陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025届高三数学晚自习练考题（16）（数列、解三角形、空间向量）

第 1 页 共 5 页 2025 届高三数学晚自习练考题（16） 班级 姓名 说明：1 至 10 题全部学生完成，附加题 11 至 12 题学生选做。 1．【2023 年新课标 II 卷】设集合  0,A a  ，  1, 2,2 2B a a   ，若 A B ，则 a ( ) A．2 B．1 C． 2 3 D． 1 【解析】因为 A B ，则有：若 2 0a   ，解得 2a  ，此时  0, 2A   ，  1,0,2B  ，不符合题意； 若 2 2 0a   ，解得 1a  ，此时  0, 1A   ，  1, 1,0B   ，符合题意； 综上所述： 1a  .故选：B.【答案】B 2．【2023 年新课标 II 卷】在复平面内，   1 3i 3 i  对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】因为     21 3i 3 i 3 8i 3i 6 8i       ，则所求复数对应的点为  6,8 ，位于第一象限. 故选：A.【答案】A 3．【2024 高三·全国·专题练习】已知等比数列 na 中， 1 1a  ， nS 为 na 前 n项和， 5 35 4S S  ，则 4S  ( ) A．7 B．9 C．15 D．30 【解析】等比数列{ }na 中，设公比为q， 1 1a  ， nS 为{ }na 前n项和， 5 35 4S S  ，显然 1q   ， (如果 1q  ，可得5 15 4  矛盾，如果 1q   ，可得 1 5 4    矛盾)，可得 5 31 15 4 1 1 q q q q        ， 解得 2 4q  ，即 2q = 或 2q   ，所以当 2q = 时， 4 4 1 1 16 15 1 1 2 qS q        ． 当 2q   时， 4 4 1 1 16 5 1 1 2 qS q         ．没有选项．故选：C．【答案】C 4．【多选题】【2024·山西·一模】已知数列{ }na 是公差不为 0 的等差数列，前 n项和为 nS ，满足 a1＋5a3 ＝S8，下列选项正确的有( ) A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S20＝0 【解析】根据题意，数列{an}是等差数列，若 a1＋5a3＝S8，即 a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得 a1＝－ 9d，又由 an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，则有 a10＝0，故 A一定正确； 不能确定 a1和 d的符号，不能确定 S10最小，故 B不正确；又由 Sn＝na1＋ n n－1 d 2 ＝－9nd＋n n－1 d 2 ＝ d 2 ×(n2－19n)，则有 S7＝S12，故 C一定正确；则 S20＝20a1＋20×19 2 d＝－180d＋190d＝10d，∵d≠0， 第 2 页 共 5 页 ∴S20≠0，则 D不正确.【答案】AC 5．【多选题】【2023·河北衡水中学模拟】如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，以下结论正确的是 ( ) A．异面直线 A1D与 AB1所成的角为 60° B．直线 A1D与 BC1垂直 C．直线 A1D与 BD1平行 D．三棱锥 A－A1CD的体积为1 6 【解析】连接 B1C，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D，所以∠AB1C(或其补角)为异面直线 A1D与 AB1所成的角，又在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，AC＝B1C＝AB1＝ 2，所以△AB1C为等边三角形，所以 ∠AB1C＝60°，故A正确；连接 B1C，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D，又在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B1C⊥BC1，所以直线 A1D与 BC1垂直，故选项 B正确；若直线 A1D与 BD1平行，则 A1，B，D，D1 四点共面．又 A1，D，D1在侧面 ADD1A1上，则点 B也应在侧面 ADD1A1上，这与正方体相矛盾．所以直 线 A1D 与 BD1 不平行，故选项 C 不正确；三棱锥 A－A1CD 的体积 VA－A1CD＝VC－AA1D＝ 1 3 ×S△AA1D×AB＝ 1 3 ×1 2 ×1×1×1＝1 6 ，所以选项 D正确．【答案】ABD 6．【2023 年新课标 II 卷】已知向量 a，b  满足 3a b   ， 2a b a b      ，则 b   ． 【解析】因为 2a b a b      ，即    2 22a b a b     ，则 2 2 2 22 4 4a a b b a a b b      r r r r r r r r ，整理得 2 2 0a a b      ，又因为 3a b   ，即  2 3a b  ， 则 2 2 2 2 3a a b b b     r r r r r ，所以 3b   .【答案】 3 7．【2024·陕西商洛·模拟预测】已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F ，准线为 l，点A在C上，直线 AF交 y轴 于点 B，且 2AF FB   ，则点A到准线 l的距离为 ． 【解析】由抛物线 2: 8C y x ，可知 (2,0)F ，准线 l的方程为 = 2x  ， 设    1 1 2, , 0,A x y B y ，因为 2AF FB   ，所以    1 1 22 , 2 2,x y y    ，所以 1 6x  ， 由抛物线定义知，点A到准线 l的距离为 1 6 2 82 px     .【答案】8 8．【2024·山西太原·一模】在 ABC 中，内角A，B，C所对的边分别是 a，b，c，已知 2 2 2 2 sin sin c C b c a B    ， 那么 A ，设边 BC的中点为D，若 7a  ，且 ABC 的面积为 3 3 4 ，则 AD的长是 ． 【解析】在 ABC 中，由正弦定理得， sin sin C c B b  ，因为 2 2 2 2 sin sin c C b c a B    ，所以 2 2 2 2 c c b c a b    ， 化简得， 2 2 2b c a bc   ，在 ABC 中，由余弦定理得， 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc     ， 第 3 页 共 5 页 又因为0 πA  ，所以 π 3 A  由 1 3 3 3sin 2 4 4ABC S bc A bc  △ ，得 3bc  ， 由 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，得 2 27 3b c   ，所以 2 2 10b c  ． 又因为边 BC的中点为D，所以  12AD AB AC     ， 所以  2 2 21 1 1 1 132 cos 10 2 32 2 2 2 2AD AB AC b c bc A              【答案】 π 3 ； 13 2 9．【2024 高三·全国·专题练习】已知数列 na 的前 n项和为 22 18nS n n  ． （1）求数列 na 的通项公式 na ； （2）判断数列 na 是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； （3）求 nS 的最小值，并求 nS 取最小值时 n的值． 【解析】（1）当 1n  时， 1 1 16a S   ，当 2n  时，     22 1 2 18 2 1 18 1 4 20n n na S S n n n n n             ， 又 4 1 20 16    ，所以 1n  时， 4 20na n  也成立，所以数列 �� 的通项公式为 4 20na n  ， *Nn . （2）数列 na 为等差数列，证明如下：因为    1 4 1 20 4 20 4n na a n n        ， 所以数列 �� 是等差数； （3）因为 2 2 9 812 18 2 2 2n S n n n         ，又 *Nn ，所以当 4n  或5时， nS 最小，最小值为 4 5 40S S   ． 10．【2024 年新课标 II 卷】如图，平面四边形 ABCD中， 8AB  ， 3CD  ， 5 3AD  ， 90ADC   ， 30BAD   ，点 E，F满足 2 5 AE AD   ， 1 2 AF AB   ，将 AEF 沿 EF翻折至 PEF ，使得 4 3PC  ． （1）证明： EF PD ； （2）求平面 PCD与平面 PBF所成的二面角的正弦值． 【解析】（1）由 2 18, 5 3, , 5 2 AB AD AE AD AF AB        ， 得 2 3, 4AE AF  ，又 30BAD   ，在 AEF 中， 由余弦定理得 2 2 32 cos 16 12 2 4 2 3 2 2 EF AE AF AE AF BAD            , 所以 2 2 2AE EF AF  ，则 AE EF ，即 EF AD ， 所以 ,EF PE EF DE  ，又 ,PE DE E PE DE  、 平面 PDE， 所以 EF 平面 PDE，又 PD 平面 PDE，故 EF PD； （2）连接CE，由 90 , 3 3, 3ADC ED CD    ，则 2 2 2 36CE ED CD   ， 在 PEC 中， 4 3, 2 3, 6PC PE EC   ，得 2 2 2EC PE PC  ， 第 4 页 共 5 页 所以 PE EC ，由（1）知 PE EF ，又 ,EC EF E EC EF  、 平面 ABCD， 所以 PE 平面 ABCD，又 ED 平面 ABCD， 所以 PE ED ，则 , ,PE EF ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系 E xyz ， 则 (0,0,0), (0,0, 2 3), (0,3 3,0), (3,3 3,0), (2,0, 0), (0, 2 3,0)E P D C F A  ， 由 F 是 AB的中点，得 (4, 2 3,0)B ， 所以 (3,3 3, 2 3), (0,3 3, 2 3), (4, 2 3, 2 3), (2,0, 2 3)PC PD PB PF            ， 设平面 PCD和平面 PBF的一个法向量分别为 1 1 1 2 2 2( , , ), ( , , )n x y z m x y z    ， 则 1 1 1 1 1 3 3 3 2 3 0 3 3 2 3 0 n PC x y z n PD y z              ， 2 2 2 2 2 4 2 3 2 3 0 2 2 3 0 m PB x y z m PF x z              ， 令 1 22, 3y x  ，得 1 1 2 20, 3, 1, 1x z y z     ， 所以 (0, 2,3), ( 3, 1,1)n m     ，所以 1 65cos , 655 13 m n m n m n            ， 设平面 PCD和平面 PBF所成角为 ，则 2 8 65sin 1 cos 65     ， 即平面 PCD和平面 PBF所成角的正弦值为 8 65 65 ． 【附加题】 11．【2024 年高三上·广西柳州·月考】已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     ，F为其左焦点，直线  0y kx k  与椭圆C交于点A， B，且 AF AB ．若 30ABF  ，则椭圆C的离心率为( ) A． 7 3 B． 6 3 C． 7 6 D． 6 6 【解析】设椭圆的右焦点为 2F ，连接 2AF ， 2BF ，故四边形 2AFBF 为平行四边形， 设 AF m ， 30ABF  ，则 2FB m ， 2BF AF m  ， 2 2 2BF BF m m a    ， 2 3 m a ， 2BFF△ 中，   2 2 2 4 2 4 22 2 cos120 3 3 3 3 c a a a a                 ， 整理得到 2 2 284 9 ac  ，即 7 3 c a ，故 7 3 ce a   .故选：A【答案】A 第 5 页 共 5 页 12．【2024·黑龙江大庆·一模】设 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，已知 2 2 cosa c b C  ． （1）求 B；（2）若 ABC 的面积为 73,cos cos 26 A C   ，求 ABC 的周长． 【解析】（1）因为 2 2 cosa c b C  ，由正弦定理可得 2sin sin 2sin cosA C B C  ， 且  sin sin sin cos cos sinA B C B C B C    ， 即 2sin cos 2cos sin sin 2sin cosB C B C C B C   ，整理可得2cos sin sin 0B C C  ， 且  0, πC ，则 sin 0C  ，可得2cos 1 0B   ，即 1cos 2 B  ，且  0, πB ，所以 π 3 B  ． （2）因为 ABC 的面积为 31 1 3sin 2 2 2ABC S ac B ac   △ ，则 4ac  ， 又因为   7 1cos cos cos cos sin sin sin sin 26 2 B A C A C A C A C         ，可得 3sin sin 13 A C  ， 由正弦定理 2 sin sin sin a b c R A B C    ，可得 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C   ， 其中 R为 ABC 的外接圆半径，则  22 sin sinac R A C ，即  2 34 2 13 R  ， 可得 2 392 3 R  ，则 2 sin 13b R B  ，由余弦定理可得  22 2 2 2 cos 2 2 cosb a c ac B a c ac ac B       ， 即  2 113 8 2 4 2 a c      ，解得 5a c  ，所以 ABC 的周长为 5 13a c b    ． 2025届高三数学晚自习练考题（16） 班级 姓名 说明：1至10题全部学生完成，附加题11至12题学生选做。 1．【2023年新课标II卷】设集合，，若，则(　 　) A．2 B．1 C． D． 【解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：.故选：B.【答案】B 2．【2023年新课标II卷】在复平面内，对应的点位于(　 　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A.【答案】A 3．【2024高三·全国·专题练习】已知等比数列中，，为前项和，，则(　 　) A．7 B．9 C．15 D．30 【解析】等比数列中，设公比为，，为前项和，，显然， (如果，可得矛盾，如果，可得矛盾)，可得， 解得，即或，所以当时，． 当时，．没有选项．故选：C．【答案】C 4．【多选题】【2024·山西·一模】已知数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有(　 　) A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S20＝0 【解析】根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d，又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，则有a10＝0，故A一定正确； 不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，则有S7＝S12，故C一定正确；则S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d，∵d≠0， ∴S20≠0，则D不正确.【答案】AC 5．【多选题】【2023·河北衡水中学模拟】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以下结论正确的是(　 　) A．异面直线A1D与AB1所成的角为60° B．直线A1D与BC1垂直 C．直线A1D与BD1平行 D．三棱锥A－A1CD的体积为 【解析】连接B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D，所以∠AB1C(或其补角)为异面直线A1D与AB1所成的角，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝B1C＝AB1＝，所以△AB1C为等边三角形，所以∠AB1C＝60°，故A正确；连接B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C∥A1D，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，所以直线A1D与BC1垂直，故选项B正确；若直线A1D与BD1平行，则A1，B，D，D1四点共面．又A1，D，D1在侧面ADD1A1上，则点B也应在侧面ADD1A1上，这与正方体相矛盾．所以直线A1D与BD1不平行，故选项C不正确；三棱锥A－A1CD的体积VA－A1CD＝VC－AA1D＝×S△AA1D×AB＝××1×1×1＝，所以选项D正确．【答案】ABD 6．【2023年新课标II卷】已知向量，满足，，则 ． 【解析】因为，即，则，整理得，又因为，即， 则，所以.【答案】 7．【2024·陕西商洛·模拟预测】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为 ． 【解析】由抛物线，可知，准线的方程为， 设，因为，所以，所以， 由抛物线定义知，点到准线的距离为.【答案】8 8．【2024·山西太原·一模】在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，那么 ，设边的中点为，若，且的面积为，则的长是 ． 【解析】在中，由正弦定理得，，因为，所以， 化简得，，在中，由余弦定理得，， 又因为，所以由，得， 由，得，所以． 又因为边的中点为，所以， 所以【答案】； 9．【2024高三·全国·专题练习】已知数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； （3）求的最小值，并求取最小值时的值． 【解析】（1）当时，，当时，， 又，所以时，也成立，所以数列的通项公式为，. （2） 数列为等差数列，证明如下：因为， 所以数列是等差数； （3）因为，又，所以当或时，最小，最小值为． 10．【2024年新课标II卷】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【解析】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面，故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以，所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为． 【附加题】 11．【2024年高三上·广西柳州·月考】已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为(　 　) A． B． C． D． 【解析】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形， 设，，则，， ，， 中，， 整理得到，即，故.故选：A【答案】A 12．【2024·黑龙江大庆·一模】设的内角所对的边分别为，已知． （1）求；（2）若的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 且， 即，整理可得， 且，则，可得，即，且，所以． （2）因为的面积为，则， 又因为，可得， 由正弦定理，可得， 其中为的外接圆半径，则，即， 可得，则，由余弦定理可得， 即，解得，所以的周长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学晚自习练考题（16） 班级 姓名 说明：1至10题全部学生完成，附加题11至12题学生选做。 1．【2023年新课标II卷】设集合，，若，则(　 　) A．2 B．1 C． D． 2．【2023年新课标II卷】在复平面内，对应的点位于(　 　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．【2024高三·全国·专题练习】已知等比数列中，，为前项和，，则(　 　) A．7 B．9 C．15 D．30 4．【多选题】【2024·山西·一模】已知数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有(　 　) A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S20＝0 5．【多选题】【2023·河北衡水中学模拟】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以下结论正确的是(　 　) A．异面直线A1D与AB1所成的角为60° B．直线A1D与BC1垂直 C．直线A1D与BD1平行 D．三棱锥A－A1CD的体积为 6．【2023年新课标II卷】已知向量，满足，，则 ． 7．【2024·陕西商洛·模拟预测】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为 ． 8．【2024·山西太原·一模】在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，那么 ，设边的中点为，若，且的面积为，则的长是 ． 9．【2024高三·全国·专题练习】已知数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； （3）求的最小值，并求取最小值时的值． 10．【2024年新课标II卷】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【附加题】 11．【2024年高三上·广西柳州·月考】已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为(　 　) A． B． C． D． 12．【2024·黑龙江大庆·一模】设的内角所对的边分别为，已知． （1）求；（2）若的面积为，求的周长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 3 页 2025 届高三数学晚自习练考题（16） 班级 姓名 说明：1 至 10 题全部学生完成，附加题 11 至 12 题学生选做。 1．【2023 年新课标 II 卷】设集合  0,A a  ，  1, 2,2 2B a a   ，若 A B ，则 a ( ) A．2 B．1 C． 2 3 D． 1 2．【2023 年新课标 II 卷】在复平面内，   1 3i 3 i  对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．【2024 高三·全国·专题练习】已知等比数列 na 中， 1 1a  ， nS 为 na 前 n项和， 5 35 4S S  ，则 4S  ( ) A．7 B．9 C．15 D．30 4．【多选题】【2024·山西·一模】已知数列{ }na 是公差不为 0 的等差数列，前 n项和为 nS ，满足 a1＋5a3 ＝S8，下列选项正确的有( ) A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S20＝0 5．【多选题】【2023·河北衡水中学模拟】如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，以下结论正确的是 ( ) A．异面直线 A1D与 AB1所成的角为 60° B．直线 A1D与 BC1垂直 C．直线 A1D与 BD1平行 D．三棱锥 A－A1CD的体积为 1 6 6．【2023 年新课标 II 卷】已知向量 a，b  满足 3a b   ， 2a b a b      ，则 b   ． 7．【2024·陕西商洛·模拟预测】已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F ，准线为 l，点A在C上，直线 AF交 y轴 于点 B，且 2AF FB   ，则点A到准线 l的距离为 ． 8．【2024·山西太原·一模】在 ABC 中，内角A，B，C所对的边分别是 a，b，c，已知 2 2 2 2 sin sin c C b c a B    ， 那么 A ，设边 BC的中点为D，若 7a  ，且 ABC 的面积为 3 3 4 ，则 AD的长是 ． 第 2 页 共 3 页 9．【2024 高三·全国·专题练习】已知数列 na 的前 n项和为 22 18nS n n  ． （1）求数列 na 的通项公式 na ； （2）判断数列 na 是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； （3）求 nS 的最小值，并求 nS 取最小值时 n的值． 10．【2024 年新课标 II 卷】如图，平面四边形 ABCD中， 8AB  ， 3CD  ， 5 3AD  ， 90ADC   ， 30BAD   ，点 E，F满足 2 5 AE AD   ， 1 2 AF AB   ，将 AEF 沿 EF翻折至 PEF ，使得 4 3PC  ． （1）证明： EF PD ； （2）求平面 PCD与平面 PBF所成的二面角的正弦值． 第 3 页 共 3 页 【附加题】 11．【2024 年高三上·广西柳州·月考】已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     ，F为其左焦点，直线  0y kx k  与椭圆C交于点A， B，且 AF AB ．若 30ABF  ，则椭圆C的离心率为( ) A． 7 3 B． 6 3 C． 7 6 D． 6 6 12．【2024·黑龙江大庆·一模】设 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，已知 2 2 cosa c b C  ． （1）求 B；（2）若 ABC 的面积为 73,cos cos 26 A C   ，求 ABC 的周长．