第02讲 锐角三角函数的计算（1个知识点+12大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

第02讲 锐角三角函数的计算（1个知识点+12大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.锐角三角函数的计算； 1.掌握特殊角的三角函数值及其计算； 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【即学即练1】 1．下列计算不正确的是（） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．若是锐角，，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【即学即练3】 3、观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【即学即练4】 4．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】 5．在中，，，的值是（    ） A． B． C．1 D． 【即学即练6】 6．已知是锐角，，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 题型01 特殊三角形的三角函数 1．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D．3 3．计算： ， ． 4．在中，，则 ． 5．如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 题型02 特殊角三角函数值的混合运算1．的值是（   ） A． B． C．1 D． 2．的值等于（    ）． A． B． C． D． 3．计算：= ． 4．计算： ． 5．计算： (1) (2)． 题型03 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 4．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 5．如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若的半径为2，求的长． 题型04 用计算器求锐角三角函数值 1．利用数学课本上的计算器计算，正确的按键顺序是（　　） A． B． C． D． 2．某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 3．已知α为锐角，且，则 ．（精确到） 4．计算： （精确到）． 5．用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中： 锐角 … … … 随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？ 题型05 根据特殊角三角函数值求角的度数 1．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 2．在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 4．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 5．（1）计算：； （2）在中，若和满足，求的度数． 题型06 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 1．如图，，用科学计算器求∠A的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ．（角度精确到1′） 4．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，梯子位于地面上的一端距离墙壁米，则梯子与地面所成锐角的度数为 ．（用科学计算器计算，结果精确到分） 5．根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）： (1)，求的度数； (2)，求的度数； (3)，求的度数． 题型07 已知角度比较三角函数值的大小 1．的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 3．比较大小： ． 4．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 5．（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 题型08 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若是锐角，，则应满足 ． 4．若，则 ． 5．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 题型09 利用同角三角函数关系求值 1．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，则值为（　　） A． B． C． D． 3．已知是锐角，且，则 ． 4．在中，，若，则 ． 5．计算：． 题型10 求证同角三角函数关系式 1．在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 3．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 4．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 5．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 题型11 互余两角三角函数的关系 1．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 2．给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 3．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 4．如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个． 5．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 题型12 三角函数综合 1．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，是的半径，弦于点N，连接，若的半径为x，，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，已知正方形，将正方形绕点A旋转得到正方形，其中点E与点B对应，点F与点C对应，点G与点D对应，若直线交直线于点O，，则的长是 ． 4．小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．    （1）如图1装入某款家用食用油时，恰好 ，该食用油的折射率为 ； （2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则 ． 5．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 1．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　） A．在中，每边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若α为锐角，，则 3．已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 6．为锐角，若，则的值为 ． 7．如图，点，点C是一点，若，则 ． 8．如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 9．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 10．如图，在矩形中，，，点E是边上一动点．把沿着折叠，当点C的对应点恰好落在矩形的对称轴上时， ． 11．先化简，再求值：，其中． 12．计算: 13．计算： (1) (2) 14．计算： (1) (2)． 15．对于钝角，定义它的三角函数值如下：，． (1)求的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，A、B是这个三角形的两个顶点，、是方程的两个不相等的实数根，求的值及和的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 锐角三角函数的计算（1个知识点+12大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.锐角三角函数的计算； 1.掌握特殊角的三角函数值及其计算； 知识点1：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【即学即练1】 1．下列计算不正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而结合二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 2．若是锐角，，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值． 【详解】解：是锐角，， ， ， 故选：B． 【即学即练3】 3、观察下列各式：①；②（是锐角）；③，其中成立的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，根据锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：由正弦值随着角度的增大而增大可知，故①正确，符合题意； 是锐角， ，故②正确，符合题意； ，故③错误，不符合题意； 综上所述，成立的有①②，共2个， 故选：C． 【即学即练4】 4．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 【即学即练5】 5．在中，，，的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的余弦值，由题意知，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：B． 【即学即练6】 6．已知是锐角，，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握角的正切值是是解此题的关键． 【详解】解：∵是锐角，， ， 故选：D． 题型01 特殊三角形的三角函数 1．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值；根据可得，则，再根据直角三角形的特征求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、乘方，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】， ， 故选：D． 3．计算： ， ． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 4．在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，． (1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可． （2）由（1）得为的平分线，利用角平分线的性质可得，再利用三角函数得到，再根据三角形全等的判断及性质即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图（角平分线），角平分线的定义，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质． 题型02 特殊角三角函数值的混合运算 1．的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故选：C． 3．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，先求特殊角的三角函数值，，再进行实数的运算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 5．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）根据零指数幂运算法则，绝对值意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型03 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 2．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 3．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 4．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即，， 解得，，则 则为等腰三角形， 故答案为：等腰 【点睛】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 5．如图，为的直径，E为的中点，弦于点E，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”证明即可； （2）根据勾股定理和垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”解答即可． 【详解】（1）证明：E为的中点， ， 弦于点E， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：在中，，， ， 是的直径，弦于点E， ， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，特殊角的三角函数，等边三角形的判定，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何定理． 题型04 用计算器求锐角三角函数值 1．利用数学课本上的计算器计算，正确的按键顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了计算器计算三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．根据计算器的使用方法，可得答案． 【详解】解：利用数学课本上的计算器计算，按键顺序是， 故选：B． 2．某款科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用计算器计算锐角三角函数值，根据计算器计算出的结果即可得出答案． 【详解】解：使用计算器计算得：， ∴显示的结果在之间， 故选：B． 3．已知α为锐角，且，则 ．（精确到） 【答案】0.9769 【分析】本题主要考查了已知三角函数值利用计算器求角的度数，以及已知角的度数，用计算器求三函数值，先按键，再按4.567，再按“”得出，然后再按“”键，接着按“”键，再输入“”，然后按“”得出答案即可； 【详解】解：用计算器计算，得， 所以． 故答案为：0.9769． 4．计算： （精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的混合计算，分别用计算器求出正弦和余弦的结果，然后求和即可． 【详解】解：利用计算器可以算出：，， ∴， 故答案为：． 5．用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中： 锐角 … … … 随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？ 【答案】见解析，随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大 【分析】利用计算器计算出各函数值，再观察表格由此得到答案． 【详解】解： 锐角A … … … … 0.2588 0.3090 0.3420 0.3746 … 0.9848 0.9903 0.9945 … … 0.9659 0.9511 0.9397 0.9272 … 0.1736 0.1392 0.1045 … … 0.2679 0.3249 0.3640 0.4040 … 5.6713 7.1154 9.1544 … 随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大． 理由：在中，，假定的对边不变，当增大时，必有斜边减小，因此的值增大；假定的邻边不变，当增大时，必有斜边增大，对边增大，因此的值减小，的值增大． 【点睛】此题考查利用三角函数数值表求各角度的三角函数值，根据数据变化总结规律，熟记三角函数值的计算方法是解题的关键． 题型05 根据特殊角三角函数值求角的度数 1．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状是锐角三角形． 故选：C． 2．在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴．                                 ∵， ∴，                        ∴． 故选B． 3．在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 4．将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【答案】150 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线的性质，先根据特殊角的三角函数值求出的度数，互余求出的度数，平行线的性质求出的度数，再利用互补关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直尺的对边平行， ∴， ∴； 故答案为： 5．（1）计算：； （2）在中，若和满足，求的度数． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零指数幂，三角形内角和定理等知识， （1）根据零指数幂，有理数的乘方，特殊角的三角函数进行计算即可求解； （2）根据非负数之和为0，可得，，进而得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， ∴， ∴． 题型06 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 1．如图，，用科学计算器求∠A的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器由三角函数值求角度，根据计算器的使用方法进行分析即可． 【详解】解：， ， 依次按键，，然后输入函数值0.2，，即可求出的度数． 故选：B． 2．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A． B．   C． D．   【答案】B 【分析】在直角三角形中，先根据与的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项B按键顺序求角即可． 【详解】， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时， 按键顺序为   故选：B． 【点睛】本题考查用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据与确定使用的三角函数是解题关键． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ．（角度精确到1′） 【答案】 13 22°36′ 67°24′ 【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案． 【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴由勾股定理可知： ， ∴， ∴∠A≈22°36′， ∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′； 故答案为：13，22°36′，67°24′． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 4．一个梯子斜靠在墙上，已知梯子长米，梯子位于地面上的一端距离墙壁米，则梯子与地面所成锐角的度数为 ．（用科学计算器计算，结果精确到分） 【答案】 【分析】根据题意可以得到梯子与地面所成锐角的余弦值，从而可以求得梯子与地面所成锐角的度数． 【详解】设一个梯子斜靠在墙上，梯子与地面所成锐角为， ∵梯子长10米，梯子位于地面上的一端距离墙壁2.5米， ∴， 解得：. 故答案为. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解此题的关键在于熟练掌握用科学计算器计算角度. 5．根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）： (1)，求的度数； (2)，求的度数； (3)，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了利用计算器根据已知的三角函数值求角度，熟练掌握计算器的操作方法是解决问题的关键． （1）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.675”，然后按“”得出答案即可； （2）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.0789”，然后按“” 得出答案即可； （3）先按“”键，接着按“”键，再输入“35.6”，然后按“” 得出答案即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴． 题型07 已知角度比较三角函数值的大小 1．的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 2．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 3．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可． 【详解】解：根据题意作图如下， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 4．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 5．（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 题型08 根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 2．若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质，根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解，掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 3．若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 4．若，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 5．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 题型09 利用同角三角函数关系求值 1．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 2．在中，，，则值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握同角三角函数之间的关系． 3．已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∴原式 故答案为：． 4．在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理．根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图：    ∵在中，，， 即， ∴设， ， ∴． 故答案为：． 5．计算：． 【答案】 【分析】根据同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，和特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的混合运算．掌握同一个角正弦的平方与余弦的平方的和等于1，特殊角的三角函数值是解题关键． 题型10 求证同角三角函数关系式 1．在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 2．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意即可写出式子． 【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：， 故选：B． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键． 3．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 4．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 5．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 题型11 互余两角三角函数的关系 1．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 2．给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 3．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．根据，可得，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ∵， ∴故④正确； 故答案为①②④． 4．如图，在中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，先证明，可得，，再证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：2 5．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 题型12 三角函数综合 1．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，定义新运算，根据定义逐项判断即可． 【详解】根据题意，得，，， 则，可知A，B不符合题意； 则，可知C符合题意； 则，可知D不符合题意． 故选：C． 2．如图，是的半径，弦于点N，连接，若的半径为x，，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答． 【详解】解：A、是的半径，弦于点N， 在中，， 故选项A错误，不符合题意； B、是的半径，弦于点N 在中，， 故选项B正确，符合题意； C、 故选项C错误，不符合题意； D、 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知正方形，将正方形绕点A旋转得到正方形，其中点E与点B对应，点F与点C对应，点G与点D对应，若直线交直线于点O，，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．分两种情况进行讨论，当逆时针旋转时和当顺时针旋转时，分别求解即可． 【详解】解：当逆时针旋转时，如图所示： 将正方形绕点A旋转得到正方形， ，，， ， ， ， ， ； 当顺时针旋转时，如图所示： 将正方形绕点A旋转得到正方形， ，，， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 4．小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．    （1）如图1装入某款家用食用油时，恰好 ，该食用油的折射率为 ； （2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则 ． 【答案】 /0.8 1.7 / 【分析】（1）根据正弦值的定义及勾股定理即可求解； （2）先求出，即，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ 设 ∴ 故 ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为： （2）∵水的折射率为，即 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为： 【点睛】本题以物理知识为背景，考查了三角函数值的定义，勾股定理的应用．掌握锐角三角函数的定义是关键． 5．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 1．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，锐角三角函数．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理，锐角三角函数的定义是解题关键．根据题意易证，得出，即，从而可证，即得出． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选D． 2．下列说法中，正确的是（　） A．在中，每边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若α为锐角，，则 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的性质，根据三角函数的定义利用排除法求解． 【详解】解：A、在中，每边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误； B、若，则，故本选项错误； C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误； D、根据设两直角边为，根据勾股定理得斜边为，所以，故本选项正确． 故选：D． 3．已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，根据轴对称的性质可得，在和中运用三角函数求解即可． 【详解】解：，，， ， ，， 根据轴对称的性质可知： ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，根据锐角三角函数值确定锐角的度数等．先根据点的坐标得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得的值，根据锐角三角函数值得出，结合旋转得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 在中，， 即， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 在中，． 故选：C． 6．为锐角，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 7．如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等得到正切值相等，再得到长度即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 8．如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 【答案】/150度 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是证明三角形． 证明，得出，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ． 【答案】/15度 【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 10．如图，在矩形中，，，点E是边上一动点．把沿着折叠，当点C的对应点恰好落在矩形的对称轴上时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．分两种情况，根据勾股定理依次进行计算即可． 【详解】解：①当点落在对边和的中垂线上时，过点作，分别交于点， ， 故， 则， ， ， ； ②当点落在对边和的中垂线上时，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， 综上，或． 故答案为：或． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式化简求值，三角函数的计算，熟练掌握分式混合运算的法则和特殊角三角函数值是解题的关键． 先根据分式混合运算法则与顺序化简，再把特殊角三角函数值代入求得，然后代入化简式，计算即可． 【详解】解：原式    当时， 原式． 12．计算: 【答案】 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可． 本题朱啊哟考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入计算即可求解； （）利用乘方的定义、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质运算即可求解； 本题考查了特殊角的三角函数值混合运算，实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ． 14．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 15．对于钝角，定义它的三角函数值如下：，． (1)求的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，A、B是这个三角形的两个顶点，、是方程的两个不相等的实数根，求的值及和的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了特殊的锐角三角函数，根与系数的关系以及三角形内角和定理． （1）根据给定的公式求值； （2）根据三角形内角和定理三个内角之间的比例可得出三个角的度数，利用根与系数的关系即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：； ； ； （2）解：∵一个三角形的三个内角的比是， ∴三个内角的度数分别为， ∵，是方程的两个不相等的实数根， ， ∵是三角形两个顶点， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$