陕西省西安市周至县2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年陕西省西安市周至县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定 2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4 4．（3分）如图，△ABC与△DEF成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（　　） A．点A与点D是对应点 B．∠ACB＝∠DEF C．BO＝EO D．AB∥DE 5．（3分）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y＝5x2，则原抛物线解析式为（　　） A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3 C．y＝5（x﹣2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3 6．（3分）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，连接AC、BC、AD、OD，AB平分∠CAD，∠B＝72°，则∠BOD的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是 　 　． 10．（3分）一元二次方程x2﹣25＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值为 　 　． 11．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD等于 　 　°． 12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝2，可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为 　 　． 13．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，AB是⊙O的弦，AB＝24，D为AB中点，C是圆上的动点（不与A、B重合），连接CD，则CD的最小值为 　 　． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14．（5分）解方程：x2+3＝2（x+2）． 15．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，连接OC、BD、CD，若OC∥BD，∠ABD＝70°，求∠BDC的度数． 16．（5分）已知A＝2m2+m﹣4，B＝m2﹣3m﹣8，当m为何值时，A＝B． 17．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，求BE的长． 18．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+（a+2）x+1的最大值为5，求a的值． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，2），C（2，4）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；（点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1） （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°得到△AB2C2，画出△AB2C2，并写出点B2的坐标．（点B、C的对应点分别为B2、C2） 20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2m﹣4＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一根为﹣4，求m的值． 21．（6分）如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．求拱门最高点D到AB的距离CD． 22．（7分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+2x﹣m． （1）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求此时二次函数的解析式及其顶点坐标； （2）若该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值． 23．（7分）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　 　件，每件商品盈利 　 　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，，过点C作CE，使得CE＝CD，交AD的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE； （2）若AD＝DE＝2，求⊙O的直径． 25．（8分）如图①，是某学校体育场的遮阳棚截面图，该校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳棚截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与地面AB相互垂直，且OC＝5，AB＝10，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）若为了使遮阳棚更加牢固，在遮阳棚内部设计了一个矩形框架DEFG（如图②所示），点G、F均在抛物线上，点D、E在AB上，且DE：EF＝4：3，求EF的长． 26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接AC、CD、BD，求四边形ACDB的面积； （3）如图2，连接BC，若P是位于线段BC所在直线下方抛物线上的一个动点，求△BCP面积的最大值及此时点P的坐标． 2024-2025学年陕西省西安市周至县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1．【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0， 故选：A． 2．【解答】解：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 3．【解答】解：由题意，抛物线y＝﹣x2+6x+8的对称轴为：直线， 故选：B． 4．【解答】解：观察图形可知： A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意； B、∠ACB＝∠DFE，原说法错误，故选项符合题意； C、BO＝EO，原说法正确，故选项不符合题意； D、∠ABO＝∠DEO，则AB∥DE，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 5．【解答】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为y＝5x2， ∴y＝5x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为y＝5（x﹣2）2+3． 故选：C． 6．【解答】解：设该群共有x人， 依题意有x（x﹣1）＝90， 解得：x＝﹣9（舍去）或x＝10， 答：这个群共有10人． 故选：B． 7．【解答】解：∵AB是圆的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠B＝72°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝18°， ∵AB平分∠CAD， ∴∠BAD＝∠BAC＝18°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝36°． 故选：B． 8．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m， ∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）， ∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp， ∴＝m，即p+1＝m， ∴p＝m﹣1， ∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1， ∵﹣1≤m≤2， ∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3． 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣5，1）关于原点对称的点的坐标是（5，﹣1）， 故答案为：（5，﹣1）． 10．【解答】解：一元二次方程x2﹣25＝0中， ∵方程的两个根分别为x1，x2，a＝1，b＝0， ∴， 故答案为：0． 11．【解答】解：因为△ADE由△ABC绕点A逆时针旋转90°得到， 所以∠CAE＝90°． 又因为∠EAD＝50°， 所以∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝90°﹣50°＝40°． 故答案为：40． 12．【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5， ∴抛物线y＝ax2+bx+c＝0与x轴的一个交点坐标为（5，0）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线y＝ax2+bx+c＝0与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个根为x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 13．【解答】解：连接OD，延长OD交⊙O于点C，连接OA，则OA＝OC＝13． ∵D为AB中点， ∴OC⊥AB， ∴此时CD最短， ∵AB＝24， ∴AD＝AB＝×24＝12， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得OD＝＝＝5， ∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8． 故答案为：8． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14．【解答】解：x2+3＝2（x+2）， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1＝， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 15．【解答】解：∵OC∥BD，∠ABD＝70°， ∴∠ABD＝∠BOC＝70°， ∴∠BDC＝∠BOC＝35°． 16．【解答】解：由题意知2m2+m﹣4＝m2﹣3m﹣8， 整理得m2+4m+4＝0， ∴（m+2）2＝0， ∴m+2＝0， 解得m＝﹣2． 17．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理得：AB＝＝＝5， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处， ∴AE＝AC＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1． 18．【解答】解：因为二次函数解析式为y＝﹣x2+（a+2）x+1， 所以抛物线的开口向下，且顶点的纵坐标为＝． 又因为二次函数的最大值为5， 所以， 解得a＝2或﹣6， 所以a的值为2或﹣6． 19．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△AB2C2即为所求． 由图可得，点B2的坐标为（3，﹣3）． 20．【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2m﹣4＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣2m﹣4）＝m2+8m+16＝（m+4）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：∵方程的一个根为﹣4， ∴16﹣4m﹣2m﹣4＝0， 解得 m＝2． 21．【解答】解：如图，连接OA，则OA＝OD＝1.5m． ∵C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心O， ∴CD⊥AB， ∵AB＝1.8m， ∴AC＝AB＝×1.8＝0.9（m）， 在Rt△ACO中利用勾股定理，得OC＝＝＝1.2（m）， ∴CD＝OC+OD＝1.2+1.5＝2.7（m）． 答：拱门最高点D到AB的距离CD是2.7m． 22．【解答】解：（1）由题意可得：Δ＝4+4m＝0， ∴m＝﹣1， ∴此时二次函数的解析式为 y＝x2+2x+1＝（x+1）2， ∴顶点坐标为 （﹣1，0）． （2）由y＝x2+2x﹣m＝（x+1）2﹣m﹣1可得抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣m﹣1） ∵该抛物线的顶点到x轴的距离为2， ∴﹣m﹣1＝2 或﹣m﹣1＝﹣2， ∴m＝﹣3或1． 23．【解答】解：（1）根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280﹣x﹣220＝（60﹣x）元， 故答案为：3x，（60﹣x）； （2）根据题意得：（30+3x）（60﹣x）＝3600， 解得x1＝20，x2＝30， ∵要更有利于减少库存， ∴x＝30． 答：每件商品应降价30元． 24．【解答】（1）证明：如图，连接AC． ∵， ∴∠BAC＝∠EAC， ∴CB＝CD． ∵CE＝CD， ∴CB＝CE，∠E＝∠CDE， ∵∠ABC+∠ADC＝∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠ABC＝∠CDE＝∠E， 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴AB＝AE； （2）解：连接BD． ∵∠BAD＝90°， ∴．BD是⊙O的直径． 由（1）可得 AB＝AE． ∵AD＝DE＝2， ∴AE＝AB＝4， 在Rt△ABD中，， ∴⊙O的直径为2． 25．【解答】解：（1）由题意，∵OC＝5，AB＝10， ∴C（0，5），A（﹣5，0），B（5，0）． ∴可设抛物线的函数解析式为 y＝ax2+5， 又B（5，0）在抛物线上， ∴25a+5＝0． ∴． ∴抛物线的函数解析式为． （2）由题意，∵四边形DEFG是矩形， ∴∠OEF＝90°，即 EF⊥AB． ∵DE：EF＝4：3， 故可设DE＝4t，EF＝3t， ∴F（2t，3t）． 又F在抛物线上， ∴． ∴负值舍去）． ∴，即EF的长为． 26．【解答】解：（1）设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点C（0，﹣3）代入上式，得：a﹣4＝﹣3， 解得：a＝1， ∴抛物线的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）连接OD． ∵二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）， ∴令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1， ∴点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴OA＝1，OB＝3， ∴； （3）过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q， 设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， 由点B（3，0）和 C（0，﹣3），则直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴点O的坐标为（m．m﹣3）， ∴FQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∴， 由题意知0＜m＜3， ∴当时，△BCP的面积最大，最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $$