15.2 分式的运算 解答题题型分类训练 （11大题型73题） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第15章 15.2 分式的运算 解答题题型分类训练 （11大题型73题）（原卷版） 题型1：分式乘法（3题） 题型2：分式除法（9题） 题型3：分式乘除混合运算（5题） 题型4：含乘方的分式乘除混合运算（6题） 题型5：同分母分式加减法；异分母分式加减法（6题） 题型6：整式与分式相加减（10题） 题型7：已知分式恒等式，确定分子或分母（7题） 题型8：分式加减混合运算（10题） 题型9：分式加减的实际应用（5题） 题型10：分式加减乘除混合运算（5题） 题型11：分式化简求值（7题） 题型1：分式乘法（3题） 1．化简：． 2．计算：(1)(2) (3)(4) 3．已知先在中任选2个分式用乘号“×”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 题型2：分式除法（9题） 4．化简： 5．先化简，再求值：，其中． 6．先化简：，并在1、、0、2四个数中选择一个适合的数作为x的值代入求值． 7．某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、．(1)比较甲、乙两块草坪面积的大小； (2)求甲、乙两块草坪的面积的比． 8．计算：(1)； (2)； (3)． 9．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如，是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，是真分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：．(1)分式是______（填“真”或“假”）分式．(2)将假分式化为整式与真分式的和的形式．(3)若分式的值为整数，求x的整数值． 10．阅读下列解答过程：已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知，且满足，求：(1)的值；(2)的值． 11．阅读下面材料并解答问题材料：在处理某些分式问题时，“分离常数法”是常用的变形技巧之一．分离常数法是将分式分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．通过分式分离常数法可以将复杂的分式简化为一个更简单的形式．如：若分式的值为整数，求整数x的值．我们先将该分式变形：，因为的值为整数，所以只要的值为整数，而分子是个常数，所以只要是1的约数即可，即，所以或．(1)将下列分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：① ，②(2)应用：①若分式的值为整数，求整数x的值；②设，，，其中，比较m、n、p的大小．(3)拓展：已知x、y满足，且x、y为正整数，求x、y的值． 12．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为．①求整式A．②是“巧分式”吗？ 题型3：分式乘除混合运算（5题） 13．计算： 14．计算：   15．计算：(1)；(2) 16．福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同．(1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？(2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案：方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购；方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购．通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 17．先化简，再求值：，其中，． 题型4：含乘方的分式乘除混合运算（6题） 18．已知，求的值． 19．计算：(1)； (2)； (3)． 20．化简： 21．计算：(1)； (2)； (3)． 22．计算：(1)； (2)． 23．计算：(1)；(2)；(3)； (4)． 题型5：同分母分式加减法；异分母分式加减法（6题） 24．计算：(1)； (2) 25．计算（1） （2） （3） （4） 26．对于正数x，规定：．例如：，，． (1)求值： ； ； ；(2)猜想： ，并证明你的结论； (3)求：的值． 27．对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如：， ． 解决问题：(1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数．①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 28．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．(1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 29．如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数．①求所代表的代数式；②求的值． 题型6：整式与分式相加减（10题） 30．计算：(1) (2) 31．化简：(1)； (2)． 32．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：①；②．(1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；(2)如果分式的值为整数，求整数的值． 33．阅读下列材料：通过以前的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：；解决下列问题：(1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式． 34．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如：； (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；①  ②  ③  ④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)求当x为何整数时，分式也为整数． 35．下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． ，其中的值从的整数解中选取． 第一步第二步第三步第四步 问题：(1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． (2)以上化简步骤中，第三步用到的运算是___________．（填“整式乘法”或“因式分解”） (3)请写出此题正确的解题过程，并从中，取一个合适的整数值求分式的值． 36．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则称这个分式为“美好分式”．如，则是“美好分式”． (1)下列式子中，属于“美好分式”的是______（填序号）；①；②；③；④ (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式为：______+______； (3)已知整数使“美好分式”的值为整数，则的值为______． 37．若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下：【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 38．阅读理解：材料1：观察数轴可知，当时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：时，随着x的不断增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：根据上述材料完成下列问题：(1)当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）；当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）；(2)当时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数． 39．阅读与理解：下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；①    ②    ③    ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 题型7：已知分式恒等式，确定分子或分母（7题） 40．已知，求的值． 41．若，求分式的值． 42．已知，求的值. 43．课堂上，李老师出了这样一道题：已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题：已知 ，求 A，B 的值． 44．某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如：．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法．(1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中m，n为常数），求m，n的值；(2)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．(3)利用分离常数法，求分式的最大值． 45．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 46．阅读下列材料：若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题．(1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 题型8：分式加减混合运算（10题） 47．计算：(1)； (2)． 48．计算：． 49．计算：(1)；(2)；(3)；(4)． 50．在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似的，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：＝＝，＝＝＝．参考上面的方法解决下列问题： (1)将分式化为带分式；(2)求分式的最大值；（其中n为正整数）(3)已知分式的值是整数，求t的整数值． 51．阅读下面的材料，并解答问题． 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”，例如：将分式表示成部分分式，，设，接下来求，的值．去分母，得，，解得 ．(1)若（，为常数），则______，______； (2)已知（，为常数），用材料中的解法求，的值； (3)化简：． 52．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．解决下列问题：(1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 ；(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；(3)若分式的值为，请求的取值范围． 53．如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式 ， ， ，故M为N的“差整分式”，“差整值” ． (1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________（填序号）； ① ， ， ② ， ， ③ ， ； (2)已知分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值” ，①求G所代表的代数式； ②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值； 54．阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； (3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 55．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． (1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________．①；②；③． (2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”．①求真分式；②当时，求的值． (3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 56．阅读下面材料，并解答问题. 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4.解答下列问题：(1)分式的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式的值为整数，请直接写出整数的值. 题型9：分式加减的实际应用（5题） 57．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件．(1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 58．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 59．（1）先化简：，再从中任选一个数，求式子的值．（2）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示：①此人从甲地到乙地需要走______小时； ②如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 60．【问题提出】课堂上，老师提出了下面的问题：，，，试比较M与N的大小．小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】（1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”．（2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 61．阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明. 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式. 解： 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数，且，求y与x的函数关系式． 解：∵， 又∵，， ∴，还要使为整数， ∴，即． (1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为___________； (2)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数___________； (3)已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 题型10：分式加减乘除混合运算（5题） 62．计算：(1)； (2)． 63．计算：(1)； (2)． 64．计算：(1)(2)(3)(4) 65．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即．以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：已知，求的值． （三）问题解决：已知：．求代数式的值． 66．下面是小文同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……………第一步 …………第二步 …………第三步 .…………第四步 (1)由第三步到第四步进行了________运算，化为最简分式，依据是________； (2)你认为小文的解答过程正确吗？若不正确，错在哪一步？并写出正确的解答过程． 题型11：分式化简求值（7题） 67．先化简，再求值：，其中的值是的根． 68．化简代数式，从、、0、1中选择一个合适的数代入，求此代数式的值． 69．计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程． ①原式； ②原式． (1)以上解法中正确的是__________（填序号即可）；(2)请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程；并从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求分式的值． 70．已知(1)化简W；(2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 71．下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……第一步……第二步 ．……第三步……第四步……第五步 问题解答：(1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程，并从0，1，2中选一个合适的数作为m的值代入求值． 72．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”；(2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示；若是整数，直接写出整数的值． 73．已知：，求代数式的值，小华是这样解的： 解：，即， 已知：若，且，求的值，小强是这样解的： 解：令则，，， ． 回答问题：(1)已知，求的值．(2)已知，求的值． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第15章 15.2 分式的运算 解答题题型分类训练 （11大题型73题）（解析版） 题型1：分式乘法（3题） 题型2：分式除法（9题） 题型3：分式乘除混合运算（5题） 题型4：含乘方的分式乘除混合运算（6题） 题型5：同分母分式加减法；异分母分式加减法（6题） 题型6：整式与分式相加减（10题） 题型7：已知分式恒等式，确定分子或分母（7题） 题型8：分式加减混合运算（10题） 题型9：分式加减的实际应用（5题） 题型10：分式加减乘除混合运算（5题） 题型11：分式化简求值（7题） 1．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法、因式分解相关运算方法． 先因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）直接约分即可； （2）先把能够分解因式的分子或分母分解因式，再约分即可； （3）先计算分式的乘方运算，再约分即可； （4）先把除法化为乘法，再约分即可. 【详解】（1）解：， （2） ； （3） ； （4） ； 3．已知先在中任选2个分式用乘号“×”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，选2个分式，根据分式的乘法法则化简，再选一个使分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解∶ ∵且， ∴x的值为0， 当时， 原式． 4．化简： 【答案】 【分析】本题考查分式除法，熟练掌握分式除法运算法则是解题的关键． 将每一个分式分子分母分解因式，把除法变成乘法，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 6．先化简：，并在1、、0、2四个数中选择一个适合的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的除法运算及化简求值，先化简计算，再选取合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， 当时，． 7．某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、． (1)比较甲、乙两块草坪面积的大小； (2)求甲、乙两块草坪的面积的比． 【答案】(1) (2)甲、乙两块草坪的面积的比为 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，完全平方公式，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． （1）根据题意分别表示出、，然后作差求解即可； （2）列式根据分式的性质化简即可． 【详解】（1），； ， ， ， ； （2）． 所以甲、乙两块草坪的面积的比为． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）先对括号内进行因式分解，再计算分式除法即可； （）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （）根据分式的乘方，负整数指数幂，分式乘除运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 9．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”例如，是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，是真分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和例如：． (1)分式是______（填“真”或“假”）分式． (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式． (3)若分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)假 (2) (3)或 【分析】本题考查新定义，分式的化简，分式的值．理解新定义是解题的关键． （1）根据“假分式”定义判定即可； （2）将分式变形，再化简即可． （3）根据，再根据的值为整数， x为整数，则，求解即可． 【详解】（1）解：∵分子x的次数与分母中字母x的次数都要是1，相等， ∴分式是假分式， 故答案为：假． （2）解： ； （3）解：由（2）知， 又∵的值为整数，x为整数， ∴， ∴或． 10．阅读下列解答过程： 已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用． （1）仿照阅读内容求出的值，最后再根据完全平方公式求出的值即可； （2）先求出的倒数得，再将（1）中所求得的的值整体代入即可． 熟练掌握完全平方公式，会根据完全平方公式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：的倒数为， ， ． 11．阅读下面材料并解答问题材料：在处理某些分式问题时，“分离常数法”是常用的变形技巧之一．分离常数法是将分式分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．通过分式分离常数法可以将复杂的分式简化为一个更简单的形式． 如：若分式的值为整数，求整数x的值． 我们先将该分式变形：，因为的值为整数，所以只要的值为整数，而分子是个常数，所以只要是1的约数即可，即，所以或． (1)将下列分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： ① ，② (2)应用：①若分式的值为整数，求整数x的值； ②设，，，其中，比较m、n、p的大小． (3)拓展：已知x、y满足，且x、y为正整数，求x、y的值． 【答案】(1)， (2)①或2或或4；② (3)或 【分析】（1）利用“分离常数法”求解即可； （2）①先利用“分离常数法”得，再根据分式值为整数得或，求解即可； ②先利用“分离常数法”得，，，再根据，得出，从而得，即可得出结论； （3）先将方程变形为，再根据x、y为正整数，得到或，求解即可． 【详解】（1）解：①； ② 故答案为：①；②． （2）解：①， ∵分式值为整数，x为整数， ∴或， ∴或2或或4； ②∵， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∵x、y为正整数 ∴或 解得： 或． 【点睛】本题考查分式运算，新定义问题，因式分解的应用，比较分式的大小，属材料阅读题目，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，属于中等题型． 12．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ② ， 又是整式， 是“巧分式”． 13．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解： ． 14．计算：   【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解题的关键；先把负整数指数幂变为正整数指数幂，按照运算顺序先计算乘方与乘法，再计算除法即可． 【详解】解：原式 ． 15．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【答案】(1)甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元 (2)农场选择方案一合算，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元一次方程的应用，列代数式是解题的关键． （1）根据题意，得，计算求解，进而可求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价； （2）由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴甲种葡萄的实际销售单价为（元）， 乙种葡萄的实际销售单价为（元）． 答：甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元． （2）解：由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为， ∵ ． ∴农场选择方案一更合算． 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先算乘方，然后计算乘除化简分式，最后代入数值计算解题． 【详解】解： ． 当，时， 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 18．已知，求的值． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再令即可求解． 【详解】解：原式 ∵ 令 则 【点睛】本题考查分式的乘方运算．抓住“”是解决此题的关键． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 20．化简： 【答案】 【分析】先算乘方，然后根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除混合运算、乘方等知识点，掌握整式乘除混合运算法则是解答本题的关键． 21．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则． (1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可； (2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案． (3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可． 【详解】（1）解：， （2）解： ； （3）解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方，分式乘法和除法运算法则进行计算即可； （2）根据分式乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 24．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算： （1）先通分，再计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把另一个分式约分化简，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接进行同分母分式相加即可； （2）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式相加即可； （3）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式相减即可； （4）先将异分母分式化为同分母分式，再进行括号内的同分母分式相加，最后算乘除即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 （4）原式 ． 26．对于正数x，规定：． 例如：，，． (1)求值： ； ； ； (2)猜想： ，并证明你的结论； (3)求：的值． 【答案】(1)，，1 (2)1，证明见解析 (3) 【分析】本题考查代数式求值，分式的加减法以及数字的变化类，理解新定义的函数的意义，掌握分式加减法的计算法则以及数字所呈现的规律是解决问题的前提． （1）根据新定义的换算进行计算即可； （2）根据规律得出答案； （3）利用加法的结合律以及（2）中的规律得出答案． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：猜想：， 证明： ； （3）解：原式 ． 27．对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或或或 【分析】本题考查分式的加减法运算，正确利用“凑分母”的方法将分式变形是解题关键． （1）把变形为，再把前面的分式分母提取公因式并约分，即可得答案； （2）①把表示成整式与分式和的形式，根据为整式，得出变形后的分式为0，根据分式值为0，分子为0即可得答案； ②根据的值及①中变形结果得出，根据的结果也为整数得出是整数，根据为整数得出或，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵分式可以表示成的形式，且为整式， ∴． （2）解：① ， ∵可以表示成一个整式， ∴， ∴， 解得：． ②∵， ∴， ∵的结果为整数， ∴是整数， ∵为整数， ∴或 解得：或或或， ∴的值为或或或． 28．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入 计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可． 【详解】（1）解：① ② ； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③ （2）∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组” （3） ∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”， 或 把①代入 把②代入 ∴的值为或 29．如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)与互为“和整分式”，“和整值”为 (2)；或或 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加减运算化简即可判断； （2）①把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“和整分式”且“和整值”求出答案； ②根据为正整数，分式的值也为正整数计算即可． 【详解】（1）解： ，， ， 故与互为“和整分式”， “和整值”为； （2）解：①， 由于“和整值”， ， 即， ； ②， 分式的值也为正整数， 或或， 解得或或． 30．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式与整式的加减进行计算即可求解； （2）先根据分式与整式的减法计算括号内的，然后将除法转化为乘法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 31．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，然后合并同类项即可； （2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 32．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分式的性质，分式的加减运算； （1）参照范例进行解答即可； （2）先参照范例把分式化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和的值都为整数这个条件进行分析解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ， ∵原分式的值为整数，且为整数， ∴， ∴或． 33．阅读下列材料：通过以前的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：； 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式． 【答案】(1)假 (2) 【分析】本题考查分式的定义、分式的运算，解答的关键是理解题中新定义并熟练应用． （1）利用假分式的的定义判断即可； （2）仿照题中的例子方法运算即可． 【详解】（1）解：∵分式的分子的次数等于分母的次数， ∴分式是假分式； （2）解： ． 34．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如：； (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________（填序号）； ①  ②  ③  ④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)求当x为何整数时，分式也为整数． 【答案】(1)①②③ (2) (3)0或2 【分析】（1）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④化不成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和谐分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ， 或2． 【点睛】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． 35．下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． ，其中的值从的整数解中选取． 第一步 第二步 第三步 第四步 问题： (1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． (2)以上化简步骤中，第三步用到的运算是___________．（填“整式乘法”或“因式分解”） (3)请写出此题正确的解题过程，并从中，取一个合适的整数值求分式的值． 【答案】(1)一，分式的减法计算错误 (2)因式分解 (3)，时，原式 【分析】（1）根据分式的混合运算即可求解； （2）根据因式分解定义即可求解； （3）根据分式的混合运算化简，分式有意义的条件求得的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是分式的减法计算错误， 故答案为：一，分式的减法计算错误． （2）解：以上化简步骤中，第三步用到的运算是因式分解， 故答案为：因式分解． （3）解： ， ∵，为整数，且， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键． 36．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则称这个分式为“美好分式”．如，则是“美好分式”． (1)下列式子中，属于“美好分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式为：______+______； (3)已知整数使“美好分式”的值为整数，则的值为______． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)或或或 【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算， （1）根据“美好分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答； （2）根据“美好分式”的定义，进行变形计算，即可解答； （3）将原式化简为，从而可得当或时，分式的值为整数，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②不是分式； ③； ④； 上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： 故答案为：，． （3）解： 当或时，分式的值为整数， 或或或 分式有意义时， 或或或时，该式的值为整数． 37．若一个分式只含有一个未知数，分式的分子未知数的次数大于分母未知数的次数，则该分式可拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分如下： 【方法一】原式； 【方法二】设，则． 原式． (1)将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式为____________； (2)任选上述一种方法，将拆分成一个整式和一个分式的和的形式； (3)已知分式的值为整数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)4或2或5或1． 【分析】本题考查用整体思想以及换元思想将一个分子次数比分母大的分式拆分成整式与分式和的形式． （1）根据方法一求解即可； （2）根据方法一求解即可； （3）根据方法一拆分成一个整式和一个分式的和的形式，分类讨论即可． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）原式 ； （3）原式 ∵分式的值为整数， ∴， ∴． 38．阅读理解 材料1：观察数轴可知，当时，随着x的不断增大，的值随之减小，并无限接近0；当：时，随着x的不断增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； 当时，随着x的不断增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着x的不断增大．的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)无限接近5 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）由，的变化情况，判断，的变化情况即可； （2）由，再结合的取值范围即可求解． 【详解】（1）解： 当时，随着的增大而减小， 随着的增大，的值减小； 当时，随着的增大而减小， ， 随着的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）解：∵， ∵当时，随着的不断增大，的值无限接近0， ∴的值无限接近5． 39．阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 和谐分式我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． 对于任何一个假分式都可以化成整式与一个分子为常数的真分式的和的形式，因此也称这个假分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题主要查了分式的化简：     （1）根据“和谐分式”的定义，即可求解； （2）根据题意化简分式，即可． 【详解】（1）解：①是“和谐分式”； ②不是“和谐分式”；     ③是“和谐分式”；     ④不是“和谐分式”； 故答案为：①③ （2）解： ． 40．已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查异分母分式的加减法，根据异分母的分式的加减法则，进行计算即可． 【详解】解：， 由题意可知：， 解得：，． 41．若，求分式的值． 【答案】 【分析】根据题意设，从而用含k的代数式表示出a，b，c，然后代入所求分式化简即可． 【详解】设()，则，，， 代入所求分式得： 原式 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据根式的性质对条件进行变形整理，利用整体思想求解是解题关键． 42．已知，求的值. 【答案】 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 左边=， 右边= 所以 解得：. 把，代入，． 【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 43．课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出、的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分式右边通分，再根据题意得出关于的方程组，求出、的值即可． 【详解】解：原分式可化为， ，即， ， 解得． 44．某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如：．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中m，n为常数），求m，n的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)利用分离常数法，求分式的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键． （1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论． 【详解】（1）解∶， ∴； （2）解∶， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或； （3）解∶， ∵， ∴， ∴， ∴当时，分式的最大值为3． 45．阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 46．阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； （2）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； 故答案为：，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 47．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 48．计算：． 【答案】 【分析】先通分，再计算，最后约分进行计算即可得． 【详解】解：原式= = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 49．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 50．在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似的，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：＝＝，＝＝＝． 参考上面的方法解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)求分式的最大值；（其中n为正整数） (3)已知分式的值是整数，求t的整数值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的加减法，分式的值，能够根据分式的值为整数求出t是解题的关键． （1）按照阅读材料的例子模仿即可； （2）先化简分式，再求最大值； （3）先化简分式，然后根据分式的值为整数求出t． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ∵n为正整数 ∴当时，分式有最大值，最大值为 （3）解：原式 ∵分式的值是整数， ∴ ∴或 51．阅读下面的材料，并解答问题． 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”，例如：将分式表示成部分分式，，设，接下来求，的值．去分母，得，，解得 ． (1)若（，为常数），则______，______； (2)已知（，为常数），用材料中的解法求，的值； (3)化简：． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查新定义，分式加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据把这个分式表示成“部分分式”定义得出，从而得到，求解即可； （2）根据把这个分式表示成“部分分式”定义得出，从而得到，求解即可； （3）根据把这个分式表示成“部分分式”定义，变形为，再按分式加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： 去分母，得 ∴，解得：． 故答案为：1；． （2）解： 去分母，得 ∴，解得：， （3）解： ． 52．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 ； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，请求的取值范围． 【答案】(1)真， ； (2)或或或； (3)． 【分析】（）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为逆用分式的加减法运算可得第二空的答案； （）先把原分式化为 ，再结合为整数，为整数，可得或或或，从而可得答案； （）先把原分式化为，再结合，从而可得答案； 本题考查了新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解“真分式”“假分式”“带分式”的定义以及转化方法是解题的关键． 【详解】（1）根据新定义可得： 是真分式，， 故答案为：真，； （2）∵且为整数，为整数， ∴或或或， 解得：或或或； （3）∵而， ∴， ， ∴， ∴． 53．如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式 ， ， ，故M为N的“差整分式”，“差整值” ． (1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________（填序号）； ① ， ， ② ， ， ③ ， ； (2)已知分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值” ， ①求G所代表的代数式； ②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值； 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （1）分别计算出，然后根据“差整分式”定义判断即可； （2）①根据“差整分式”定义列出关于G的方程，然后求解即可；②由，x为正整数，且分式D的值为负整数，得出，从而可得答案； 【详解】（1）， A不是B的“差整分式”， ②， A是B的“差整分式”， ③ ； A不是B的“差整分式”， 故答案为：② （2）①分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值”， ， ， ②     ， x为正整数，且分式D的值为负整数 ． 54．阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； (3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 【答案】(1)是， (2)①；② (3)c的值为4或16 ． 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①∵， ∴ ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3） ， ∵， ∴原式， ∴，即， ∴， ∴， ∵a，b为整数， ∴一定为5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或1， ∴c的值为4或16 ． 55．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”． (1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________． ①；②；③． (2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”． ①求真分式；②当时，求的值． (3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数． 【答案】(1)② (2)①；② (3)当整数为或或或或或时，分式的值为整数 【分析】本题考查分式的加减运算，求代数式，分式为整数， （1）根据“和整分式”的定义进行判断即可； （2）①根据“和整分式”的定义可得的值；②根据，得到，然后代入计算即可； （3）根据“和整分式”的定义可得出为整数，即可求解； 掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵ ， 则该分式与假分式的和不是整式， ∴该分式与假分式不是互为“和整分式”； ②∵， 则该分式与假分式的和是整式， ∴该分式与假分式互为“和整分式”； ③∵， 则该分式与假分式的和不是整式， ∴该分式与假分式不是互为“和整分式”； 故答案为：②； （2）①∵， 又∵存在一个真分式与互为“和整分式”， ∴； ②∵， ∴， 当时，； （3）∵与均与真分式互为“和整分式”， 设，， ∴，都是整式，且， ∵的值为整数， ∴为整数， ∴能被整除，且即， ∴或或， 解得：或或或或或， ∴当整数为或或或或或时，分式的值为整数． 56．阅读下面材料，并解答问题. 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4. 解答下列问题： (1)分式的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式的值为整数，请直接写出整数的值. 【答案】(1)8 (2)5 (3)2、3、5、6 【分析】（1）本题考查对题干的理解、分式加减运算的逆运算（即 ）和分式的化简求值，根据，由，得到的最大值为5，即可解题． （2）本题解法与（1）类似． （3）本题解法与（1）类似．根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为2的因数，从而可得到整数的值． 【详解】（1）解：由题可知，， , 的最小值为2， 的最大值为5， 的最大值为8， 即的最大值为8． （2）解：由题可知，, 当时且为最小值， 的最大值为3， 的最大值为5， 即的最大值为5． （3）解：由题可知，， 的值为整数， 的值为整数， 不能等于0， 的值为、、1、2， 的值为2，3，5，6． 57．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 58．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 【答案】小李两次加油的平均单价更低 【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论． 【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为（元/升）， 小王两次加油30升的平均单价为（元/升）， ∴ ， ∵， ∴，则， 故小李两次加油的平均单价更低． 59．（1）先化简：，再从中任选一个数，求式子的值． （2）甲、乙两地间的公路全长100千米，某人从甲地到乙地每小时走千米，用代数式表示： ①此人从甲地到乙地需要走______小时； ②如果每小时多走5千米，此人从甲地到乙地需要走______小时；则此人从甲地到乙地少用______小时． 【答案】（1）；时，原式；时，原式； (2)①；②，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，列代数式，掌握通分，约分，速度、时间、路程三者之间的关系是解决问题的关键． （1）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把或4代入计算即可． （2）①利用路程÷速度=时间列式即可；②利用路程÷速度=时间求得速度变化前后所用时间，求得时间差即可． 【详解】（1）解： ∴取时，原式（或取，原式） （2）解：① （小时） 故答案为：． ②（小时） （小时） 故答案为：，． 60．【问题提出】 课堂上，老师提出了下面的问题： ，，，试比较M与N的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”． 老师：比较与的大小． 小华：∵ ． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … 【问题解决】 （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． 【问题应用】 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为． 实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”． （2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性． （3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2），证明见解析 （3）详见解析 【分析】题目主要考查分式的加减运算及分式的基本性质，理解题意，列出分式进行运算是解题关键． （1）根据分式的加减法运算求解即可； （2）根据题意得出加入m克糖后，糖水浓度为，然后利用分式作差求解即可； （3）根据三角形三边关系得出，，，再由分式的性质及加减法证明即可． 【详解】（1） ，， ； （2）解： 证明如下： 加入m克糖后，糖水浓度为， ， ∵， ， 又∵ ， 故答案为：； （3）证明：∵a、b、c为的三边长， ，， ，，． 由（2）的结论知道：，，， 三式相加得： ． 61．阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明. 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式. 解： 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数，且，求y与x的函数关系式． 解：∵， 又∵，， ∴，还要使为整数， ∴，即． (1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为___________； (2)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数___________； (3)已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 【答案】(1) (2)或4或或16 (3)当，或，或，时，六位整数能被33整除 【分析】（1）按照定义拆分即可； （2）先将拆分为一个整式与一个分式的和的形式，根据的值为整数得出的要值为整数，然后再求出x的值即可； （3）将六位数化简为，根据，再根据六位整数能被33整除，得出能被33整除，然后分类讨论即可． 【详解】（1）解： ＝ ． （2）解： ＝ ， 若要值为整数，只需为整数即可， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故或4或或16． （3）解：六位数 ， ∴ ， ∵六位整数能被33整除， ∴能被33整除， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上分析可知：当，或，或，时，六位整数能被33整除． 【点睛】本题主要考查了分式的化简、求使分式值为整数的未知数等知识点，理解逆用分数加减法的化简方法是解答本题的关键． 62．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算； （1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可； （2）先算括号，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 64．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的运算， （1）将第二个分式进行约分，再根据同分母分式的加法运算法则计算即可； （2）先根据分式的乘方将原式化简，同时将除法化为乘法，再进行约分即可； （3）将分母通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算即可； （4）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可； 掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 65．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 66．下面是小文同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……………第一步 …………第二步 …………第三步 .…………第四步 (1)由第三步到第四步进行了________运算，化为最简分式，依据是________； (2)你认为小文的解答过程正确吗？若不正确，错在哪一步？并写出正确的解答过程． 【答案】(1)约分，分式的基本性质 (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据约分步骤及分式的性质进行解答即可得出答案； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； 【详解】（1）解：由第三步到第四步进行了约分运算，化为最简分式，依据是分式的基本性质， 故答案为：约分，分式的基本性质； （2）解：小文的解答过程不正确，错在哪二步，正确解答如下： ， ， ， ， 67．先化简，再求值：，其中的值是的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的，再将除法变为乘法，根据分式的乘法法则计算，然后代入求值． 【详解】原式 ∵， ∴， ∴原式． 68．化简代数式，从、、0、1中选择一个合适的数代入，求此代数式的值． 【答案】；，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从、、0、1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， ∵，， ∴、、0、1四个数中只能取， ∴原式． 69．计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程． ①原式； ②原式． (1)以上解法中正确的是__________（填序号即可）； (2)请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程；并从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求分式的值． 【答案】(1)① (2)解答过程见解析，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． （1）根据两种解法的解题过程判断即可； （2）选出正确的解法化简，然后选一个使原分式有意义的数代入正确的计算结果计算即可． 【详解】（1）解：因除法没有分配律，故①正确，②错误． 故答案为：①． （2）解：原式 ， ∵， ∴当时，原式． 70．已知 (1)化简W； (2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式的混合运算，三角形三边的关系，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简； （2）根据三角形三边的关系求出a的取值范围，然后去一个使原分式有意义的整数代入计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵a，2，3恰好是△ABC的三边长， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴a可以取得整数为2或4， 当时，； 当时，． 71．下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． ……第一步 ……第二步 ．……第三步 ……第四步 ……第五步 问题解答： (1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程，并从0，1，2中选一个合适的数作为m的值代入求值． 【答案】(1)一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号 (2)见解析，1 【分析】本题考查了分式的混合运算:先乘方再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）第一步加括号时，括号里第二项没有变号； （2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号， 故答案为：一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号； （2）解： ； ∵，， ∴ 当时地，原式． 72．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2) ； ． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解： ，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 73．已知：，求代数式的值，小华是这样解的： 解：， 即 ， 已知：若，且，求的值，小强是这样解的： 解：令则，，， ． 回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：令， ∴，，， ∴． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$