第二章一元二次方程复习卷-2024-2025学年北师大版数学 九年级上册

第二章一元二次方程复习卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 4．根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A． B． C． D． 5．某市年底有2万户用户，计划到年底全市用户数累计达到万户．设全市用户数年平均增长率为，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．为更好地落实劳动课程，学校将实践基地“分田到班”，九（1）班分到如图所示一块长为，宽为的矩形空地，计划分割出两块完全相同的矩形菜地（阴影部分）用来种植蔬菜，菜地四周空白部分为宽度相等的人行道，若菜地的面积之和为．设人行道的宽度为，则列出关于x的方程应为（   ） A． B． C． D． 7．我县某校为增强学生的身体素质，特在全校开展“青春杯”足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，点在边上运动且不与点、重合，连接，取的中点，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 10．若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的值可以是 ． 11．设是一元二次方程的两个根，则等于 ． 12．如图，已知点，点，点分别在轴，轴正半轴上运动，且，当时，求点坐标 ． 13．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是，则最大数是 ． 14．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ． 解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得： ． 15．对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作，（），则 ． 三、解答题 16．解方程 (1)； (2)． 17．阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为，解得x1＝5，x2＝-2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为，解得x1＝-5，x2＝2（舍去）．综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝-5． 任务：请参照上述方法解方程 18．已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两个根差为1，求此时的值． 20．学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 21．某花店购进一批鲜花，进价为每束50元．根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可售出30束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2束． (1)若店主希望每天的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ (2)店主定了“每天的利润达到1200元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 22．如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当时，求线段的长； (2)当为何值时？ (3)在点运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D C D B D B 1．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项”是解题的关键．根据一元二次方程一般式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴二次项系数是，一次项系数是3，常数项是． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为．先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式，一元二次方程的一般形式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与其判别式之间的关系是解题的关键． 由一元二次方程的一般形式可得，根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此建立一元一次不等式，解之即可得解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：， 的取值范围是且， 故选：． 4．C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个解x的范围是． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 由题意知，年底用户有万户，年底用户有万户，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，确定矩形的长和宽，列出方程，是解题的关键．人行道的宽度都为，根据两块完全相同的矩形的面积之和为，列出方程即可． 【详解】解：若人行道的宽度都为， 由题意，得：； 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设应邀参加的足球队有个，则比赛场次为，由此即可求出答案． 【详解】解：设应邀参加的足球队有个， 根据题意，可列方程为． 故选：D． 8．B 【分析】过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，根据平行四边形的对边平行可得，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据等腰直角三角形的定义和性质得出，根据勾股定理求出，求得，根据平行线的判定和性质得出，根据如果两个三角形中有两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等可得，根据全等三角形的性质得出，，推得当的值最小时，的值最小；根据等腰直角三角形的定义和性质得出，设，求得，，，，根据勾股定理得出，推得当时，的值最小为，即可求出的最小值为，的最小值为． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，延长，交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， 故， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴，， ∴； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， 故， ∵，，， ∴， ∴，， 故， 当的值最小时，的值最小； ∵，， 故是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ， ， 在中，， 故， 整理得：， 当时，的值最小为， 此时的最小值为， 故， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 10．（答案不唯一） 【分析】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．关于的方程有两个不相等的实数根，即判别式．即可得到关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】解：由于，，， 所以， 解得：． 所以的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，异分母分式的加减运算，求值，掌握一元二次方程根与系数的关系，及异分母分式的加减运算法则是解题的关键． 根据题意可得，再计算异分母分式，代入求值即可． 【详解】解：设是一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 12．或． 【分析】本题考查的是坐标与图形，一元二次方程的解法，如图，过作轴于，设，利用面积公式可得，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵，设， 而，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 即， 解得（舍去）， 最大数为． 故答案为：． 14．平均每天就能多售出4台 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识．根据利润销售量单位利润，设每台冰箱的定价元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，再根据“当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台”列方程即可． 【详解】解：设每台冰箱定价元， 由题意得： ， 故答案为：平均每天就能多售出4台． 15． 【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】解：由根与系数的关系得，， 所以， 则， ． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解： 即 ∴， ∴， 解得： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17．， 【分析】根据题意分x-5≥0和x-5＜0两种情况，分别解方程即可． 【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为，即， ， ∴， ∴原方程无解， ②当x-5＜0时，即x＜5时，原方程化为，即， ， ∴ 解得：，． 【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 18． 【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，，则；若一元二次方程有实数根，则．先根据根与系数的关系得到，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，， 则， ， 令，即， 解得：，， 方程有实数根， ， 即：， 综上所述：． 19．(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式，可得，即可证明结论； （2）利用因式分解法求得该方程的解为，，结合方程两个根差为1解得的值即可． 【详解】（1）证明：对于关于的一元二次方程， ∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程两个根的差为1， ∴或， ∴或． 20．(1)10； (2)能，1米． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． （1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，然后利用这堵墙的长度为不超过米，列出不等式求解即可； （2）设小路的宽为a米，两边的长分别为米，米，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米， 根据题意得：． 解得：， 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米； （2）解：设小路的宽为a米， 根据题意得，． 整理得；， 解得：（舍去），． 答：小路的宽为1米． 21．(1)每束鲜花应降价10元 (2)不能达成这个“小目标” 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设售价每束下降元，则每天可售出束，根据每天能获得1000元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设售价每束下降元，根据每天的利润达到1200元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设售价每束下降元，则每天可售出束，根据题意： ， 整理得：， 解得：或， 尽量减少库存， ， 答：每束鲜花应降价10元； （2）解：设售价每束下降元，根据题意： ， 整理得：， ， 方程无解， 不能达到这个“小目标”． 22．(1) (2) (3)在点运动过程中，的值不可能为5，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解，，，再利用勾股定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴； （2）解：由题意，，， ∴，， ， ， ∵ ∴， 整理，得， 解得，， ∵当点到达点时，点，同时停止运动， ∴， ∴， 答：当时，； （3）解：在点运动过程中，的值不可能为5．理由： 由得， ∵， ∴方程无实数根， 故在点运动过程中，的值不可能为5． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$