第二十七章 相似 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第二十七章 相似 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）若线段，，，四条线段，，，成比例，则的长度是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和．已知，，，则（   ） A．4 B．9 C．10 D．15 5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点、、共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点如果测得，，，则河的宽度是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·海南海口·期中）直线，且与的距离为与的距离为6．把一块含有角的直角三角板如图放置，顶点恰好分别落在三条直线上，与直线交于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河南南阳·期中）在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 8．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形中，点，，分别在边，，上，四边形由3个正方形组成且，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的内接三角形，是边上一点，连接并延长交于点．若，则的半径为（    ）    A． B． C．5 D． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，正方形中，，点N为边上一点，连接，作于点P，点M为边上一点，且，连接．下列结论正确的个数有（    ） （1）                             （2） （3）                             （4）若点N为中点，则 （5） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么 ． 12．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知点P是线段的黄金分割点，若，则 ． 13．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，已知，以原点为位似中心，相似比为，将缩小得到，若点，则的坐标为 ． 14．（24-25九年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，若坐标轴上存在点C，使和相似而不全等，则点C的坐标是 ． 15．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 16．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 17．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为 ，的值为 18．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，且，求的值． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，在边上，，点O是的中点，连接并延长交于，求． 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形和矩形，，，，． (1)求和的值； (2)线段、、、是成比例线段吗？ 22．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 23．（24-25九年级上·河南郑州·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：在操场上点处放一面平面镜，从点处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得的眼睛距地面的高度、为，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且，，（平面镜的大小忽略不计）． 方案二：利用标杆测量灯柱的高度，已知标杆高，测得，． 方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边CE离地面距离． 三种方案中， 方案不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 24．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 25．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图2，当时与的数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长． 26．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）问题探究：如图1，在中，，，于D，P、Q分别是线段、上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作 于点M，于点J，于点N，于点G，可证：，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决．请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程． （2）类比练习：如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R使边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长． （3）拓展提升：如图5，在中，于D，，，，P、Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米， 厘米米， 淮北到合肥的实际距离是240000米， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）若线段，，，四条线段，，，成比例，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据题意可得，即，即可求解． 【详解】解：，，，且四条线段，，，成比例， ，即， 解得：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列给出的条件不能得出的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键． 【详解】解：A. ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C.，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D.，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 4．（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和．已知，，，则（   ） A．4 B．9 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据图示，可得，即，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C ． 5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点、、共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点如果测得，，，则河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可． 【详解】解：根据题意得出：， 则， 故， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 6．（24-25九年级上·海南海口·期中）直线，且与的距离为与的距离为6．把一块含有角的直角三角板如图放置，顶点恰好分别落在三条直线上，与直线交于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，分别过点、、作，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出及的长，在中根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的判定得出，故可得出的长，在中根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：别过点、、作，，， ∵是等腰直角三角形， ， ，，， ，， 在与中， ∴， ，， 与的距离为2，与的距离为6， ，， 在中， ，， ， ，， ∴， ， 在中， ，， 所以． 故选：A． 7．（24-25九年级上·河南南阳·期中）在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：B． 8．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形中，点，，分别在边，，上，四边形由3个正方形组成且，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质及判定，正方形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．利用同角的余角互余得出，可得出，可得，同理证明，得出，设，则，可得，，代入计算求出值即可得答案． 【详解】解：∵四边形由3个正方形组成， ∴， ∵正方形中，点，，分别在边，，上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴． 故选：A． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的内接三角形，是边上一点，连接并延长交于点．若，则的半径为（    ）    A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据等腰三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：连接，，，    ∵，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，即的半径为， 故选：A ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，正方形中，，点N为边上一点，连接，作于点P，点M为边上一点，且，连接．下列结论正确的个数有（    ） （1）                             （2） （3）                             （4）若点N为中点，则 （5） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据互余角性质得，进而得，可以判断（1）；由相似三角形得，进而得，从而判断（2）；由B、C、P、M四点共圆得，进而判断（3）；过P点作，分别交相交于点E、F，由相似三角形得，进而由与的面积之差求得的面积便可判断（4）；由得，再结合，得，便可判断（5）． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故（1）正确； （2）∵， ∴， ∴， 即， 故（2）正确； （3）∵， ∴B、C、P、M四点共圆， ∴， 故（3）正确； （4）过点P作，分别交于E、F点， ∵N为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故（4）错误； （5）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故（5）正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形和三角形综合．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知点P是线段的黄金分割点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，已知，以原点为位似中心，相似比为，将缩小得到，若点，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为��，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵相似比为，将缩小得到，点， ∴的坐标为或 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，若坐标轴上存在点C，使和相似而不全等，则点C的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，先根据和相似而不全等，且点C在坐标轴上，再进行分类讨论以及作图，运用数形结合思想，分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵和相似而不全等，且点C在坐标轴上， ∴， ∴当在轴上时，且当，如图： ∵， ∴， ∴， ∵点A，B的坐标分别为和， ∴， 即， 解得， 则， ∵在轴的负半轴， ∴； ∴当在轴上时，则当，如图： ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 则， ∵在轴的负半轴， ∴； 故答案为：或 15．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 【答案】 【分析】延长交于，先证明，得出，再分别证明和得出，，将数值代入，进行计算，即可作答．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质解答． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， 设为米，则， 解得：， 设米，米， ，， ∴， ∴ 同理得， ∴ 可得，， 整理得：， 解得：， 米． 故答案为：． 16．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，． 四边形是正方形， ． ． 又， ∴， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，，， ， 解得． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为 ，的值为 【答案】 10 /0.8 【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，，再证明，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴，即周长为10， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 18．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作，为上一动点，连接．以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为 ． 【答案】/ 【分析】如图，取的中点，连接，，，由，推出，可得，推出点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，勾股定理求出，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则可根据已知条件式列出方程求出k，进而求出与k的关系，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，在边上，，点O是的中点，连接并延长交于，求． 【答案】1∶3 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定．过D点作交于F，证明得到，再证明，得到，由，得到． 【详解】解：如图，过D点作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∵， ∴． ∴ 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形和矩形，，，，． (1)求和的值； (2)线段、、、是成比例线段吗？ 【答案】(1)， (2)是 【分析】（1）根据已知，代入求和的值即可； （2）根据计算，得，可以判定线段、、、是成比例线段． 本题考查了比的计算，成比例线段的判定，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，，． ∴，． （2）解：∵，， ∴， ∴线段、、、是成比例线段． 22．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 23．（24-25九年级上·河南郑州·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：在操场上点处放一面平面镜，从点处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得的眼睛距地面的高度、为，已知点B，C，D，F，H在同一水平线上，且，，（平面镜的大小忽略不计）． 方案二：利用标杆测量灯柱的高度，已知标杆高，测得，． 方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边CE离地面距离． 三种方案中， 方案不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三，12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可 【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行， 故答案为：二，三 选方案一 ， ， ， ∵， ， 设，则， 同理可得， ， ， ， 解得． 米． 24．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 【答案】（）见解析；；（）． 【分析】（）四边形是矩形，，，再利用同角的余角相等得，根据相似三角形的判定即可求证； 根据相似三角形的性质即可求解； （）过点分别作于点，于点，由勾股定理求出，由，，， 则四边形为矩形，，，则是的中位线，是的中位线，故有，，再同（）理证明，得即可． 【详解】（）证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴； 解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （）解：如图，过点分别作于点，于点， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形，，， ∵是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，矩形的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 25．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图2，当时与的数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意可得矩形和矩形是正方形，即点A、N、C在同一条直线上，利用勾股定理可得，，再根据，，进行等量代换即可求解； （2）连接，当时，，证得，可得，，进而证得，利用勾股定理可得，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）由题意得，，，利用勾股定理求得，再分类讨论：当点C，N，M三点共线，且点N在上时；当点C，N，M三点共线，且点N在的延长线上时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当时，，， ∴，即， ∵，， ∴矩形和矩形是正方形， ∴， ∴点A、N、C在同一条直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： 如图，连接，当时，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴，，， ∴， 如图，当点C，N，M三点共线，且点N在上时， ∵， ∴， ∴， 如图，当点C，N，M三点共线，且点N在的延长线上时， ∵，， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 26．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）问题探究：如图1，在中，，，于D，P、Q分别是线段、上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作 于点M，于点J，于点N，于点G，可证：，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决．请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程． （2）类比练习：如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R使边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长． （3）拓展提升：如图5，在中，于D，，，，P、Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）的最小值为6，求解见解析；（2）；（3）9 【分析】（1）直接根据两人的求解思路，利用全等三角形的判定与性质或者利用矩形的判定与性质、勾股定理写出解析过程即可； （2）连接，，先证明得到，再证明四边形和四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证明在中，利用勾股定理求得，，在中，利用勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）先根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求，，作于I，于T，于J，进而求得，证明得到，设，则，，根据线段的和差和相似三角形的判定证明求得， ，然后证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：（1）选小慧的做法： 如图2，过点P作交所在直线于点H， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴，又， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故的最小值即为求的最小值． 由垂线段最短得，当H、D重合时取等号， ∴的最小值为，即的最小值为6； 选小明做法： 如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，则， 在中，，，， ∴，，，， ∴四边形、是矩形，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即为定长， 在中，，当时，最小，最小值为； （2）连接，， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，又， ∴， 在中，，， ∴，则， 设，则， 在中，由得， 解得，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得； （3）∵中，于D，，，， ∴，， ∴， 作于I，于T，于J， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴，则， ∵M为的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，又N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，是一道典型的压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$