3.3 垂径定理-【木牍中考●名师教案】2024-2025学年九年级下册数学（北师大版）

*3　垂径定理 ◇教学目标◇ 　　1.理解垂径定理及其推论;能够应用垂径定理和推论,证明或解决有关的实际问题. 2.经历垂径定理及其推论的探究过程,经历垂径定理及其推论的应用过程,体验实际问题抽象成数学问题的过程和转化思想. 3.在应用垂径定理的过程中,体验数学对解决问题的有效性,培养积极学习的主动精神. ◇教学重难点◇ 教学重点 垂径定理及其推论的理解及应用. 教学难点 应用垂径定理解决有关的实际问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 1400多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫拱形高)为7.2米,求桥拱的半径.(精确到0.1米) 二、合作探究 探究点1　垂径定理及其推论 典例1　如图,已知☉O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD. (1)求证:E是OB的中点; (2)若AB=8,求CD的长. [解析]　(1)连接AC. ∵直径AB垂直于弦CD于点E, ∴,∴AC=AD. ∵CF⊥AD, ∴AF=DF,即CF是AD的中垂线, ∴AC=CD,∴AC=AD=CD, 即△ACD是等边三角形,∴∠FCD=30°. 在Rt△COE中,OE=OC, ∴OE=OB,∴E是OB的中点. (2)∵AB=8,∴OC=AB=4, 又∵BE=OE,∴OE=2, ∴CE==2, ∴CD=2CE=4. 技巧点拨根据垂径定理,过圆上一点的半径和过这一点的一条弦的一半,以及这条弦的弦心距,就构成了直角三角形,就可以利用勾股定理已知两边求第三边,或者利用勾股定理列方程. 变式训练　如图,在同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D,已知AB=2CD,AB的弦心距等于CD长的一半,那么大圆与小圆的半径之比是 (　　) A.3∶2 B.∶2 C.　 D.5∶4 [答案]　C 探究点2　垂径定理及其推论的应用 典例2　赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图2,若桥跨度AB约为40米,主拱高CD约10米. 图1　　　　　　　　　图2 (1)尺规作图,在图中找到桥弧所在圆的圆心O;(不写作法,保留作图痕迹) (2)求桥弧所在圆的半径R. [解析]　(1)圆心O如图所示. (2)由(1)知O为圆心,根据垂径定理的推论,延长CD,则CD过点O,连接OA. 根据垂径定理的推论可知△AOD为直角三角形, ∵D是AB的中点,∴AD=AB=20. ∵CD=10,∴OD=R-10. 在Rt△AOD中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2, ∴R2=202+(R-10)2,解得R=25. 即桥弧所在圆的半径R为25米. 　　垂径定理及其推论在实际问题中的应用,首先要把实际问题抽象为数学问题,转化为能够应用垂径定理及其推论的问题,为此,有时需要假定圆心的位置,有时也需要作出相关的辅助线,但都要出现弦(弦的一半)、这条线的弦心距、和过这条弦的端点的半径,这三者构成了直角三角形,从而为利用勾股定理奠定了基础. 变式训练　如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是上一点,OC⊥AB,垂足为点D,AB=160 m,CD=40 m,则这段弯路的半径是 (　　) A.60 m B.80 m C.100 m D.120 m [答案]　C 三、板书设计 *垂径定理 垂径定理 ◇教学反思◇ 　　让学生在欣赏赵州桥图片的同时,惊叹古代人的智慧,引起好奇,激起学生探究桥拱半径的兴趣. 在老师的引导下,通过折叠等探究活动直观感受相关的对应关系以及相应的条件,在此基础上进行严谨的推理证明,有效地突破重点和难点,有利于学生对知识的理解与掌握.在探究活动中,学生的交流活动较多,对问题的思考、分析、交流、展示做得比较充分,引导分析也比较及时,但是在问题思考中的有针对性的个别指导还要适当加强. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$