24.5 三角形的内切圆-【木牍中考●名师教案】2024-2025学年九年级下册数学（沪科版）

24.5　三角形的内切圆 ◇教学目标◇ 　　1.理解三角形的内切圆、内心的概念,会作三角形的内切圆. 2.经历画图、测量、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,培养学生有条理地阐述自己观点的能力. 3.通过课题学习,使学生对数学有好奇心和求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼意志,增强自信心. ◇教学重难点◇ 教学重点 三角形的内心的性质. 教学难点 应用三角形内心的性质证明或解决有关问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图,一块等腰三角形钢板的底边长为80 cm,腰长为50 cm.小明想从这块钢板上剪出一个最大的圆,你能帮小明求出最大圆的半径吗? 结论:作一个圆使这个圆与三角形的三边都相切. 二、合作探究 探究点1　和三角形内切圆有关的计算和证明 典例1　如图,△ABC的内切圆☉O与AC,AB,BC分别相切于点D,E,F,且AB=5 cm,BC=9 cm,AC=6 cm,求AE,BF和CD的长. [解析]　由题意可知AD=AE,BE=BF,CD=CF. AE=(AC+AB-BC)=1 cm, BF=(AB+BC-AC)=4 cm, CD=(AC+BC-AB)=5 cm. 变式训练　如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的内切圆☉O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F,求证:BF=CE. [解析]　∵△ABC的内切圆☉O与AC,AB分别相切于点E,F, ∴AF=AE. 又∵AB=AC, ∴AB-AF=AC-AE,即BF=CE. 一般地,在直角三角形中,若两条直角边为a,b,斜边为c,则其内切圆的半径r=(a+b-c)或.若△ABC的三边是a,b,c,内切圆的半径是r,则S△ABC=(a+b+c)r. 探究点2　与三角形内切圆、外接圆有关的综合题 典例2　如图,已知点E是△ABC的内心,∠BAC的平分线交BC于点F,且与△ABC的外接圆相交于点D. (1)求证:∠DBE=∠DEB; (2)若AD=8,,求DE的长. [解析]　(1)∵E是△ABC的内心, ∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD. 又∵∠CBD=∠CAD, ∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠CBE,∴∠DBE=∠DEB. (2)∵,∴, ∴DF=AD=×8=2. 由(1)可知∠DBE=∠DEB,∴DB=DE. ∵∠DBC=∠DAC=∠BAD,∠BDF=∠ADB, ∴△BDF∽△ADB,∴, ∴BD2=DF·AD=2×8=16, ∴BD=4(负值舍去), ∴DE=BD=4. 三、板书设计 三角形的内切圆 知识点 内容 关键点提示 三 角 形 与 圆 外心 三角形三边的垂直平分线的交点 外心到三角形的三个顶点的距离相等 内心 三角形三内角平分线的交点 内心到三角形的三边的距离相等 ◇教学反思◇ 从知识点角度来看,注意引导学生理解数形结合的思想以及内心和外心的区别;从教学过程来看,采用小组教学和自主探究相结合的学习方式,对学生探究新知识十分有效. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$