第五章第05讲 解题技巧专题：数轴上的行程问题（5类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）

第05讲 难点探究专题：数轴上的行程问题(5类热点题型讲练) 目录 【考点一 数轴上的行程问题之相遇问题】 1 【考点二 数轴上的行程问题之相距问题】 4 【考点三 数轴上的行程问题之三点中点问题】 8 【考点四 数轴上的行程问题之新定义型问题】 13 【考点五 数轴上的行程问题之折线数轴问题】 17 【考点一 数轴上的行程问题之相遇问题】 例题：（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点B表示的数是 ； （2）运动1秒时，点P表示的数是 ； （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当点P运动 秒时，点P与点Q相遇． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，点A和B在数轴上分别表示数，，点0为原点．甲、乙两人分别从点A，B同时出发，在线段间往返运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度． (1)求点A，B之间的距离． (2)①经过______秒，甲、乙两人第一次相遇． ②经过______秒，甲、乙两人第二次相遇，此时相遇点在数轴上表示的数为______． 2．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度． 【考点二 数轴上的行程问题之相距问题】 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，、分别在数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为20． (1)请写出__________； (2)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点对应的数； (3)若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度在数轴上匀速运动，同时另一只电子蚂蚊恰好从点出发，以2单位/秒的速度在数轴上匀速运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点B表示的数是_________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？ 2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，数轴上点、之间的距离为20个单位长度，点表示的有理数是8．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．与此同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点以每秒5个单位长度的速度在、之间往返运动．设运动时间为秒． (1)点表示的数是___________，点表示的数是__________；（用含的代数式表示） (2)求经过多长时间，、两点相遇？此时点一动运动了多少个单位长度？ (3)求经过多长时间，点到原点的距离是点到原点距离的2倍？ 【考点三 数轴上的行程问题之三点中点问题】 例题：（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．    (1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整． 时间（秒） 0 1 2 C点在数轴上的位置所表示的数 _____ D点在数轴上的位置所表示的数 _____ 3 2 (2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数． (3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数，，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒 (1)问甲、乙在数轴上表示有理数________的点相遇； (2)________秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位． (3)若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 2．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）数轴体现了数形结合的数学思想，请解决下面与数轴相关的问题． (1)如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为12，则A，B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．找出所有符合条件的整数x，使得成立，这样的整数是 ； (2)在点A表示的数为，点B表示的数为12的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（）．求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）． 【考点四 数轴上的行程问题之新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．    如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．    (1)①求的美好点表示的数为______． ②求的美好点表示的数为______． (2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：． (1)则________；________； (2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”． ①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数； ②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值． 【考点五 数轴上的行程问题之折线数轴问题】 例题：（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒； (2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数； (3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的的“折线距离”相等． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20． (1)求、、的值． (2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 2．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A时点Q停止运动，设：运动时间为t．问： (1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ (3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 难点探究专题：数轴上的行程问题(5类热点题型讲练) 目录 【考点一 数轴上的行程问题之相遇问题】 1 【考点二 数轴上的行程问题之相距问题】 4 【考点三 数轴上的行程问题之三点中点问题】 8 【考点四 数轴上的行程问题之新定义型问题】 13 【考点五 数轴上的行程问题之折线数轴问题】 17 【考点一 数轴上的行程问题之相遇问题】 例题：（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． （1）数轴上点B表示的数是 ； （2）运动1秒时，点P表示的数是 ； （3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当点P运动 秒时，点P与点Q相遇． 【答案】（1） （2）2 （3）8 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴的应用和一元一次方程的应用——行程问题， （1）由的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数； （2）利用1秒后点P表示的数点A表示的数点P运动的速度运动时间，即可求出结论； （3）设当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，由点P与点Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点A表示的数为4，点是数轴上在点A左侧的一点，且A、两点间的距离为8， 点B表示的数为， 故答案为：； （2）动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 运动1秒时，点运动了个单位长度， 此时点表示的数为， 故答案为：2 （3）设当运动时间为t秒时，点P与点Q相遇， 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 由题意得， 解得：， 当运动时间为8秒时，点P与点Q相遇， 故答案为：8． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，点A和B在数轴上分别表示数，，点0为原点．甲、乙两人分别从点A，B同时出发，在线段间往返运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度． (1)求点A，B之间的距离． (2)①经过______秒，甲、乙两人第一次相遇． ②经过______秒，甲、乙两人第二次相遇，此时相遇点在数轴上表示的数为______． 【答案】(1) (2)①6；②18； 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的实际应用，正确根据数轴上两点的距离计算公式列出方程求解是解题的关键． （1）用点B表示的数减去点A表示的数即可得到答案； （2）①设经过t秒，甲、乙两人第一次相遇，根据第一次相遇时，甲乙所走的路程之和为点A和点B之间的距离列出方程求解即可；②先根据题意推出第二次相遇时，甲第一次从B向A运动，乙第一次从A向B运动，设运动时间为m，根据第二次相遇时甲乙表示的数相同得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，点A，B之间的距离为； （2）解；①设经过t秒，甲、乙两人第一次相遇， 由题意得，， 解得， ∴经过6秒，甲、乙两人第一次相遇； ②∵甲第一次返回A时需要的时间为，乙第一次到达A的时间为，乙第一次返回B的时间为， ∴第二次相遇时，甲第一次从B向A运动，乙第一次从A向B运动， 设运动时间为m， 由题意得，， 解得， ∴此时相遇点表示的数为， 故答案为：18；． 2．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度． 【答案】(1)， (2)， (3)；向右， 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题属于数轴上的动点问题，主要考查了数轴上两点之间的距离，中点的含义，解一元一次方程等知识点，弄清题意，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离以及中点的含义即可求解； （2）根据题意列方程即可求解； （3）秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为，于是得到方程，解方程即可求解；根据在这一运动过程中起始时刻和终了时刻点的位置，即可求出点的运动方向和运动速度． 【详解】（1）解：根据题意可知，运动开始前，、两点的距离， 线段的中点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：根据题意可得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， ， 相遇点所表示的数是， 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为， 依据题意可得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 当时，中点表示的数为， 当时，中点表示的数为， 中点的运动方向向右，运动速度为， 答：当时，线段的中点表示的数为；在这一运动过程中，点的运动方向向右，运动速度为． 【考点二 数轴上的行程问题之相距问题】 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，、分别在数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为20． (1)请写出__________； (2)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点对应的数； (3)若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度在数轴上匀速运动，同时另一只电子蚂蚊恰好从点出发，以2单位/秒的速度在数轴上匀速运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 【答案】(1) (2)8 (3)或或或1． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出答案； （2）设运动时间为t秒，先表示出点P、Q表示的数，再列方程解答； （3）题干未指明运动方向，需要分不同情况讨论，表示出点P、Q的表达式，再列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：∵A 点对应的数为，B点对应的数为20． ∴AB 两点间的距离为， 故答案为：； （2）设运动时间为t秒， 点Q表示的数是，点P表示的数是， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； （3）设运动t秒， ①若电子蚂蚊从点出发，向右运动，电子蚂蚊从点出发，向左运动， 则点P表示的数是，点Q表示的数是， 依题意得：，解得：或（不合题意舍去） ②若电子蚂蚊从点出发，向右运动，电子蚂蚊从点出发，向右运动， 则点P表示的数是，点Q表示的数是， 依题意得：，解得：或（不合题意舍去） ③若电子蚂蚊从点出发，向左运动，电子蚂蚊从点出发，向左运动， 则点P表示的数是，点Q表示的数是， 依题意得：，解得：或（不合题意舍去） ④若电子蚂蚊从点出发，向左运动，电子蚂蚊从点出发，向右运动， 则点P表示的数是，点Q表示的数是， 依题意得：，解得：或（不合题意舍去） 综上所述：或或或1． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，列一元一次方程解动点问题，数轴上动点问题，正确理解动点问题是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点B表示的数是_________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？ 【答案】(1) (2)①秒；②或秒 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，数轴上点B表示的数是，计算求解即可； （2）①设的运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可；②由题意知，，即或，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，数轴上点B表示的数是， 故答案为：； （2）①解：设的运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点P与点Q相遇， ∴， 解得，， ∴点P运动秒时，点P与点Q相遇； ②解：由题意知，， ∴或， 解得，或； ∴当点P运动或秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度． 2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，数轴上点、之间的距离为20个单位长度，点表示的有理数是8．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．与此同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点以每秒5个单位长度的速度在、之间往返运动．设运动时间为秒． (1)点表示的数是___________，点表示的数是__________；（用含的代数式表示） (2)求经过多长时间，、两点相遇？此时点一动运动了多少个单位长度？ (3)求经过多长时间，点到原点的距离是点到原点距离的2倍？ 【答案】(1)，； (2)经过，、两点相遇；点一共运动了10个单位长度； (3)经过1秒或3.5秒，点到原点的距离是点到原点距离的2倍． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴，一元一次方程的应用： （1）根据A位于点B左侧以及两点之间的距离，可直接求出答案； （2）根据题意列出方程，即为、两点相遇相遇的时间，进而求出路程； （3）分两种情况：当点在原点左侧、点在原点右侧时，得出，当点和点都在原点左侧且、未相遇时，得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵数轴上点、之间的距离为20个单位长度，点表示的有理数是8，A位于点B左侧， ∴点A表示的数为， 根据题意得：点表示的数是， 故答案为：，； （2）由题意得：点表示的数是， 则， 解得：， 答：经过，、两点相遇， ∵， ∴点一共运动了10个单位长度； （3）当点在原点左侧、点在原点右侧时， ， 解得， 当点和点都在原点左侧且、未相遇时， ， 解得， 所以，经过1秒或3.5秒，点到原点的距离是点到原点距离的2倍． 【考点三 数轴上的行程问题之三点中点问题】 例题：（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．    (1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整． 时间（秒） 0 1 2 C点在数轴上的位置所表示的数 _____ D点在数轴上的位置所表示的数 _____ 3 2 (2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数． (3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度． 【答案】(1)，； (2)； (3)点P向右运动，且运动速度为个单位/秒． 【知识点】线段中点的有关计算、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，利用表格得出点C，点D的运动速度，根据距离时间速度，求出距离，即可解题． （2）本题考查一元一次方程的实际应用，设C点的运动秒后，两点相遇，根据点C的运动距离点D总的的运动距离，建立方程求解，即可得到相遇时间，再推出点C的运动距离，即可解题． （3）本题考查一元一次方程的实际应用，以及线段中点的定义，设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，表示出，，，根据题意分以下两种情况讨论，①点P向右运动，②点P向左运动，根据以上两种情况通过建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，点C向右运动的速度为：个单位/秒， 当时间为2秒时，C点在数轴上的位置所表示的数为：， 点D向左运动的速度为：个单位/秒， 当时间为0秒时，点D在数轴上的位置所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：由动点D从B出发可知，点B表示的数为， 设C点的运动秒后，两点相遇， 根据题意有：， 解得：， C点运动的距离为， 两点相遇时的位置所表示的数为：； （3）解：设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒， 下面分情况讨论： ①点P向右运动， 有，，， 点F为线段的中点， ， ， ，整理得，解得， 即点P向右运动，且运动速度为个单位/秒； ②点P向左运动， 有， ， ，整理得，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，点P向右运动，且运动速度为个单位/秒． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数，，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒 (1)问甲、乙在数轴上表示有理数________的点相遇； (2)________秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位． (3)若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【答案】(1) (2)2或5 (3)秒或秒或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）先求出点A和点C的距离，再求出运动时间，进而求出相遇的点表示的数即可； （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位，根据题意分析出甲应在或之间，再分别表示出甲到三点的距离，进而建立方程求解即可； （3）先求出甲的新速度变为12个单位/秒，设运动时间为x秒，再分①当原点是与两点的中点时，②当是甲与原点两点的中点时，③当是与原点两点的中点时，三种情况根据数轴上两点中点计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：秒， ， ∴甲、乙在数轴上表示有理数的点相遇， 故答案为：； （2）解：设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位， ∵点距，两点的距离为，点距、两点的距离为，点距、的距离为， ∴甲应在或之间． ①当甲在之间时，则 解得； ②当甲在之间时：， 解得； 综上所述，2秒或5秒后，甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位； 故答案为：2或5； （3）∵甲的速度变为原来的3倍， ∴甲的新速度变为12个单位/秒， 设运动时间为x秒 ①当原点是与两点的中点时， 依题意得：， 解得， ②当是与原点两点的中点时， 依题意得：， 解得； ③当是与原点两点的中点时， 则依题意得：， 解得， 综上所述，秒或秒或秒后，原点、与三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 2．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）数轴体现了数形结合的数学思想，请解决下面与数轴相关的问题． (1)如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为12，则A，B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．找出所有符合条件的整数x，使得成立，这样的整数是 ； (2)在点A表示的数为，点B表示的数为12的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（）．求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）． 【答案】(1)15；；3或 (2)当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为 (3)秒或秒或5秒 【知识点】数轴上的动点问题、绝对值的意义、行程问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式即可求得A，B两点之间的距离，根据线段中点的定义，即可设元列方程，求出线段的中点表示的数，根据绝对值的几何意义，即可分情况讨论，求得使成立的整数值； （2）分别求出点P，点Q所对应的数，即可列方程求解； （3）先求出运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为，再分三种情况讨论，根据线段中点的定义，分别列方程求解． 【详解】（1）； 设线段的中点表示的数为x， 则， 解得； 对于，设点A表示的数为，点B表示的数为2，点P所表示的数为x，则，， ， 点P在点A的左侧或在点B的右侧， 当点P在点A的左侧时，， ， 点P所表示的数为； 当点P在点B的右侧时，， ， 点P所表示的数为3； 综上所述，点P所表示的数为3或； 故答案为：15；；3或． （2）运动t秒后点P对应的数为，点Q对应的数为， 根据题意得， 解得， 当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 理由如下： 点A表示的数，点B与点A的距离是10， 点B所表示的数是9， 运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为， ①当B是的中点时，， ， 解得； ②当P是的中点时，则， ， 解得； ③当Q是的中点时，则， ， 解得； 综上所述，运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的应用，绝对值的几何意义，线段中点的有关计算,理解题意，利用数形结合的思想列方程求解是解题的关键． 【考点四 数轴上的行程问题之新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．    如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．    (1)①求的美好点表示的数为______． ②求的美好点表示的数为______． (2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据定义，构建方程求解； （2）根据定义，，结合行程公式构建方程求解； 【详解】（1）解：①令美好点表示的数为x，由题知， 解得， ∴的美好点表示的数为； ②令美好点表示的数为y，由题知，, 解得， ∴的美好点表示的数为； （2）解：根据题意，得 ∴ 解得 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离表示；根据定义构建方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：． (1)则________；________； (2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”． ①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数； ②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值． 【答案】(1)，12 (2)①6或0；②3或4或或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性、数轴上的动点问题 【分析】本题是新定义题型，主要考查了数轴，绝对值以及偶次幂的非负性的应用，理解新定义，进行分类讨论是解题的关键． （1）直接根据绝对值的非负性，偶次方的非负性即可得出答案； （2）①设点M表示的数为m，然后根据友好点的定义求解即可； ②根据题意得点P表示的数是，点Q表示的数是，然后分点B在P、Q之间；点B在P、Q的左侧讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，． 故答案为：，12； （2）①设点M表示的数为m， 根据题意得或， 解得或， 所以A、B两点的和谐点M在数轴上对应的有理数是6或0． ②设运动的时间为x秒，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当B在P、Q之间时， 根据题意，得或， 解得或4； 当点B在P、Q的左侧时， 根据题意，得或， 解得或， 综上，当t的值为3或4或或时，，，三点中有一点是另两点的“友好点”． 【考点五 数轴上的行程问题之折线数轴问题】 例题：（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒； (2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数； (3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的的“折线距离”相等． 【答案】(1)19，17； (2)；点M在折线数轴上所表示的数是 (3)当秒或秒或 秒或17秒时， 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用路程除以速度求解即可得到答案； （2）先判断相遇点M在上，再根据题意列方程求解即可； （3）分四种情况讨论：①当点P在上，点Q在上时；②当点P在上时，点Q在上时；③当点P在上时，点Q在上时；④当点P在上时，点Q在上时，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要秒， 从点O运动至点B需要秒， 从点B运动至点C需要秒， 则动点P从点A运动至点C需要秒； 动点Q从点C运动至点B需要秒， 从点B运动至点O需要秒， 从点O运动至点A需要秒， 则动点Q从点C运动至点A需要秒； 故答案为：19，17； （2）解：由（1）可得相遇点M在上， ∴由题意得， 解得， ∴，即点M在折线数轴上所表示的数是； （3）解：①当点P在上，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ②当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ③当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； ④当点P在上时，点Q在上时，，， ∵， ∴， 解得； 综上：当秒或秒或秒或17秒时． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20． (1)求、、的值． (2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)；； (2) (3)4，7，10，16 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为的条件求解即可得到答案，再由数轴上两点之间距离表示方法即可得到答案； （2）设相遇点所对应的数是，相遇时间为，由相遇问题列方程组求解即可得到答案； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当不在线段上；当在线段上；当在线段上；当在线段上、在线段上；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得， 、在数轴上对应的数分别是、，如图所示： ， 解得； （2）解：设相遇点所对应的数是，相遇时间为，则 ，解得， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（1）知；；， ，， 动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， 走完用时为秒，走完用时秒； 动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍， 走完用时为秒，走完用时秒； 当不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上时，如图所示： 当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当为4或7或10或16时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题考查数轴综合问题，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间距离的表示方法、非负式和为零的条件、数轴上动点问题、相遇问题等知识，根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键． 2．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A时点Q停止运动，设：运动时间为t．问： (1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ (3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等． 【答案】(1)10，4 (2) (3)4，，10 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答； （2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可； （3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒， ，， 动点从点运动至点需要的时间为（秒， 动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒， 动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒， （秒， ， ． 此时点对应的点是4； 故答案为：10，4； （2）由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段， 动点由点经过点到点点用时为（秒， 动点从点到点用时为（秒， 6秒到秒动点的路程， 相遇的时间（秒， 点的路程， 点所对应的数； （3）①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意； ②当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：； ③当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：（舍去）； ④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意； ⑤当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：； ⑥当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：． 综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$