第二十八章 锐角三角函数 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期中）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则的正切值（    ） A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的5倍 C．不变 D．不能确定 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中， 已知，，，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 6．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知为的直径，于点，弦为，半径为2，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期中）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱高为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京·期中）某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（    ） A方案为一个封闭的矩形 B方案为一个等边三角形，并留一处宽的门 C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留宽的门 D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留宽的门 A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（   ）．（参考数据：，，） A．189.5 B．147 C．167 D．158 10．（2024九年级·江苏南通·专题练习）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中） ． 12．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在△中，，，，则的长为 ． 13．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 14．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 15．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为 ．    16．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，矩形的两边分别在 x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为 ． 17．（24-25九年级上·海南·期中）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图5是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 18．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，；则（1） ；（2）若，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．求、、． 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知a、b、c是的三边，，，满足等式，且，求的值． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 23．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：      (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，E为的中点，点F在边上，且，求的正弦值、余弦值． 25．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东方向．在商店C北偏西，且刚好在小刚家西北方向，千米（参考数据，，）． (1)求小明家到学校的距离（答案保留整数）； (2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按沿路线直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由． 26．（24-25九年级上·陕西·期中）（1）如图1，正方形和正方形，其中D，G，F三点共线，延长交于E，连接．若，，则______； （2）在（1）的条件下，如图1，求的值； （3）如图2，正方形和正方形，P是中点，连接，F恰在上，连接、，若，当最小时，求正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期中）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则的正切值（    ） A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的5倍 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，由于把直角三角形的三边都扩大为原来的5倍，那么的对边和邻边的比值是不变的，则的正切值也是不变的，从而得到答案． 【详解】解：在中，各边的长度都扩大为原来的5倍， ∴扩大后的三角形与原三角形相似，的度数不变， ∴的正切值不变， 故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中， 已知，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．利用的正切函数求解即可． 【详解】解：如图， 在中， ，， ， ，， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·北京·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，， 则， ∵， ∴ 故选：C． 5．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 6．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知为的直径，于点，弦为，半径为2，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理、解直角三角形，根据垂径定理及解直角三角形可得，根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵是的直径，的弦于点E，弦为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期中）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．在中利用正切函数即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．（24-25九年级上·北京·期中）某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（    ） A方案为一个封闭的矩形 B方案为一个等边三角形，并留一处宽的门 C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留宽的门 D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留宽的门 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的面积处理方法，按相关图形分别求出空白部分（饲养室）的面积，通过比较就可以得到结论． 【详解】解：对于A选项，所图，设边的长为，则可知， 所以， 即当时，最大面积； 对于B选项，如图，设，则可得，即， 所以； 对于C选项，如图，设，则，所以， 所以，， 即当时，最大面积； 对于D选项，如图，设，则， 所以； 故当时，最大面积， 综上可知，建成的饲养室中面积最大的方案是C． 故选：C． 9．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度约为（   ）．（参考数据：，，） A．189.5 B．147 C．167 D．158 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，分别解，，求出的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】解：过点分别作，垂足为，过点作，垂足为，则：四边形为矩形，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的高度为， ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 故选：A． 10．（2024九年级·江苏南通·专题练习）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点作交于点，求出，再证明，即可知④正确． 【详解】解：旋转得到， ， 四边形为正方形，，，在同一直线上， ， ，故①正确； 旋转得到， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； 设正方形边长为， ，， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，即，解得：， ， ，故③正确； 过点作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， ， ，故④正确； 综上所述：正确结论有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中） ． 【答案】2 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值，代入计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：2． 12．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在△中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，作于，设，根据题意可得，进而解得出，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点，线段与相交于点，则的正切值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形．将点与图中的格点连接，再连接，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，如图所示， 令网格的边长为， 则由勾股定理得， ， ． 在中， ． 因为， 所以， 所以． 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 15．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为 ．    【答案】/0.75 【分析】本题考查了矩形的性质及锐角三角函数的定义，根据矩形的对角线互相平分，可将对角线一半的长度求出，根据的长，可求出，再根据勾股定理求的长，根据正切的定义即可得出结论，求出三边长是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，矩形的两边分别在 x轴、y轴上，点B坐标为，将矩形沿对角线翻折使点A落在点D处，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握对称性质．过点作轴于点，根据点坐标为，可得，，根据三角函数可得，所以得，再根据矩形沿对角线翻折使点落在点处，可得，，所以得，进而求得点的坐标． 【详解】解：如图， 过点作轴于点， 点坐标为， ，， ， ， 矩形沿对角线翻折使点落在点处， ，， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·海南·期中）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图5是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点， ， ， 是正三角形， 点是的内心， ，， 在中，，， ， 的长为， 花窗的周长为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，；则（1） ；（2）若，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为 ． 【答案】 60 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，运用方程思想是解题的关键．设交于点，过作于，首先根据，，的坐标可得出，，从而，得出，，，设，利用勾股定理得，，再根据，列出方程即可． 【详解】解：设交于点，过作于， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 设， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：60，． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算、实数的混合运算： （1）先将特殊角三角函数值代入，再进行分式计算即可； （2）先计算二次根式、零次幂、负整数次幂、绝对值，代入特殊角三角函数值，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．求、、． 【答案】，， 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，， 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知a、b、c是的三边，，，满足等式，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解直角三角形，应把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和．理解在直角三角形中，一个角的正弦值等于它的对边与斜边之比是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 即：， 是以为斜边的， ， ， 设，则， 中，， ． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点与点重合．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】轿车能驶入小区，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．当时，，求出的长，与比较即可得到答案． 【详解】解：当时，，则， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴轿车能驶入小区． 23．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题：      (1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） (2)求的余弦值． 【答案】(1)千米，平方千米 (2) 【分析】本题考查勾股定理及三角函数余弦的定义等知识点，理解并熟练运用勾股定理及三角函数的定义是解题的关键． （1）先后在和中求得和的长，即可求得周长和面积； （2）中，利用三角函数余弦的定义即可求出在中． 【详解】（1）解：千米，， ∴， ∴由勾股定理可得 千米． 又∵， ∴（千米） ∴周长为：（千米） 面积为：（平方千米） 故该岛的周长为55千米，面积为157平方千米． （2）在中，千米，千米， ∴． 故的余弦值为． 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，E为的中点，点F在边上，且，求的正弦值、余弦值． 【答案】， 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数． 设正方形的边长为，则，，，，根据勾股定理求得，，，从而通过勾股定理的逆定理证得是直角三角形，根据正弦和余弦的定义即可求解． 【详解】解：连接, 设正方形的边长为，即， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ． 25．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东方向．在商店C北偏西，且刚好在小刚家西北方向，千米（参考数据，，）． (1)求小明家到学校的距离（答案保留整数）； (2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按沿路线直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由． 【答案】(1) (2)小刚先到学校，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用中的方向角问题，关键是构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． （1）过作于，由三角形内角和定理求出，判定是等腰直角三角形，得到，由，求出，得到，即可求出小明家到学校的距离； （2）过作于，由含度角的直角三角形的性质得到，判定是等腰直角三角形，得到，因此，由三角形内角和定理得到，求出，得到， ，由是等腰直角三角形，得到，求出，分别求出小明、小刚到学校用的时间，即可得到答案． 【详解】（1） 解：过A作于M， 由题意得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴小明家到学校的距离约为； （2） 小刚先到学校，理由如下： 过A作于N， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵小明到学校用的时间是（分钟），小刚到学校用的时间是（分钟）， ∴小刚先到学校． 26．（24-25九年级上·陕西·期中）（1）如图1，正方形和正方形，其中D，G，F三点共线，延长交于E，连接．若，，则______； （2）在（1）的条件下，如图1，求的值； （3）如图2，正方形和正方形，P是中点，连接，F恰在上，连接、，若，当最小时，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过E作于M，根据正方形的性质和勾股定理可求，，判断是等腰直角三角形，则可求，然后根据正切的定义求解即可； （2）根据正方形的性质，余角的定义可得出，，然后证明，即可求解； （3）连接、连接，，同（2）可证，得出，证明，得出，则可判断点G在定直线上运动，故当时，最小，设直线与相交于M，过M作于N，根据正切定义可得，即，设，则，判断是等腰直角三角形，得出，则可求，，，，根据等面积法求出，过G作于O，同理可求，，则，，最后在中，根据余弦定义即可求解． 【详解】解：（1）过E作于M， ∵，， ∴， 在正方形中，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵正方形， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，连接， 同（2）可证， ∴， ∵正方形和正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G在定直线上运动， ∴当时，最小， 设直线与相交于M，过M作于N， ∴，即， ∵P为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， ∴， 过G作于O， 同理可求，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识．明确题意，添加合适的辅助线，寻找相似三角形求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$