第2章直线和圆的方程章末检测卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2章直线和圆的方程章末检测卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 3．已知动圆的圆心在直线上，半径为，直线（为常数）被圆截得的弦长为定值，则该定值为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 7．已知圆，是轴上一个动点，过作圆的切线，切点为A，B，直线AB与轴相交于，则的面积最小值是（   ） A．2 B． C．3 D． 8．已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 9．已知直线：，则（   ） A．直线的一个方向向量为 B．直线过定点 C．若直线不经过第二象限，则 D．若，则圆上有四个点到直线的距离等于 10．已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．直线过定点 11．已知为圆上一动点，动圆，则（    ） A．动圆必过定点 B．圆与圆内切 C．直线与圆相离 D．直线被圆所截得的弦长存在最大值 三、填空题 12．已知入射光线经过，经轴反射后与相切，则入射光线的一般方程为 ． 13．已知，圆，O为坐标原点．若圆上存在唯一的点，满足，则的取值集合为 ． 14．已知，，为平面向量，如果，，，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知的顶点坐标为是边上的高. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 16．长为4的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，是线段的中点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点做曲线的切线，求切线的方程； (3)，，是曲线上的一动点，求的最小值及此时点坐标. 17．已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 18．常用测量距离的方式有3种，设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离；定义余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，，求，之间的余弦距离； (2)若，，求的取值范围； (3)动点在直线上，动点在圆上，求的最小值. 19．古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C D B C A BD BCD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】先根据直线方程求出直线的斜率，再得出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，又倾斜角的范围在之间， 所以直线的倾斜角是. 故选：A. 2．B 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 3．A 【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，由为定值即可得到，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 则圆心到直线的距离， 因为直线被圆截得的弦长为定值， 所以圆心到直线的距离也为定值， 则，即，此时， 所以弦长为. 故选：A 4．C 【分析】的最小值即为与的距离的平方的最小值，然后求点到直线的距离即可求解. 【详解】由于， 所以的最小值即为与的距离的平方的最小值， 则点到直线上的最小值即为点到直线的距离， 故，所以的最小值为. 故选：C. 5．D 【分析】根据给定条件，列出不等式求解即可得答案. 【详解】由曲线表示圆，得，解得或， 由点在曲线外，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6．B 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程即可得解. 【详解】直线的斜率为，方程为，当时，， 所以在轴上的截距为. 故选：B 7．C 【分析】设点，求出直线的方程及点的坐标，再求出长的最小值即可求出面积的最小值. 【详解】圆的圆心，半径为，圆与轴相离，设点， 依题意，点在以为直径的圆上，又点在圆上， 两圆方程相减得直线的方程：，显然，点， 因此，当且仅当时取等号， 的面积，所以当或时，面积取得最小值3. 故选：C    8．A 【分析】设弦的中点为，得到，化简，即可求解. 【详解】设弦的中点为，由题可知圆的半径为， 因为，，所以， 所以，， 可得，解得. 故选：A. 9．BD 【分析】根据直线方向向量、直线过定点、直线截距、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：由方程可得可得一个方向向量：，可判断A错误； 对于B：， 所以，则直线过定点，故B正确； 对于C，若，则直线，此时直线不过第二象限， 又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得， 所以若直线不经过第二象限，则，故C错误. 对于D：当时，直线方程为：，圆心到直线的距离为：， 而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，正确； 故选：BD 10．BCD 【分析】利用圆心到直线的距离及点圆的位置关系可判定A，B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 对于D，设，则以PC为直径的圆的方程为 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由可得， 即直线AB过定点，故D正确； 故选：BCD 【点睛】思路点睛：利用点与圆可处理直线与圆上点的距离最值问题，根据直线与圆、圆与圆的位置关系处理相切及切点弦问题即可. 11．ABD 【分析】对于A：分析可知，动圆必过定点；对于B：根据两圆位置关系分析判断；对于C：求得点到直线的距离，可知直线与圆相切；对于D：利用基本不等式可得点到直线的距离有最小值，即可分析判断. 【详解】对于选项A：因为圆的圆心为，半径， 动圆的圆心为，半径， 显然，所以动圆必过定点，故A正确； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 则，所以圆与圆内切，故B正确； 对于选项C：因为点为圆上，则， 点到直线的距离， 所以直线与圆相切，故C错误； 对于选项D：因为，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 即有最小值，所以直线被圆所截得的弦长存在最大值，故D正确； 故选：ABD. 12．或 【分析】由题意可知反射光线经过点关于轴对称的点，设出反射光线的方程，与圆相切求出反射光线的斜率，即可知道入射光线的斜率求解方程即可. 【详解】入射光线经过，经轴反射后与相切， 所以反射光线经过关于轴对称的点，且斜率存在， 故设反射光线的方程为：，化为一般式为：， 因为反射光线与相切， 所以，解得或， 所以入射光线的斜率为或， 故入射光线的方程为：或， 化为一般式为：或. 故答案为：或 13． 【分析】根据题意，由条件可得点的轨迹是圆去除两点，即可得到两圆的位置关系，分别计算，即可得到结果. 【详解】设点，由可得，化简可得， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，去除A,O两点, 又点在圆上，所以两圆相切. 其中圆的圆心，半径为. 则两圆的圆心距为， 当两圆外切时，，则,此时切点不为A,O两点，符合题意； 当两圆内切时，，解得，此时切点不为A,O两点，符合题意； 当圆过点O时，， 解得，圆C不过点A，符合题意； 当圆过点A时，， 解得，圆C不过点O，符合题意； 所以的取值集合为. 故答案为：. 14．/ 【分析】建立直角坐标系，利用坐标运算可得B在圆上，进而根据点关于直线的对称可得对称点，结合三点共线即可求解最值. 【详解】在平面直角坐标系中，设，不妨设，则点A在直线上，设， 由可知，所以,即 所以点B在圆上，记该圆圆心为， 所以 设关于直线的对称点为，则有    解得，即 所以, 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式及直线的截距式方程即可求解； （2）由两垂直直线的斜率关系及直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）AB的中点坐标，又， 所以边上的中线所在直线的方程为：，即. （2）因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 16．(1)； (2)或； (3)最小值为，点. 【分析】（1）求出点满足的关系等即可求出轨迹方程. （2）按切线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式计算即得. （3）设点，求出目标函数的表达式，再借助三角函数性质求解. 【详解】（1）令坐标原点为，依题意，，因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 所以点的轨迹方程为. （2）点到直线的距离为2，即直线过点，且与曲线相切，因此直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，则，解得， 方程为，即， 所以切线的方程为或. （3）由（1）设， 则 ，其中锐角由确定， 而，则当，即时，取得最小值， 此时，点， 所以的最小值为，点.    17．(1) (2) 【分析】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，结合平面向量数量积的坐标表示计算即可求解； （2）根据新定义，由平面向量数量积的坐标表示，将问题转化为半圆与直线有公共点时t取值范围，结合直线与圆的位置关系计算即可求解； （3）设，根据新定义，结合绝对值不等式和三角恒等变换的化简以及三角函数的性质计算即可求解. 【详解】（1）由已知， 所以. （2）由已知有， 所以， 令，则有， 所以问题转化为半圆与直线即有公共点时t取值范围， 由，得，圆心坐标为，半径为2，如图， 当直线l经过时，， 当直线l与半圆相切时，由，得，解得， 又，解得，所以， 故，于是， 所以. （3）设， 则 ， 又取时， ， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 19．(1). (2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）设，用坐标表示已知条件化简后可得； （2）不妨设. 设，设，由直线与圆相交求得的坐标（用表示），求出直线方程，观察方程得定点． 【详解】（1）设，根据，得， 即，所以的方程为. （2）根据圆的对称性，不妨设. 设，则， 所以直线HE的方程为，直线HF的方程为. 设. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 当时，， 所以直线MN的方程为，化简得， 所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点. 综上，直线MN过定点. 【点睛】方法点睛：解析几何中直线过定点问题，用参数设出动点坐标或动直线方程等，设交点坐标为，由直线与曲线方程联立方程组消元应用韦达定理得或者直线解出，写出两交点所在直线方程（韦达定理的结论需代入），化简后观察可得定点坐标． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$