第01讲 锐角三角函数（2个知识点+9大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

第01讲 锐角三角函数（2个知识点+9大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.正弦、余弦与正切的概念； 2.正弦、余弦与正切的意义； 1.掌握正弦、余弦、正切的概念与意义； 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 【即学即练1】 1．的值等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 【即学即练3】 3．在中，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型01 正弦的概念辨析 1．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 2．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知（为锐角），满足方程，则 ． 4．若，则锐角 锐角（填、或）． 5．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 题型02 求角的正弦值1．如图，中，，于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 3．在中，，，，则的值为 ． 4．已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 5．如图，在中，，． (1)求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下求的值． 题型03 已知正弦值求边长 1．在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 3．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 4．在中，，，，则 ． 5．在矩形中，． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点E，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C． (2)在（1）的条件下，若，且，则的长为_____（如需要画草图请使用试卷中的备用图）． 题型04 求角的余弦值 1．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 4．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 5．如图，在中，，求的值． 题型05 余弦的概念辨析 1．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 3．比较大小：   （1） ；（2） ． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 5．如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 题型06 已知余弦求边长 1．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 4．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 5．如图，在中，，为中点，于点，，且，求的长． 题型07 求角的正切值 1．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 3．在中，，，那么 ． 4．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 题型08 正切的概念辨析 1．如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 3．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 4．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 5．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 题型09 已知正切值求边长 1．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．如图，，点是斜边的中点， ，，，则的值为 ． 4．如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则 5．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 1．在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．在等腰，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 6．在中，，如果，，那么 ． 7．在矩形中，点E在直线上，，若，则 ． 8．如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 9．如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为 ．    10．在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为 ． 11．如图，在正方形中，E为的中点，点F在边上，且，求的正弦值、余弦值． 12．如图，已知经过顶点A、B，交边于点D，交边于点E． (1)如果，求证：． (2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径． 13．如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 14．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 15．如图，已知在矩形中，E是上一点，连接，将沿翻折，使B落到F处，延长交延长线于G． (1)求证：． (2)若，则的长为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 锐角三角函数（2个知识点+9大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.正弦、余弦与正切的概念； 2.正弦、余弦与正切的意义； 1.掌握正弦、余弦、正切的概念与意义； 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 【即学即练1】 1．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的正切值，熟记相关结果即可作答． 【详解】， 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图，在的正方形网格图中，    在中，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 【即学即练3】 3．在中，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值． 【详解】如图，    ∵在中，，， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键． 【即学即练4】 4．中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦的定义可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键． 题型01 正弦的概念辨析 1．把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 2．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， 故选：C． 3．已知（为锐角），满足方程，则 ． 【答案】 【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根据锐角三角函数的正弦值取值范围，筛选的值代入即可解题． 【详解】 （为锐角）， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 5．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型02 求角的正弦值 1．如图，中，，于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的正弦值，先求出，从而得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，圆周角定理，先根据勾股定理解求出，进而求出，再根据圆周角定理得出，即可得出的值． 【详解】解：如图，连接，   ，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 3．在中，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】在中，， 且，， ， ． 故答案为：． 4．已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 【详解】解：中，， 的正弦值是，即， ∴设，则，由勾股定理得， ∴， 故答案为∶． 5．如图，在中，，． (1)求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下求的值． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法作图即可． （2）由等腰三角形的性质可得是的中线，则 ．利用勾股定理求出的长，再根据可得答案． 【详解】（1）如图，即为所作： （2）， 是的中线， ， ． 在中，， ． 题型03 已知正弦值求边长 1．在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 2．在中，，则的长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角的正弦的定义，勾股定理的应用．由三角函数的定义，可得的值，进而由勾股定理可得的大小． 【详解】解：如图， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A 3．如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 4．在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为6． 5．在矩形中，． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点E，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C． (2)在（1）的条件下，若，且，则的长为_____（如需要画草图请使用试卷中的备用图）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，正弦函数的定义，勾股定理，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）以为圆心，为半径作弧交于点E，则．再作的垂直平分线，交于点F； （2）根据，设，，利用，列式计算求得，设，在中，由勾股定理列式计算求解即可． 【详解】（1）解：所作图形如图， （2）解：∵， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴，， 解得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 故答案为：． 题型04 求角的余弦值 1．在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理等知识点，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 在中，由于，因而可设，，根据勾股定理可求得，由即可求出答案． 【详解】解：如图， ， 可设，， 根据勾股定理可得： ， ， 故选：． 2．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形，然后利用网格及勾股定理确定三边长，即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， ∵， ， 故选：B． 3．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 4．若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 5．如图，在中，，求的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】 解：在中，，， 则，． 题型05 余弦的概念辨析 1．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 2．在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化． 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 3．比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 5．如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和三角函数，熟练掌握相关知识即可解题． （1）运用余弦定义得到求得的长，再运用勾股定理即可求得的长； （2）运用，，再结合（1）结论运用勾股定理即可求得的长，从而求得的值． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， ． 题型06 已知余弦求边长 1．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时雷达测得点R到发射点L的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键． 根据锐角的余弦的定义即可求解． 【详解】解：由题意得：， 千米， 故选：C． 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．先利用等腰三角形三线合一性质求出，然后利用等边对等角求出的度数，最后在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∵，， ∴ ∵，， ， 故选B． 3．在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 4．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 【答案】5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 5．如图，在中，，为中点，于点，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及含30度角的直角三角形性质是解题的关键． 先利用直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后在中，求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：，为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型07 求角的正切值 1．如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理，先根据，，，运用勾股定理列式得，然后代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：如图， ． 故选B． 3．在中，，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先由勾股定理得，根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴． 故答案为: ． 4．已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，求正切；取点，求出与的长度，在中，求即可． 【详解】解：如下图，设与的交点为， ，相邻的两条平行直线间的距离均为， ，， ，矩形的四个顶点分别在这四条直线上， ， 在中，， 则， 故答案为： 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为4． 题型08 正切的概念辨析 1．如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 2．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 3．小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 【答案】 【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案． 【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100 ∴依题意，有 由①得 将③代入②，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键． 4．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 5．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 题型09 已知正切值求边长 1．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，点在第一象限，与x轴所夹锐角为，，则t的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 坐标与图形，过点A作轴于D，则，再解得到，即． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于D， ∵点在第一象限， ∴， ∵与x轴所夹锐角为，， ∴， ∴，即， 故选：C． 3．如图，，点是斜边的中点， ，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，先求解，证明，可得，再进一步建立方程求解即可． 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 4．如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得出，利用勾股定理求出的长，过点D作的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于点M， 则， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得． ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角函数中正切函数的定义、勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题关键是熟练掌握平行四边形及菱形的判定． （1）先利用平行线性质和角平分线定义推得，由“等角对等边”得，等量代换后得到即可由“一组对边平行且互补的四边形是平行四边形”判定平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”即可得证； （2）由正切函数和勾股定理解直角三角形求出、、，结合菱形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得到． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． （2）解：， 在直角中，，， ，， 四边形是菱形， ，、互相平分， 在直角中，，， ， 点是的中点， ． 1．在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的三角函数，连接，，则，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：连接，，则，如图： 由勾股定理，得：， ∴； 故选：B． 3．在等腰，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正弦的定义，过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出，再根据等腰三角形“三线合一”求出，根据勾股定理求出的值，最后根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点A作于点D， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：D． 4．已知中，和均为锐角，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，根据三角函数定义求值，须先构造直角三角形再解． 过点作于点，在中，已知和的值，根据三角函数可求的长，在中，运用勾股定理可求的长，代入进行求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：C． 5．如图，将三角尺和三角尺叠放在一起，直角边与完全重合，已知长为，若三角尺沿方向移动，此时测得长是6，则移动距离是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，则，如图，作于，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 如图，作于， ∴cm，cm，cm， ∴cm， ∴cm， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦等知识．熟练掌握平移的性质，平行线的性质，正切，正弦，余弦是解题的关键． 6．在中，，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 7．在矩形中，点E在直线上，，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、余弦值以及分类讨论等知识；分两种情况：①点E在边上时，根据题意求出，②点E在边的延长线时，根据题意求出，,即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①点E在边上时， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； ②点E在边的延长线时， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； 故答案为：或． 8．如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求角的正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ， ， ， ∵，则， 设，则， ， 解得：或， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，于点，，，设，则的值为 ．    【答案】/0.75 【分析】本题考查了矩形的性质及锐角三角函数的定义，根据矩形的对角线互相平分，可将对角线一半的长度求出，根据的长，可求出，再根据勾股定理求的长，根据正切的定义即可得出结论，求出三边长是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 10．在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为 ． 【答案】3或21 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握正弦定义是关键；画出图，由，设，由勾股定理求得；分点D在线段上与点D在线段的延长线上两种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理求得x的值，即可求得，则可计算的面积． 【详解】解：∵，， ∴设， 则由勾股定理求得； 当点D在线段上时，如左图； ∵，， ∴， ∴； ∴由勾股定理得； ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如右图； 同理得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的面积为3或21； 故答案为：3或21． 11．如图，在正方形中，E为的中点，点F在边上，且，求的正弦值、余弦值． 【答案】， 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数． 设正方形的边长为，则，，，，根据勾股定理求得，，，从而通过勾股定理的逆定理证得是直角三角形，根据正弦和余弦的定义即可求解． 【详解】解：连接, 设正方形的边长为，即， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ． 12．如图，已知经过顶点A、B，交边于点D，交边于点E． (1)如果，求证：． (2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由，可得，则，，进而可证； （2）如图，连接，连接并延长交于，连接，由点A是弧的中点，可得，，则，由，可求，设的半径为，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，连接并延长交于，连接， ∵点A是弧的中点， ∴，， ∴， ∴， 解得，， 设的半径为，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了弧、圆周角、弦的关系，等角对等边，垂径定理，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握弧、圆周角、弦的关系，等角对等边，垂径定理，正弦，勾股定理是解题的关键． 13．如图，在中，D是的中点，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的定义．过点作，交于E，得到，设，则，再根据已知条件与平行线的性质得到，即，进而求得，，进而求出角的函数值． 【详解】解：过点D作，交于E，如图， ∴， 在中， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； 在中，，， ∴， ∴． 14．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据垂径定理得出，，在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在中，设，则，，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 过圆心，且是弦中点， ，， 在中，， ，，即 ； （2）解：在中，， ， 设，则，， ，即，则， 解得（舍，， ，． 在中，． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、勾股定理、解一元二次方程及三角函数定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 15．如图，已知在矩形中，E是上一点，连接，将沿翻折，使B落到F处，延长交延长线于G． (1)求证：． (2)若，则的长为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）证明，根据等角对等边可得：； （2）设，则，在中，由勾股定理列方程可得的值． 【详解】（1）证明：由折叠得：， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． （2）解：∵四边形是矩形， ， ，， ， 由折叠得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、角的正切、等腰三角形的判定，矩形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$