第15章 分式方程的实际应用分层训练2024-2025学年人教版数学八年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第15章 分式方程的实际应用分层训练（解析版） （基础题18题，中等题10题，提优题6题） 1．某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 【答案】该商家第一批购进40个吉祥物． 【分析】设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物，利用单价总价数量，结合第二批购进吉祥物的单价比第一批贵了5元，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一批购进40个吉祥物． 2．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 【答案】甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元，根据用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样列出方程，从而可解决问题． 【详解】解：设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元． 3．2022年11月20日，卡塔尔世界杯盛大开幕，活泼灵动的吉祥物“拉伊卜”吸引了全世界的目光，一时间“拉伊卜”玩偶供不应求．某公司的两个车间负责生产“拉伊卜”玩偶，已知甲车间每天生产玩偶的数量是乙车间的1.5倍，甲车间生产600个玩偶比乙车间生产800个玩偶少用1天．求甲、乙两车间每天各生产玩偶多少个？ 【答案】甲车间每天生产玩偶600个，乙车间每天生产玩偶400个． 【分析】设乙车间每天生产玩偶个，则甲车间每天生产玩偶个，由题意：甲车间生产600个玩偶比乙车间生产800个玩偶少用1天．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙车间每天生产玩偶个，则甲车间每天生产玩偶个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲车间每天生产玩偶600个，乙车间每天生产玩偶400个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 【答案】篮球的单价为元，排球的单价为元． 【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用元购买的排球个和用元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可． 【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意，列方程得： ． 解得：． 经检验，是原方程的根， 当时，． 答：篮球的单价为元，排球的单价为元． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键． 5．新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度． 【答案】 【分析】设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出分式方程解答即可． 【详解】解：设火车行全程的平均速度为，则高铁的平均速度为， 解得： 经检验是方程的解， 则， 答：雅万高铁的平均速度为． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，行程问题，找到合适的等量关系列出方程是解题的关键． 6．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家的喜欢．某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品，已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元，用350元购进冰墩墩的件数恰好与用300元购进雪容融的件数相同．求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？ 【答案】冰墩墩每件的进价是70元，雪容融每件的进价是60元 【分析】设冰墩墩每件的进价是元，则雪容融每件的进价是 元，可得： ， 解方程并检验可得冰墩墩每件的进价是70元，则雪容融每件的进价是60元． 【详解】解：设冰墩墩每件的进价是元，则雪容融每件的进价是 元，可得： ， 解得 ， 经检验是方程的根，也符合题意， ， 所以冰墩墩每件的进价是70元，则雪容融每件的进价是60元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据条件列出分式方程是解题的关键． 7．某街道制作120个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司准备承担制作任务．已知甲公司单独完成这批宣传栏的制作比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用1天时间，乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍，求甲乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？ 【答案】甲公司每天能制作20个宣传栏，则乙公司每天能制作24个宣传栏． 【分析】此题考查了分式方程的应用，找出等量关系为两广告公司的工作时间的差为1天是解题的关键． 设甲公司每天能制作x个宣传栏，则乙公司每天能制作个宣传栏，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲公司每天能制作x个宣传栏，则乙公司每天能制作个宣传栏， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解， ∴ ∴甲公司每天能制作20个宣传栏，则乙公司每天能制作24个宣传栏． 8．阅读下面材料并解决问题： 材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”． 材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时． 根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度． 【答案】 【分析】设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程，解方程是解题的关键． 【详解】解：设和若铁路的原设计速度，则实际速度为， 根据题意，得， 解方程，得， 经检验，是原方程的根． 答：和若铁路的原设计速度是． 9．某学校在工程招标时，接到“建安”和“银夏”两个工程队的投标书．工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案： 方案①：“建安”队单独完成此项工程刚好如期完工； 方案②：“银夏”队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； 方案③：若两队合作4天，剩下的工程由“银夏”队独做也正好如期完工；求“建安”、“银夏”两队单独完成此项工程各需多少天？ 【答案】天；天 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设“建安”队单独完成此项工程需天，则“银夏”队单独完成此项工程需天．依题意，得：，即可求解； 【详解】解：设“建安”队单独完成此项工程需天，则“银夏”队单独完成此项工程需天． 依题意，得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． ． 答：“建安”队单独完成此项工程需天，则“银夏”队单独完成此项工程需天． 10．某公司积极响应节能减排号召，决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元? 【答案】10万元 【分析】设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每辆型汽车进价是10万元． 11．随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生产多少万件产品？ 【答案】120万件 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键． 设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产万件产品， 依题意，得：． 解得：． 经检验，是原方程的解且符合实际意义． 答：更新技术前每天生产120万件产品． 12．为迎接建国75周年，某旅游城市—文旅商店购进当地—特色纪念品．第一次用3000元购进后很快售完；该商店第二次购进该特色纪念品时，进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件． (1)求第一次购进的特色纪念品每件的进价； (2)若两次购进的特色纪念品每件售价均为75元，且全部售完．求两次的利润总和． 【答案】(1)进价为50元 (2)2250元 【分析】（1）设第一次购进的特色纪念品每件的进价为元，则第二次每件的进价，根据题意列方程求解即可； （2）根据总利润销售额成本计算即可． 本题主要考查了分式方程的应用，有理数四则运算的应用，理解题意列出正确方程是解题关键． 【详解】（1）解：设第一次购进的特色纪念品每件的进价为元，则第二次每件的进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的特色纪念品每件的进价为50元． （2）解：由题意可得（元）， 答：两次的总利润为2250元． 13．某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯． (1)要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？ (2)10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，结果生产的茶具比9月少50套，求10月每套茶具的成本是多少元？ 【答案】(1)安排7名工人生产茶壶，安排18名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套． (2)300元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系． （1）根据生产总量=每人生产的数量×人数，得到每天生产的茶壶的数量，每天生产的茶杯的数量，根据题意列出方程求解． （2）设9月的成本是每套万元，则10月的成本是每套万元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设安排名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯， 每天生产的茶壶数为：个，每天生产的茶杯为：个， 根据题意得：， 解得， ， 答：应安排7名工人生产茶壶，安排18名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套． （2）解：设9月的成本是每套万元，则10月的成本是每套万元， 根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）． 答：10月每套茶具的成本是300元． 14．某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用800元在甲商店租用服装的数量与用1000元在乙商店租用服装的数量相等． (1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？ (2)若租用10套以上服装，乙商店给予每套九折优惠，该班准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少？并说明理由． 【答案】(1)在甲商店租用的服装每套40元，在乙商店租用的服装每套50元 (2)在甲商店租用的服装的费用较少．理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、有理数的乘法的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设甲商店租用的服装每套x元，根据题意列方程即可； （2）分别求得在两个商店租用的服装的费用，进而比较大小可得结论． 【详解】（1）解：甲商店租用的服装每套x元，则乙商店租用的服装每套元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：在甲商店租用的服装每套40元，在乙商店租用的服装每套50元； （2）解：在甲商店租用的服装的费用较少．理由为： 在甲商店租用的服装的费用为：（元）， 在乙商店租用的服装的费用为：（元）， ， 故在甲商店租用的服装的费用较少． 15．2024年中央一号文件提出要有力有效推进乡村全面振兴．合力超市为响应国家“提升乡村产业发展水平”号召，用4000元从某果蔬农民专业种植合作社购进一批有机生态水果销售，两天后销售完毕．超市又用8800元进购了第二批这种生态水果，所购数量是第一批进购量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)设合力超市进购第一批生态水果的进价是元件，则第二批该水果的进价为　元件（用含的代数式表示）； (2)求合力超市进购第二批生态水果的价格． 【答案】(1) (2)44元/件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）根据第二批每件的进价贵了4元，即可得出结论； （2）根据超市又用8800元进购了第二批这种生态水果，所购数量是第一批进购量的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设合力超市进购第一批生态水果的进价是元件，则第二批该水果的进价为元件， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：合力超市进购第二批生态水果的价格为44元件． 16．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个，且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少．“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ 【答案】“神舟”模型成本为每个元，“天宫”模型成本为每个元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设“神舟”模型的成本为每个元，则“天宫”模型的成本为每个元，根据同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设“神舟”模型的成本为每个元，则“天宫”模型的成本为每个元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“神舟”模型成本为每个元，“天宫”模型成本为每个元． 17．全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润． 【答案】(1)每台型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； (2)一种方案，且最多利润为6900元 【分析】（1）设每台种空气净化器为元，种净化器为元，根据用6000元购进种空气净化器的数量与用7500元购进种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据题意列出不等式，进行解答即可； 本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大． 【详解】（1）解：设每台型空气净化器为元，型净化器为元， 由题意得，， 解得：， 经检验是原方程的根， 则， 答：每台型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； （2）解：设型空气净化器购进台，则型空气净化器台 则 得的范围， ∵为整数 ∴， 故一种方案． ∵两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售， ∴（元） 18．据有关部门预测，今年夏天某景区游客将会大幅度增长．为方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形和条形两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用元购买弧形椅的数量比用元购买条形椅的数量多张，弧形椅和条形椅的单价分别是多少元 【答案】弧形椅的单价为元，条形椅的单价为元 【分析】此题主要考查了分式方程的应用．设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据“用6000元购买弧形椅的数量比用3600元购买条形椅的数量多6张”列分式方程解答即可． 【详解】解：设弧形椅的单价为元，则条形椅的单价为元，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：弧形椅的单价为200元，条形椅的单价为150元． 19．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的实际应用： （1）设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 根据实际比并比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）利用时间等于路程除以速度，分别求出两种方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论． 【详解】（1）解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 20．某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成本多元，且投入元生产甲种零部件的件数和投入元生产乙种零部件的件数相同； (1)求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元? (2)如果两种零部件共生产件，该厂家至少要投入元，那么，甲种零部件至少生产多少件? 【答案】(1)甲每件成是元，乙每件成本是元 (2)甲种零部件至少生产件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等关系． （1）设乙种零部件每件成本是元，则甲种零部件每件成本是元，根据题意列出方程，即可求解； （2）设甲种零部件生产了件，根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设乙种零部件每件成本是元，则甲种零部件每件成本是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程得解， ， 答：甲种零部件每件成是元，乙种零部件每件成本是元； （2）解：设甲种零部件生产了件， ， 解得，， 答：甲种零部件至少生产件． 21．（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【答案】（1）40，60（2）方案C 【分析】本题考查分式方程的应用． （1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题． 【详解】解：（1）设大巴的平均速度为公里小时，则小车的平均速度为公里小时， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：大巴的平均速度为40公里小时，小车的平均速度为60公里小时； （2）设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选， 方案的工程款为（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，选择方案最节省工程款． 22．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 23．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 【答案】(1)甲工程队完成施工任务需要5天 (2)乙工程队应采取B方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式减法的实际应用： （1）根据题意可得两天后的施工速度为千米/天，全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间为天，改变后完成道路施工的时间为天，再根据从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天列出方程求解即可； （2）根据题意求出，，再利用作差法得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：依题意可得：， 解得． 经检验是方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得：；， ， ， ， ， ， 乙工程队应采取B方案． 24．某市对一段全长2000米的道路进行改造．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，若每天修路比原计划提高效率，就可以提前5天完成修路任务． (1)求修这段路计划用多少天？ (2)有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路120米，乙队每天可修路80米，若每天只安排一个工程队施工，在保证至少提前5天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路多少天？ 【答案】(1)25 (2)10 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设原计划每天修米，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲工程队要修路天，则乙工程队要修路天，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天修米，由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则（天） 答：修这段路计划用25天； （2）解：设甲工程队要修路天，则乙工程队要修路天， 根据题意得． 解得， 答：甲工程队至少要修路10天． 25．为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元购进品牌足球个，第二次又用6000元购进品牌足球，购进的品牌足球的数量比购进的品牌足球的数量多30个，并且每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的． (1)求的值； (2)若这两次购进的两种品牌的足球分别按照元/个，元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元．求出的最小值． 【答案】(1)m的值是120 (2)的最小值是70 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）品牌足球的进价为元/个，B品牌足球的进价为元/个，再根据每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的列出方程求解即可； （2）先求出A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个，再分别求出A、B两种品牌的足球的利润，再根据总利润不低于4800元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴； （2）解：元/个，元/个， ∴A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个， 由题意得，， 解得， ∴的最小值是70． 26．某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． (1)求甲、乙两种香椿每件的进价； (2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【答案】(1)甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元 (2)最多可购买乙种香椿120件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程，列不等式，是解本题的关键． （1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元，再利用花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可； （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件． 27．近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最高洪峰在我市安全过境．9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？ (2)经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？ 【答案】(1)甲、乙工程队单独完成此项工程分别各需要30天，45天 (2)完成河道清淤的总费用是90000元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用—工程问题，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键； （1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，则乙工程队单独完成此项工程需要天，根据等量关系：两队合作15天完成的工作任务与甲5天完成余下任务的和为全部任务，列出分式方程求解即可； （2）先计算出两个工程队合作完成的时间，即可计算出总费用． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天，则乙工程队单独完成此项工程需要天， 由题意得：， 方程两边同乘以得： 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ； 答：甲、乙工程队单独完成此项工程分别各需要30天，45天； （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为（天， （元）， 答：完成河道清淤的总费用是90000元． 28．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了元，但只比上周多买了斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供名同学使用，两个洋葱正好斤，该校参加生物实验的同学共人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用？ 【答案】(1)上周生物老师买的洋葱单价为每斤元； (2)生物老师至少应再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用． 【分析】（）设上周生物老师买的洋葱单价为每斤元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元，由题意得：，然后求解检验即可； （）设生物老师再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用，根据题意得：，然后解一元一次不等式即可； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设上周生物老师买的洋葱单价为每斤元，则本周生物老师买的洋葱单价为每斤元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：上周生物老师买的洋葱单价为每斤元； （2）解：设生物老师再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用， 根据题意得：， ， 解得：， 答：生物老师至少应再买斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用． 29．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． (1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； (2)汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 【答案】(1)前 1小时这辆汽车行驶的速度为 (2)以提速后的速度行驶更省油． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用： （1）设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为，根据出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升，根据汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油列出方程求出y的值，进而分别求出原速回来和提速回来的油耗，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴前 1小时这辆汽车行驶的速度为； （2）解：设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升， 由题意得， ， 解得， ∴， ∴回来时若以原速度行驶总耗油升， 若以提速后的速度行驶总耗油升， ∵， ∴以提速后的速度行驶更省油． 30．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售、两种山娃纪念品，其中种纪念品的利润率为，种纪念品的利润率为．当售出的种纪念品的数量比种纪念品的数量少时，该零售商获得的总利润率为；当售出的种纪念品的数量与种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率利润成本） 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出分式方程是解答本题的关键． 先列出分式方程求出和进价之间的关系，然后计算出利润率即可． 【详解】解：设进价为元，则售出价为元；的进价为元，则售出价为元；若售出有件，则售出有件，根据题意得： ， 解得：， 故售出的，两种纪念品的件数相等，均为时，这个商人的总利润率为： ． 31．阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． (1)该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 【答案】(1)元/千克 (2)元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量＝总价÷单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． （2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克． （2）设每千克蓝莓的售价是元， 根据题意得：， 解得：， 即y的最小值为． 答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元． 32．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等． 数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 33．某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元 【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答． 【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服， 则，解得：或 经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去， 则乙流水线每天加工270套防护服 所以甲需要天，乙需要天， 所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元． 所以乙流水线成本较小． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 34． 两港之间的距离为千米． (1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)水流的速度为千米/时 (2)，理由见解析 【分析】（1）设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，利用时间差列出分式方程，解方程即可求解． （2）根据题意，分别表示出与，根据分式的减法计算，即可求解． 【详解】（1）解：设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：水流的速度为千米/时； （2）解：依题意， ∵，， ∴ 即． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式减法的应用，根据题意列出方程与代数式是解题的关键． 35．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 【答案】（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级 【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a＋b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a＋b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可； （2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m−1）遍、走过楼梯（n−1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m−n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果． 【详解】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级， 由题意得：， ①÷②得：， 整理得：， 代入②得． 答：扶梯露在外面的部分有48级； （2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍． 由题意得：， 整理得：， 这里，中必有一个是整数，且． ①若为整数，则． ∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件） （不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去） ②若n为整数，， ∴，，，…，这些均不符合要求， ∴，此时，甲在楼梯上． ∴（级）． 【点睛】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第15章 分式方程的实际应用分层训练（原卷版） （基础题18题，中等题10题，提优题6题） 一、基础题（18题） 1．某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 2．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 3．2022年11月20日，卡塔尔世界杯盛大开幕，活泼灵动的吉祥物“拉伊卜”吸引了全世界的目光，一时间“拉伊卜”玩偶供不应求．某公司的两个车间负责生产“拉伊卜”玩偶，已知甲车间每天生产玩偶的数量是乙车间的1.5倍，甲车间生产600个玩偶比乙车间生产800个玩偶少用1天．求甲、乙两车间每天各生产玩偶多少个？ 4．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题，同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？    5．新情境·雅万高铁2022年11月15日至16日，二十国集团领导人第十七次峰会于印尼巴厘岛正式召开，备受瞩目的雅万高铁于峰会期间测试运行．雅万高铁北起印尼首都雅加达，南联旅游名城万隆，是印尼乃至东南亚的第一条高铁，全长．已知雅万高铁的平均速度是火车的平均速度的倍，乘坐雅万高铁全程可比乘坐火车节省时间，求雅万高铁的平均速度． 6．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家的喜欢．某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品，已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元，用350元购进冰墩墩的件数恰好与用300元购进雪容融的件数相同．求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？ 7．某街道制作120个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司准备承担制作任务．已知甲公司单独完成这批宣传栏的制作比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用1天时间，乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍，求甲乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？ 8．阅读下面材料并解决问题：材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”．材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时． 根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度． 9．某学校在工程招标时，接到“建安”和“银夏”两个工程队的投标书．工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案：方案①：“建安”队单独完成此项工程刚好如期完工；方案②：“银夏”队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；方案③：若两队合作4天，剩下的工程由“银夏”队独做也正好如期完工；求“建安”、“银夏”两队单独完成此项工程各需多少天？ 10．某公司积极响应节能减排号召，决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元? 11．随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生产多少万件产品？ 12．为迎接建国75周年，某旅游城市—文旅商店购进当地—特色纪念品．第一次用3000元购进后很快售完；该商店第二次购进该特色纪念品时，进价提高了，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．(1)求第一次购进的特色纪念品每件的进价；(2)若两次购进的特色纪念品每件售价均为75元，且全部售完．求两次的利润总和． 13．某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯．(1)要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？(2)10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，结果生产的茶具比9月少50套，求10月每套茶具的成本是多少元？ 14．某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套少10元，用800元在甲商店租用服装的数量与用1000元在乙商店租用服装的数量相等．(1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？(2)若租用10套以上服装，乙商店给予每套九折优惠，该班准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少？并说明理由． 15．2024年中央一号文件提出要有力有效推进乡村全面振兴．合力超市为响应国家“提升乡村产业发展水平”号召，用4000元从某果蔬农民专业种植合作社购进一批有机生态水果销售，两天后销售完毕．超市又用8800元进购了第二批这种生态水果，所购数量是第一批进购量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)设合力超市进购第一批生态水果的进价是元件，则第二批该水果的进价为　元件（用含的代数式表示）；(2)求合力超市进购第二批生态水果的价格． 16．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个，且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少．“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ 17．全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润． 18．据有关部门预测，今年夏天某景区游客将会大幅度增长．为方便更多的游客在景区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形和条形两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的倍，用元购买弧形椅的数量比用元购买条形椅的数量多张，弧形椅和条形椅的单价分别是多少元 二、中等题（10题） 19．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，(1)求汽车实际走完全程所花的时间．(2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 20．某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成本多元，且投入元生产甲种零部件的件数和投入元生产乙种零部件的件数相同；(1)求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元?(2)如果两种零部件共生产件，该厂家至少要投入元，那么，甲种零部件至少生产多少件? 21．（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？（2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 22．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 ①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 23．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某市安排甲、乙两个工程队分别完成36千米的道路施工任务，下表是两个工程队的施工规则． 甲工程队 第一、二天的施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按前两天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工m千米完成，剩下的18千米按每天施工n千米完成，预计完成施工任务所需的时间为天； B方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半的时间每天完成施工m千米，另一半的时间每天完成施工n千米． 特别说明：A，B两种方案中的m，n均满足实际意义，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？(2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明理由． 24．某市对一段全长2000米的道路进行改造．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，若每天修路比原计划提高效率，就可以提前5天完成修路任务．(1)求修这段路计划用多少天？(2)有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路120米，乙队每天可修路80米，若每天只安排一个工程队施工，在保证至少提前5天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路多少天？ 25．为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元购进品牌足球个，第二次又用6000元购进品牌足球，购进的品牌足球的数量比购进的品牌足球的数量多30个，并且每个品牌足球的进价是每个品牌足球进价的．(1)求的值；(2)若这两次购进的两种品牌的足球分别按照元/个，元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元．求出的最小值． 26．某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等．(1)求甲、乙两种香椿每件的进价；(2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 27．近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最高洪峰在我市安全过境．9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成．(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？(2)经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？ 28．洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于生物实验课要求：制作并观察洋葱鳞片叶内表皮细胞临时装片，某校生物老师上周用元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了元，但只比上周多买了斤洋葱．(1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？(2)经调查发现，一个洋葱可供名同学使用，两个洋葱正好斤，该校参加生物实验的同学共人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给该校参加生物实验的同学所用？ 29．一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地．(1)求前 1 小时这辆汽车行驶的速度；(2)汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 三、提优题（6题） 30．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售、两种山娃纪念品，其中种纪念品的利润率为，种纪念品的利润率为．当售出的种纪念品的数量比种纪念品的数量少时，该零售商获得的总利润率为；当售出的种纪念品的数量与种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率利润成本） 31．阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． (1)该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ (2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 32．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 33．某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 34． 两港之间的距离为千米． (1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 35．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$