24.4 第2课时 切线的性质与判定-【木牍中考●名师教案】2024-2025学年九年级下册数学（沪科版）

第2课时　切线的性质与判定 ◇教学目标◇ 　　1.掌握切线的定义和性质;掌握切线的判定定理. 2.综合运用切线的判定和性质解决问题,培养学生的逻辑推理能力;通过学生自己探究(猜想、类比、演绎),让学生发现切线的性质定理,并能加以验证. 3.培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识,充分领会数学的转化思想. ◇教学重难点◇ 教学重点 圆的切线的判定定理. 教学难点 掌握圆的切线证明问题中的各种方法. ◇教学过程◇ 一、问题导入 上节课我们学习了直线和圆的位置关系,知道了直线与圆有三种位置关系:相离、相切、相交.判断直线和圆的位置关系,可以从公共点的个数及圆心到直线的距离与半径做比较两种方法进行判断. 由上可知,判断直线和圆相切,有哪两种方法?除了这两种方法外,还有其他方法吗? 二、合作探究 探究点1　切线的性质 典例1　如图,CB是☉O的直径,P是CB延长线上一点,PB=2,PA切☉O于点A,PA=4.求☉O的半径. [解析]　如图,连接OA,设☉O的半径为r. ∵PA切☉O于点A, ∴OA⊥PA,即∠OAP=90°, 由勾股定理,得AO2+PA2=OP2,即r2+42=(r+2)2,解得r=3,∴☉O的半径是3. 变式训练　如图,点A,B,C在☉O上,过点A作☉O的切线交OC的延长线于点P,∠B=30°,OP=3,则AP的长为 (　　) A.3 B. C. D. [答案]　D 探究点2　切线的判定 典例2　如图,点D在☉O的直径AB的延长线上,点C在☉O上,AC=CD,∠D=30°,求证:CD是☉O的切线. [解析]　如图,连接OC. ∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°. ∵OA=OC, ∴∠2=∠A=30°,∴∠1=60°, ∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD, ∴CD是☉O的切线. 切线的判定方法有三种:①利用切线的定义,即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线;③经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 变式训练　如图,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作☉O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED=EA.根据题意,完成下列填空. (1)若判定直线ED与☉O相切,由题意可知D是☉O上的点,只需要证明OD　　　　DE;  (2)若要判定OD与DE之间的位置关系,可连接OE,判定△AOE　　　　△DOE;  (3)在△AOE与△DOE中,已知的等量关系有　　　　,由全等的判定定理　　　　即可得出△AOE　　　　△DOE,则OD　　　　DE,所以ED是☉O的切线.  [答案]　(1)⊥　(2)≌　(3)ED=EA,OE=OE,OA=OD　SSS　≌　⊥ 探究点3　切线的判定与性质的综合应用 典例3　已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P. (1)如图1,若∠BOC=2∠PCB,求证:直线PC是☉O的切线; (2)如图2,若M是弧AB的中点,CM交AB于点N,MN·MC=36,连接BM,求BM的值. 图1　　　　　　　　图2　 [解析]　(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO, ∴∠BOC=2∠ACO. 又∵∠BOC=2∠PCB,∴∠ACO=∠PCB. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACO+∠OCB=90°, ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP. 又∵OC是☉O的半径, ∴PC是☉O的切线. (2)连接AM. ∵M是弧AB的中点, ∴,AM=BM, ∴∠ACM=∠BAM. ∵∠AMC=∠AMN, ∴△AMC∽△NMA,∴, ∴AM2=MC·MN=36, 解得AM=6(负值舍去),则BM=6. 三、板书设计 切线的性质与判定 切线的性质:连切点得垂直 切线的判定 ◇教学反思◇ 本节课是在学习了直线与圆的位置关系的基础上,进一步研究切线问题.问题导入既让学生复习了直线与圆的位置关系的判定方法,同时设置问题思考,激发学生的求知欲.对于切线的判定,在判定前一定让学生先看直线和圆是否有公共点,只有有公共点才能利用本节的定理,另外,在今后教学中应增加切线的判定与性质的综合题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$