精品解析：四川省眉山第一中学2025届高三上学期11月质量检测数学试卷

眉山一中2025届第五期11月质量检测试卷（数学） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. B. C. 7 D. 14 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（ ） （若随机变量，则，，） A. 191 B. 137 C. 159 D. 164 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 7. 定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 是最小正周期为的奇函数 8. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B. C. 若单价为50元时，估计其销量为44件 D. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是______. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是______. 14. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 16. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若存在极小值，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交AD于，连PO. （1）求证：平面； （2）在线段PA上存在一点，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 18. 已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. （1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; （2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； （3）已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 19. 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此. （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列满足，，，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 眉山一中2025届第五期11月质量检测试卷（数学） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简求解即可. 【详解】，虚部为1， 故选：A. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. B. C. 7 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式（或性质）由条件可得，然后利用等差数列前项和公式结合等差数列性质可求解答案. 【详解】解析：由，得：， 即，即， 所以 故选：D 【点睛】等差数列的通项公式，等差数列的性质.属于基础题. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式可求出，利用齐次式即可得到结果. 【详解】由得，， ∴. 故选：A. 5. 某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（ ） （若随机变量，则，，） A. 191 B. 137 C. 159 D. 164 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布，求在指定区间概率即可得解. 【详解】由题可知，， . 故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是. 故选：D 6. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出等式，化简后即可求解. 【详解】由题意知是，， 代入公式，可得， 则，两边同时取对数得， 即，则，故C正确. 故选：C. 7. 定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递增 D. 是最小正周期为的奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出解析式，AB选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D. 【详解】由题中所给定义可知， ， ，点不是图象的对称中心，故A错误； ，直线不是图象的对称轴，故B错误； 时，，是余弦函数的单调递增区间， 所以在区间上单调递增，故C正确； 的最小正周期，但，所以函数不是奇函数，故D错误. 故选：C 8. 已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，由已知条件得到在R上单调递增，根据时，，解得，由分段处左端点值小于等于右端点值得到或，从而，再验证出此时，在上单调递增，从而得到答案. 【详解】对任意，都有， 令，则在R上单调递增， 其中， 当时，，解得， 且，解得或， 故， 当时，， 因为，所以， 故在上单调递增，满足要求， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令代入即可求解；对于B，由二项式定理，对照系数即可得到；对于C，令，结合A即可求解；对于D，令，结合A即可求解. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，由二项式定理，则，故B错误； 对于C，令，则， 则，故C正确； 对于D，令，则，又， 所以，得，故D正确. 故选：ACD. 10. 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价（元） 40 50 60 70 80 90 销量（件） 50 44 43 35 28 由表中数据，求得经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 产品的销量与单价成负相关 B. C. 若单价为50元时，估计其销量为44件 D. 为了获得最大的销售额（销售额单价销量，单价应定为70元或80元 【答案】AB 【解析】 【分析】由回归系数，可得判定A正确；求得样本中心，代入回归方程，求得的值，可得判定B正确；令，求得，可得判定C不正确；根据题意，得出销售额的函数，结合二次函数的性质，可得判定D不正确. 【详解】对于A中，由回归方程，可得回归系数， 所以产品的销量与单价成负相关，所以A正确； 对于B中，由表格中的数据，可得， ，即样本中心为， 将代入回归直线方程，都可， 解得，所以B正确； 对于C中，由回归方程，令，可得， 即单价为50元时，估计其销量为46件，所以C不正确； 对于D中，设销售额为， 可得， 所以为了获得最大的销售额，单价应定位元，所以D错误. 故选：AB. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇函数的性质得出的图象关于点中心对称，且，判断A，对求导，得出的对称性，从而判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D． 【详解】因为为奇函数，所以，即，即， 所以的图象关于点中心对称，且，故A正确； 由，两边求导，得，即. 由的图象关于点中心对称，得，因此，故B正确； 因为为函数的导函数，且，即， 所以，令可得, 所以，即， 所以的图象关于直线对称， 所以.又， 所以，所以的图象关于点中心对称， ， ， 所以是周期函数，4为它的一个周期，所以，故错误； 由，得.又， 所以3，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式列式计算即得. 【详解】令“第一个路口遇到红灯”，“第二个路口遇到红灯” 则，于是， 所以所求概率为. 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 14. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，由二项分布的性质计算概率即可. 【详解】因为向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为， 则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置， 此时概率为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值. （2）根据面积可求，再根据余弦定理可求. 【小问1详解】 由正弦定理与，得. 所以即. 因为，所以，又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即，解得. 由余弦定理，得，所以. 16. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若存在极小值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，得，求导并利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最值； （2）先求导数，分类讨论和时函数的单调性，并根据函数有极小值求解的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增. 所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 函数的导函数为. （1）当时，，在区间上单调递减， 所以无极值. （2）当时，令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： x - 0 + ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极小值. 综上，的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交AD于，连PO. （1）求证：平面； （2）在线段PA上存在一点，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1）证明：因为，因为，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， ，， 且平面平面，平面 平面平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为， 解得，. 18. 已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. （1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; （2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； （3）已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 【答案】（1）0.6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用条件概率和全概率求解即可； （2）运用全概率结合数列构造知识求解即可； （3）运用离散型随机变量分布列知识，结合等比数列求和公式可解. 【小问1详解】 设事件：第天中午去A餐厅用餐， 事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中， 则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：. 【小问2详解】 设，依题可知，，， ∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8， 即，而， ∴， ∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4， ∴. 由全概率公式可知，即， ∴，而， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，即； 【小问3详解】 设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1， 当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅， ∵，， ∴， ∵，， ∴当 时，， 故. 19. 在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此. （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列满足，，，，，证明：. 【答案】（1）13 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干对的定义，列举即可得到的值； （2）将的值代入后，由数列的递推公式的特点可以构造等差数列，进而得到数列的通项公式； （3）根据和的关系得到即，将代入，得到，放缩后裂项相消求和. 【小问1详解】 由题设定义，知； 【小问2详解】 由（1），得， 左右同时除以，得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以； 【小问3详解】 ， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以， 即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $