精品解析：陕西省咸阳市三原县南郊中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

三原南郊中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案. 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 2. 直线和直线的位置关系为（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 3. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 4. 已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 5. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可． 【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 所以 设向量与的夹角为， 则， 所以直线和夹角的余弦值为， 故选：C． 6. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得双曲线方程，进而可求得当的两点的坐标，可求花瓶的高． 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，得， 又由双曲线的离心率为，得，即，则， 可得双曲线的方程为， 因为最大直径为，所以把代入双曲线方程，解得， 故该花瓶的高为． 故选：B． 8. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分.） 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误； 对于C，若，则，所以，C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 10. 点在圆上，点在上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C. 的取值范围为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出两圆圆心坐标和半径确定两圆位置判断AD；求出两圆公共的对称轴判断B；利用圆上点最值关系判断C正确.. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，由，得圆外离，这两个圆有4条公切线，A错误； 对于B，直线的方程为上，因此直线为两圆的公共对称轴，B正确； 对于C，，，则的取值范围为， C正确； 对于D，由圆外离，得圆不存在公共弦，D错误. 故选：BC 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点P的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线距离为1，该直线斜率为 D. 在直线上存在两点D，E，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用求轨迹方程的方法确定圆的方程可判断选项A，，再根据边与角的关系求出即可确定两条切线的夹角判断选项B，根据圆心到直线的距离可求出斜率判断选项C，利用轨迹方程的办法判断选项D. 【详解】设，由得， 整理得，故A正确； 过点A向圆引切线，设其中一个切点为， 圆的半径为，且, 所以，所以， 所以两条切线的夹角为，故B正确； 设点A作直线， 因为圆上恰有三个点到直线距离为1，圆的半径为， 所以圆心到直线的距离等于1， 即，解得，故C错误； 假设存在，使得， 所以， 化简得， 因为的轨迹为， 所以，解得或， 故直线上存在两点或, 使得成立，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线，则它们之间的距离为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式求解. 【详解】因为， 所以两直线之间的距离. 故答案为： 13. 直线经过，且在轴上的截距与在轴上的截距相等，则的直线方程为______． 【答案】或. 【解析】 【分析】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入求得的值，即可求得直线方程，当直线过原点时，直线的方程可设为，把点代入求得的值，即可求得直线方程，综合可得答案． 【详解】当直线过原点时，方程为，直线过，所以， 所求直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入直线的方程可得， 故直线方程是． 综上可得所求的直线方程为：或. 故答案为：或 . 14. 某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意可知，， 故． 设平面的法向量为，又， 则有即 令，可得平面的一个法向量为． 设与平面的法向量的夹角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故的方程是，即； 【小问2详解】 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16. 已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，则， 因为，所以，得到， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ，所以直线， 联立方程组消得到， 设，则，， 所以. 17. 如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为，分别为棱，的中点，所以， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由为圆的直径得，由平面得，由线面垂直的判定定理得平面，由，得平面，进而可得结论； （2）以A为坐标原点，构建空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，， 中点，即为，，， 设平面的法向量为， 则，可得， 令，则，，， 又平面的法向量可表示为， ， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知圆过原点和点，圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，然后对直线斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）设点，其中，则，设点，根据平面向量的坐标运算可得，根据点在圆上可得出，代入化简即可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 解：设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 解：由题意可知，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即.. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 解：设点，其中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即. 故点的轨迹方程为. 19. 定义：设椭圆，我们称以坐标原点为圆心，，的调和平均数一半的算术平方根，即为半径的圆为该椭圆的“调和圆”.已知椭圆，其“调和圆”为圆；直线. （1）求圆的标准方程； （2）若直线为圆的任意一条切线，且与椭圆交于，两点，求证：为定值； （3）设，是椭圆上的两个动点，且，过点作直线的垂线，为垂足，求点到直线距离的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：设，，则， 当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得， ， 若，同理可得， 当直线的斜率存在时，设， 由，得， ，又是圆的切线， ，即，则，， ， ，即， 综上，恒成立. （3） 【解析】 【分析】（1）由调和圆的定义，结合椭圆方程的参数写出调和圆的方程； （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：斜率不存在时，直接求出交点坐标，求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求； （3）设，讨论直线与有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可得点在定圆上，根据圆的性质求解. 【小问1详解】 由椭圆，知，，， 所以调和圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，由，则， 直线与，有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况. 若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有，. ，，， 由，解得， 若直线与的斜率都存在，设，则. 由，解得，则， 同理，可得， ， 由，解得， 因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上. 该定圆的方程为. 圆心到直线的距离为，即点的轨迹圆与直线相离， 所以点到直线的距离取值范围为. 【点睛】 关键点点睛：本题第三问解题的关键是抓住直线与，有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论，利用三角形等面积法求出，得到点的轨迹为定圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三原南郊中学2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 直线和直线的位置关系为（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 3. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分.） 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 10. 点在圆上，点在上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C. 的取值范围为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点P的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆C的方程是 B. 过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 C. 过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线距离为1，该直线斜率为 D. 在直线上存在两点D，E，使得 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线，则它们之间的距离为___________ 13. 直线经过，且在轴上的截距与在轴上的截距相等，则的直线方程为______． 14. 某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 16. 已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求. 17. 如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，，求二面角的余弦值. 18. 已知圆过原点和点，圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程. 19. 定义：设椭圆，我们称以坐标原点为圆心，，的调和平均数一半的算术平方根，即为半径的圆为该椭圆的“调和圆”.已知椭圆，其“调和圆”为圆；直线. （1）求圆的标准方程； （2）若直线为圆的任意一条切线，且与椭圆交于，两点，求证：为定值； （3）设，是椭圆上的两个动点，且，过点作直线的垂线，为垂足，求点到直线距离的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $