第24章 圆 - 复习学案 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 复习学案 1、 圆的有关性质 1、垂径定理 在O中，①过圆心 ② 垂直于弦③ 平分弦 ④ 平分优弧 ⑤ 平分劣弧 具备任意2个条件一定具备其他3个结论。简称“知二推三”。 常见题型：构造出垂径定理三角形（直角三角形）利用勾股定理进行求解。 2、圆心角与圆周角定理 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弦 相等，所对的 弧 也相等。 如图，AB，CD是两条弦， AB=CD 、 、 ∠AOB＝∠COD，有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 。 推论：1.同弧或等弧所对的圆周角 相等 。 2.半圆（直径）所对的圆周角是 直角 ，90°的圆周角所对的弦是 直径 。 3、圆内接四边形性质：圆内接四边形对角 互补 。一个外角等于它的 内对角 。 1．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于_6__cm． 2.如图，AB为⊙O的弦，半径OC交AB于点D，AD＝DB，OC＝5，OD＝3，则AB的长为（　A　）A．8 B．6 C．4 D．3 3.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若弦AB＝2，则⊙O的半径为（D　） A． B． C． D．2 第6题 第5题 第3题 第2题 第1题 4.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（ D）． A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm或1cm 5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　C）A．40° B．35° C．30° D．25° 6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是（D　） A．56° B．58° C．60° D．62° 7．如图，四边形ABCD内接于，若∠BOD=144°，则∠C的度数是（ D ）第7题 A． 14° B. 36° C. 72° D. 108° 8.如图，在⊙O中，，连接AC，BD，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E． （1）求证：∠D＝∠E；（2）若，BE＝8，求⊙O的半径． （1）证明：∵BE∥AC， ∴∠E＝∠ACD， ∵， ∴∠ACD＝∠D， ∴∠D＝∠E． （2）解：由（1）知，∠E＝∠BDC， ∴BD＝BE＝8， 连接OC交BD于点H，连接OD， ∵， ∴OC⊥BD，， 在Rt△CHD中，CD＝2， ∴， 连接OD，设OD＝OC＝r， 在Rt△OHD中，由勾股定理得，OH2+DH2＝OD2， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得 r＝5， 即⊙O的半径为5． 2、 点与圆直线与圆的位置关系 1、 点与圆、直线与圆的位置关系判定 点与圆的位置关系①点在圆内 _d＜r__；②点在圆上 _d=r__；③点在圆外__d＞r_； 直线与圆的位置关系①无交点直线与圆__相离___d＞r__； ②有一个交点直线与圆__相切____d=r___；③有两个交点直线与圆__相交____d＜r___； 2、切线的判定与性质、切线长定理 （1）切线的判定方法：①圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线（d=r）.无交点，做垂直，证半径 . ②定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.有交点，连半径，证垂直 . （2）切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.常用方法：见切线， 连半径，得垂直 . （3）切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等 ，这一点和圆心的连线 平分两条切线的夹角 . A B C ●O 3、外接圆与内切圆 外接圆 外心定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三条垂直平分线的交点 ．性质： 到三角形三个顶点的距离相等 ． 直角三角形的外心在直角三角形 是斜边的中点 ,外接圆半径是 斜边的一半 ． 内切圆 内心定义：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 作图： 三条角平分线的交点 ．性质： 到三角形三条边的距离相等 ． 结论：Rt△ABC直角边长为a,b,斜边为c，内切圆⊙O的半径r= ． △ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.内切圆⊙O的半径r= . 圆的外切四边形的两组对边 和相等 . 1．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝4，则线段BP的长为（　 C　）A．6 B．4 C．4 D．8 第4题 第3题 第2题 第1题 2. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 4s或8s 　s． 3.如图，PA，PB分别与☉O相切于A、B两点．直线EF切☉O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．△PEF的周长为 20 　． 4．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC．则线段CP长的最小值为 2 　． 5．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（C）第5题 A．15° B．17.5° C．20° D．25° 6.如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为　 ．第6题 7．如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线；(2)若AB=10,AC=6，求CE的值． （1）证明：如图1，连接OD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠EAD， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠EAD， ∴OD∥AE， ∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上， ∴EF是⊙O的切线； （2）连接BC，交OD于H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝10，AC＝6， ∴BC8， ∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴BC∥EF， ∴∠OHB＝∠ODF＝90°， ∴OD⊥BC， ∴CHBC＝4， ∵CH＝BH，OA＝OB， ∴OHAC＝3， ∴DH＝5﹣3＝2， ∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°， ∴四边形ECHD是矩形， ∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2． 圆的综合 1.如图是雨水管示意图，截面是半径为50cm的圆，管内水面AB＝80cm，则水深CD等于（C） A． B．10 C．20 D．30 第1题 第2题 第4题 第5题 2.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝8，则⊙O半径为（D　） A． B． C．10 D． 3.点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（B　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 4.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法： ①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是（C　） A．1 B．2 C．3 D．4 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　D）A． B．3 C．3 D． 6. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠D的度数为 　 20° 　． 7.如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是 上异于点A、D的一点．若∠C=40°，则∠E的度数为　 40° 　． 第7题 第9题 第8题 第6题 8.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．若∠CAB＝30°，OA＝2，则CD的长是 　． 9.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 　 289 　． 10.如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是 　 ．第10题 11.如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交. 求证：AB是⊙O的切线. B A O 证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D． ∵在△AOB中，OA＝OB＝10， ∴OD是∠AOB的角平分线， ∴∠AOD∠AOB＝60°，则∠OAD＝30°， ∴ODOA＝5． ∵⊙O的半径是5， ∴点OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F． （1）求证：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长． 解：（1）连接OD，如图1， ∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F， ∴∠ODF＝90°， ∴∠ADO+∠BDF＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD+∠BDF＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠OAD+∠B＝90°， ∴∠B＝∠BDF， ∴BF＝DF； （2）连接OF，OD，如图2， 设圆的半径为r，则OD＝OE＝r， ∵AC＝4，BC＝3，CF＝1， ∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2， ∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2， ∴r2+22＝（4﹣r）2+12， ∴． 故圆的半径为． 13．如图所示，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂直为D． （1）求证：CD为⊙O切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度． （1）证明：连接OC． ∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA． ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC． ∵CD⊥PA， ∴∠ADC＝∠OCD＝90°， 即 CD⊥OC，点C在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：过O作OM⊥AB于M．即∠OMA＝90°，AM＝BM， ∵∠MDC＝∠OMA＝∠DCO＝90°， ∴四边形DMOC是矩形， ∴OC＝DM，OM＝CD． ∵AE＝10， ∴AO＝5， ∴OC＝AO＝5， ∴DM＝5， ∴AM＝5﹣DA， ∵DC+DA＝6， ∴OM＝CD＝6﹣DA， ∵在Rt△AMO中，∠AMO＝90°，根据勾股定理得：AO2＝AM2+OM2． ∴52＝（6﹣DA）2+（5﹣DA）2， ∴DA＝2或DA＝9（舍去）， ∴AM＝5﹣2＝3，∴AB＝2AM＝6． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$