的度数即可． 【详解】解：在中，， ， 是等腰三角形， ； 又， ． 故答案为：． 15.【答案】或  【解析】本题考查的是黄金分割的概念，根据黄金比值计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， 当时， ， 当时， ， 故答案为：或． 16.【答案】  【解析】本题主要考查了求弧长，三角形中位线定理，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理得，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接， 在中，，，， 则由勾股定理得， ， 点是的中点，点是的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 点的运动路径长为， 故答案为：． 17.【答案】解：，，将绕点顺时针旋转得到， ，，如图，即为所求作： ； ， ， 由图可知：的长为．  【解析】根据题意先分别求出旋转后的点坐标，再依次连接各点即可得到本题答案； 先利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式即可得到本题答案． 本题考查旋转的性质，弧长公式，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18.【答案】  【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有种， 所抽取的数字恰好为负数的概率为． 故答案为：． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两球上的两数之积为非负数的结果有：，，，，，，，，，，，，共种， 两球上的两数之积为非负数的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中所抽取的数字恰好为负数的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及两球上的两数之积为非负数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19.【答案】【小题】 【小题】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有种等可能性的结果数数，两次球上的数字都小于的结果数有种， 两次球上的数字都小于的概率为．   【解析】  本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． 由题意可知，共有四种等可能结果，其中数字是奇数的有两种等可能结果，于是求出该小球上的数字是奇数的概率； 【详解】解：由题意可知，任意抽取一个，共有四种等可能结果，分别是，，，，其中数字是奇数的有两种等可能结果，即，， 该小球上的数字是奇数的概率为；   用列表法或树状图法求出两次试验所有等可能结果，再看两次球上的数字都小于的有几种等可能结果，于是求出所求概率． 20.【答案】【小题】 解：证明：连接，，如图，    在中，半径，、为以为圆心的弧的三等分点， ， ， ， ， ； 【小题】 ，， ， ， ，同理， ，是的三等分点， ， ．   【解析】  本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： 连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解；   根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 21.【答案】【小题】 连结，   是的直径， ， 【小题】 ，， ，，且是直径   ．   【解析】  连结，根据圆周角性质，得；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；   根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案． 22.【答案】【小题】 【小题】 证明：由逆时针旋转得到了可知， 在中，， 在中，， 而 ， 即 【小题】 解：如图，依题意得， 当点在内部时， ， ， 当点在外部时， ， ， 绕点旋转， 综上所述，当旋转角是或时，． 故答案为：或      【解析】  根据图形旋转的概念回答即可； 【详解】解：在图中，点是三角形的旋转中心，旋转角为； 故答案为：，   由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证；   结合图形，由平行线的性质即可求解． 23.【答案】【小题】 解：由题意得： 销售量； 销售玩具获得利润； 故答案为，； 【小题】 由及题意得： ， ， 解得：， ， ； 答：销售单价应定为元或元． 【小题】 由题意得： ， 解得：， ， ， ， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，即为； 答：销售该玩具所获最大利润为元．   【解析】  根据题意可直接进行列式求解即可；   由可得，然后求解即可；   由题意易得，然后可得，最后由二次函数的性质可进行求解． 24.【答案】【小题】   【小题】 解：设，由点、、的坐标得：， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， 故点的坐标为； 【小题】 解：因为点与点关于对称轴对称，所以 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，  ， 点的横坐标为，  ， ， ， 即， ， 时，的最大值为．   【解析】  令，求出点坐标，将二次函数化为顶点式即可得到点坐标． 【详解】解：令， 解得或， ， ， ；   分三种情况，利用等腰三角形的性质求解即可．   表示出即可求解． 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$