第1章一元二次方程检测卷-2024-2025学年苏科版 数学九年级上册

第1章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•碑林区校级期中）下列各方程中是一元二次方程的是（　　） A．x﹣2＝3+6x B．x+3y＝4 C．x2﹣4x+3＝0 D．y＝2x2+1 2．（2024•乌兰浩特市校级模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 3．（2024春•鄞州区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝3，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 4．（2024秋•朝阳区校级期中）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5的值等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．﹣4 5．（2024秋•平潭县期中）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024•福州三模）近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A．7612.3（1+x）2＝7977.1 B．7612.3（1+x）＝7977.1 C．7612.3x2＝7977.1 D．7612.3（1+x2）＝7977.1 7．（2024秋•市南区校级期中）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出方程是（　　） A．a（1+x）2＝3a B．a（1+2x）2＝3a C．a（1+2x）（1+3x）＝3a D．a（1+x）（1+2x）＝3a 8．（2024秋•沙依巴克区期中）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，设全组共有x名学生，则x满足的方程是（　　） A． B．x（x+1）＝132 C． D．x（x﹣1）＝132 二．填空题（共7小题） 9．（2024•永修县一模）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 　 　． 10．（2024秋•长宁区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有两个实数根，那么a的取值范围是 　 　． 11．（2024秋•大连期中）若t是方程x2﹣x﹣1＝0的一个实数根，则代数式t2﹣t+2024的值为 　 　． 12．（2024秋•长宁区校级期中）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度总产值要达到314万元，如果每个月产值的增长率相同，设这个增长率为x，那么可以列方程为：　 　． 13．（2024春•凉州区期末）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则（a+b）2024的值为 　 　． 14．（2024秋•武昌区校级期中）要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则上下边衬的宽度为　 　cm． 15．（2023秋•大足区期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+3＝0有实数根，则符合条件的整数m的和为 　 　． 三．解答题（共7小题） 16．（2024秋•越秀区校级期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）． 17．（2024秋•商洛期中）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了3万辆，第三季度销售了4.32万辆：求该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率． 18．（2024秋•越秀区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值． 19．（2024秋•简阳市期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 20．（2024•榕城区校级三模）准备在一块长30米，宽24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（如图所示），四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，求小路的宽度． 21．（2024秋•大渡口区校级期中）中考临近，某商家抓位商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过10%．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 22．（2023秋•射洪市期末）请阅读以下材料： ①若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知x1、x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且3＜＜4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，3＜＜4，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，则m的取值范围为 　 　．（此小问直接填空，不写过程） 第1章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•碑林区校级期中）下列各方程中是一元二次方程的是（　　） A．x﹣2＝3+6x B．x+3y＝4 C．x2﹣4x+3＝0 D．y＝2x2+1 【解答】解：A、x﹣2＝3+6x中未知数x的最高次数是1，不是一元二次方程，选项不符合题意； B、x+3y＝4中含有两个未知数，不是一元二次方程，选项不符合题意； C、x2﹣4x+3＝0是一元二次方程，选项符合题意； D、y＝2x2+1中含有两个未知数，不是一元二次方程，选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024•乌兰浩特市校级模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0， 解得：k＜1，故A正确． 故选：A． 3．（2024春•鄞州区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝3，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 【解答】解：∵x2﹣2x＝3， ∴x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4， 故选：A． 4．（2024秋•朝阳区校级期中）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5的值等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．﹣4 【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴把x＝a代入方程2x2﹣7x﹣1＝0中得：2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6， 故选：A． 5．（2024秋•平潭县期中）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：设“□”表示的数为a， ∵方程x2﹣4x+□＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0， 解得：a≤4， ∴“□”的值可能为4， 故选：A． 6．（2024•福州三模）近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A．7612.3（1+x）2＝7977.1 B．7612.3（1+x）＝7977.1 C．7612.3x2＝7977.1 D．7612.3（1+x2）＝7977.1 【解答】解：设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x， 根据题意得，7612.3（1+x）2＝7977.1， 故选：A． 7．（2024秋•市南区校级期中）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出方程是（　　） A．a（1+x）2＝3a B．a（1+2x）2＝3a C．a（1+2x）（1+3x）＝3a D．a（1+x）（1+2x）＝3a 【解答】解：∵第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，且第二个月销售量的增长率为x， ∴第三个月销售量的增长率为2x． 根据题意得：a（1+x）（1+2x）＝3a． 故选：D． 8．（2024秋•沙依巴克区期中）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，设全组共有x名学生，则x满足的方程是（　　） A． B．x（x+1）＝132 C． D．x（x﹣1）＝132 【解答】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件， 那么x名同学共赠：x（x﹣1）件， 所以，x（x﹣1）＝132． 故选：D． 二．填空题（共7小题） 9．（2024•永修县一模）一元二次方程x2﹣2x＝0的根是 　x1＝0，x2＝2　． 【解答】解：∵x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝0，x2＝2， 故答案为：x1＝0，x2＝2． 10．（2024秋•长宁区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有两个实数根，那么a的取值范围是 　a≤9且a≠0　． 【解答】解：由题意得： ， 解得：a≤9且a≠0． 故答案为：a≤9且a≠0． 11．（2024秋•大连期中）若t是方程x2﹣x﹣1＝0的一个实数根，则代数式t2﹣t+2024的值为 　2025　． 【解答】解：∵t是方程x2﹣x﹣1＝0的一个实数根， ∴t2﹣t﹣1＝0， ∴原式＝1+2024＝2025． 故答案为：2025． 12．（2024秋•长宁区校级期中）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度总产值要达到314万元，如果每个月产值的增长率相同，设这个增长率为x，那么可以列方程为：　100+100（1+x）+100（1+x）x2＝314　． 【解答】解：∵该工厂七月份的产值是100万元，且每个月产值的增长率相同，设这个增长率为x， ∴该工厂八月份的产值是100（1+x）万元，九月份的产值是100（1+x）2万元． 根据题意得：100+100（1+x）+100（1+x）x2＝314． 故答案为：100+100（1+x）+100（1+x）x2＝314． 13．（2024春•凉州区期末）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则（a+b）2024的值为 　1　． 【解答】解：将x＝1代入方程x2+ax+b＝0，得1+a+b＝0， ∴a+b＝﹣1， ∴（a+b）2024＝1． 故答案为1． 14．（2024秋•武昌区校级期中）要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则上下边衬的宽度为　5　cm． 【解答】解：由题意得，封面的长宽比为4：3， 设正中央的矩形的长为4x cm，宽为3x cm，则根据题意可得： ， 解得：， ∵不符合题意，故舍去， ∴， ∴上下边衬的宽度为：， 故答案为：5． 15．（2023秋•大足区期末）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+3＝0有实数根，则符合条件的整数m的和为 　18　． 【解答】解：不等式组整理得：， ∵不等式组有且仅有4个整数解，即整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0， ∴0＜m≤1， 解得：0＜m≤6， ∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+3＝0有实数根， ∴Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+3）≥0， 解得：m≥， 综上所述，m的范围是≤m≤6， 则整数m的值为3，4，5，6共4个，其和为18． 故答案为：18． 三．解答题（共7小题） 16．（2024秋•越秀区校级期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0， ∴x2﹣2x+1＝5， ∴（x﹣1）2＝5， ∴， 解得：，； （2）（x﹣3）2＝5（3﹣x）， ∴（x﹣3）2+5（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣3+5）＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x﹣3＝0或x+2＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣2； 17．（2024秋•商洛期中）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了3万辆，第三季度销售了4.32万辆：求该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率． 【解答】解：设该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为x， 依题意：3（1+x）2＝4.32， 解得：x1＝0.2或x2＝﹣2.2（舍去）， ∴该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为20%， 答：该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为20%． 18．（2024秋•越秀区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值． 【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0，且a＝1，b＝m+3，c＝m+1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×（m+1）×1 ＝m2+6m+9﹣4m﹣4 ＝（m+1）2+4＞0， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x1，x2是方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个根， 则x1+x2＝﹣（m+3），x1x2＝m+1， ∵， ∴， ∴[﹣（m+3）]2﹣4×（m+1）×1＝8， ∴（m+1）2+4＝8， 解得m1＝1，m2＝﹣3． 19．（2024秋•简阳市期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【解答】解：（1）设售价应定为x元， 由题意可得：8000＝（x﹣20）[500﹣（x﹣30）]， x2﹣100x+2400＝0， 解得：x1＝40，x2＝60， ∵更大优惠让利消费者， ∴x＝40， 答：售价应定为40元； （2）设这两周的平均增长率为y， 由题意：[500﹣（40﹣30）]（1+y）2＝484， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不合题意舍去）， 答：这两周的平均增长率为10%． 20．（2024•榕城区校级三模）准备在一块长30米，宽24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（如图所示），四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，求小路的宽度． 【解答】解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，由题意得， （30+4x+24+4x）x＝80， 解得x1＝﹣8（不合题意，舍去），x2＝， 答：小路的宽度为米． 21．（2024秋•大渡口区校级期中）中考临近，某商家抓位商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过10%．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【解答】解：（1）设商家购买笔的进价是x元/支，圆规的进价是（x+2）元/个， 根据题意得：＝×2， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意， ∴x+2＝4+2＝6（元/个）． 答：商家购买笔的进价是4元/支，圆规的进价是6元/个； （2）设每个圆规的售价为y元，则每个圆规的销售利润为（y﹣6）元，平均每天可卖出30+10（12﹣y）＝（150﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣6）（150﹣10y）＝200， 整理得：y2﹣21y+110＝0， 解得：y1＝10，y2＝11， 当y＝10时，×100%＝×100%≈16.7%＞10%，不符合题意，舍去； 当y＝11时，×100%＝×100%≈8.3%＜10%，符合题意． 答：每个圆规的售价为11元． 22．（2023秋•射洪市期末）请阅读以下材料： ①若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知x1、x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且3＜＜4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30＝0的两根为x1＝﹣10，x2＝﹣3，因为﹣10＜﹣3＜0，3＜＜4，所以一元二次方程x2+13x+30＝0为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程x2+9x+14＝0是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“限根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x﹣m＝0是“限根方程”，则m的取值范围为 　﹣4＜m＜﹣3或﹣＜m＜﹣　．（此小问直接填空，不写过程） 【解答】解：（1）一元二次方程x2+9x+14＝0为“限根方程”． 理由如下： x2+9x+14＝0， （x+7）（x+2）＝0， x+7＝0或x+2＝0， 所以x1＝﹣7，x2＝﹣2， ∵﹣7＜﹣2＜0，3＜＜4， ∴所以一元二次方程x2+9x+14＝0为“限根方程”； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣，x1x2＝， ∵x1+x2+x1x2＝﹣1， ∴﹣+＝﹣1， 解得k1＝2，k2＝﹣1， 当k＝﹣1时，方程化为x2+3x+2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∵﹣2＜﹣1＜0， 而＜3， ∴方程化，x2+3x+2＝0不是“限根方程”， 综上所述，k的值为2； 当k＝2时，方程化为2x2+9x+7＝0， 解得x1＝﹣，x2＝﹣1， ∵﹣＜﹣1＜0，3＜＜4， ∴方程化2x2+9x+7＝0是“限根方程”； （3）x2+（1﹣m）x﹣m＝0， （x﹣m）（x+1）＝0， x﹣m＝0或x+1＝0， 解得x＝m或x＝﹣1， 当m＜﹣1＜0时，3＜＜4，解得﹣4＜m＜﹣3； 当﹣1＜m＜0时，3＜＜4，解得﹣＜m＜﹣， 综上所述，m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3或﹣＜m＜﹣． 故答案为：﹣4＜m＜﹣3或﹣＜m＜﹣． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$