北京市第一五九中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

一五九中 高二年级数学 第 页共 4页1 北京市第一五九中学 2024-2025 学年度第一学期期中检测 高二年级数学试题 班 姓名 学号 得分 考生 须知 1.本试卷共 4页，共三道大题，21道小题。考试时间 120分钟，试卷满分 150分。 2.除特别说明外，试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上。 3.选择题用 2B铅笔在答题卡上作答，其他试题用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 一、选择题（每题 4 分，共 10 道题，40 分） 1．已知直线 l： x－y=0，则直线 l的倾斜角为（ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 2．圆心为(-1，-2)，且半径为 2的圆的方程是（ ） A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝ 2 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ 2 D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2 3．已知两个向量 (2, 1,3)a    ， (4, , )b m n  ，且 / /a b   ，则m n 的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．圆 x2＋y2－2x＋4y＋a＝0的圆心和半径范围分别是（ ） A． (1, 2) ；a＜5 B． ( 1, 2) ；a＞5 C． (2, 4) ；a≤5 D． ( 2, 4) ；a≥5 5．椭圆 C的两个焦点分别是 F1(-3，0)，F2(3，0)，C上的点 P到两焦点的距离之和为 8， 则该椭圆 C的标准方程为（ ） A． 2 2 1 64 28 x y   B． 2 2 1 16 7 x y   C． 2 2 1 16 9 x y   D． 2 2 1 4 3 x y   6．“a＝1”是“直线 l1： 2 0ax y   与直线 l2： 2 0x ay   平行”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，正方形 ABCD所在平面外一点 P，PA⊥平面 ABCD，若 PA=AB，则平面 PAB与 平面 PCD所成的角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 一五九中 高二年级数学 第 页共 4页2 8．已知空间四点  4,1,3A ，  2,3,1B ，  3,7, 5C  ，  , 1,3D x  共面，则 x的值为（ ） A． 4 B．1 C．10 D．11 9．已知 , 是不重合的平面， ,m n是不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是（ ） A．若 //m  , //m  , 则 //  B．若 //m n , m  , 则 n  C．若m  , m  , 则 //  D．若m  , m  , 则  10．已知曲线 C的方程是 2 2 | | | |x y x y   ，给出下列四个结论： ① 曲线 C恰好经过 4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 C有 4条对称轴； ③ 曲线 C上任意一点到原点的距离都不小于 1； ④ 曲线 C所围成图形的面积大于 4． 其中，所有．．正确结论的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（每题 5 分，共 5 道题，25 分） 11．直线 l的倾斜角为α，且 sin α＝3 5 ，若 l过点(1，0)，则直线 l的方程为 ． 12．已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，则点 A到平面 B1CD1的距离为 ． 13．已知⊙O1：x2＋y2＝1和⊙O2：(x－3)2＋y2＝r2相交，则 r的取值范围是 ． 14．已知椭圆 2 2 2 2: 1 x yC a b   的右焦点为 F ，O为坐标原点，点 P在椭圆 C上，若 OFP△ 为 等边三角形，则 C的离心率为 ． 15．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱 A1B1，A1D1的中点， 点 E在 BD上，点 F在 B1C上，且 BE＝CF，点 P在线段 CM上运动，下列四个结论： ①当点 E是 BD中点时，直线 EF∥平面 CDD1C1； ②直线 B1D1到平面 CMN的距离是 2 17 17 ； ③存在点 P，使得∠B1PD1＝90°； ④△PDD1面积的最小值是 5 5 6 ． 其中所有正确结论的序号是 ． 一五九中 高二年级数学 第 页共 4页3 三、解答题（共 6 道大题，85 分） 16．（本小题共 13分） 在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为 A(-1，2)，B(-3，4)，C(0，6)． （1）求 BC边上的高所在的直线方程； （2）求△ABC的面积． 17．（本小题共 13分） 如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E，F分别是 CD和 PC 的中点．求证： （1）PA⊥底面 ABCD； （2）平面 BEF⊥平面 PCD． 18．（本小题共 14分） 已知圆 C的圆心为坐标原点，且与直线 3x＋4y－10＝0相切． （1）求圆 C的标准方程； （2）若直线 l过点 M(1，2)，直线 l被圆 C所截得的弦长为 2 3，求直线 l的方程． 一五九中 高二年级数学 第 页共 4页4 19．（本小题共 15分） 已知椭圆 C：   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     经过点 31, 2 M        ， 1F ， 2F 是椭圆 C的左、右两个焦点， 1 2 2 3FF  ，P是椭圆 C上的一个动点． （1）求椭圆 C的标准方程； （2）若点 P在第一象限，且 1 2 1 4 PF PF   ，求点 P的横坐标的取值范围． 20．（本小题共 15分） 如图，在四棱锥 P-ABCD中，AD⊥平面 PAB，AB∥CD，E为棱 PB的中点，平面 CDE与 棱 PA交于点 F，且 PA＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个．．作为已知． 条件①：PB＝BD； 条件②：PA⊥BC． （1）求证：AB∥EF； （2）求点 P到平面 DCEF的距离； （3）已知点 M在棱 PC上，直线 BM与平面 DCEF所成角 的正弦值为 2 3 ，求 PM PC 的值． 21．（本小题共 15分） 已知半径为 8 3 的圆 C的圆心在 y轴的正半轴上，且直线 12x－9y－1＝0与圆 C相切． （1）求圆 C的标准方程． （2）已知 A(0，－1)，P为圆 C上任意一点，试问在 y轴上是否存在定点 B（异于点 A）， 使得 PB PA 为定值？若存在，求点 B的坐标；若不存在，请说明理由．