第七章第02讲 平行线的判定与性质（2考点+7题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第02讲 平行线的判定与性质 课程标准 学习目标 ①掌握平行线的性质 ②掌握平行线的判定 1.了解并掌握平行线的判定和性质公理和定理； 2.能熟练运用平行线的判定和性质进行简单的推理证明. 知识点01 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足. (1)求证：； (2)若，求证：. 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，D是边上一点，交于点E，，．求证： (1)； (2)． 知识点02 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系. 【即学即练2】 1．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在四边形中，已知平分，，的延长线交的延长线于F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型01 同位角相等，两直线平行 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线分别与相交于点，已知，判断与是否平行，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，直线与平行吗？为什么？ 题型02 内错角相等，两直线平行 【典例2】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知，，，与平行吗？ 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，点在上，．求证：． 【变式2】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在和中，点在同一直线上，且，．求证：． 题型03 同旁内角互补，两直线平行 【典例3】（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，在六边形中，． (1)求的度数； (2)当 度时，可使．试说明你的结论． 【变式1】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 题型04 垂直于同一直线的两直线平行 【典例4】（23-24九年级下·湖南娄底·期末）如图，已知，平分，于点，于点． (1)与平行吗？为什么？（用括号注明理由） (2)若，求的度数． 【变式1】（23-24七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知于于． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【变式2】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，已知、相交于点，，于点，于点，． (1)试说明； (2)判断与的关系，并加以说明． 题型05 利用平行线的性质求角度 【典例5】（23-24七年级下·广东惠州·期末）如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 【变式1】（2024七年级下·北京·专题练习）如图，，点E在线段的延长线上，，，则的度数是 ． 【变式2】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，已知直线交于点E，连接，，．若 与 互余， 与 互补，，则的度数为 ． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为 ． 题型06 平行线的判定与性质多结论题 【典例6】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【变式1】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，，，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 ．（填序号） 【变式2】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 【变式3】（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是 ．（填入所有正确的序号） 题型07 平行线的判定与性质综合问题 【典例7】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【变式2】（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接，，下列说法中正确的是（　　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 6．（23-24七年级下·广西防城港·阶段练习）如图，，，，那么 7．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，则添加以下条件中的一个条件之后，仍不能判定全等的条件是 ①  ②  ③  ④ 8．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论： ①；②；③；④； 其中正确的有 .（请填写序号） 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是边上一点，交于点，，，求证：． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）完成下面的解题过程，并在括号内填上依据： 如图，已知，，，试说明． 解：∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴ 即 ∴______ ∴ （____________） 11．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知点A在上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 12．（21-22七年级下·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 13．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求：扶手与靠背的夹角的度数． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、 上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求 的度数． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1， 直线， 点B， C分别在和上，，平分． (1)求证： ； (2)如图2， 于点 G， 求证：； (3)在 （2） 的条件下， 如图3，平分交于点H， 设， 请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平行线的判定与性质 课程标准 学习目标 ①掌握平行线的性质 ②掌握平行线的判定 1.了解并掌握平行线的判定和性质公理和定理； 2.能熟练运用平行线的判定和性质进行简单的推理证明. 知识点01 平行线的判定 1）判定方法一：同位角相等，两直线平行. 2）判定方法二：内错角相等，两直线平行. 3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行. 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2.（用共面知识可证明，此处不证） 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·广西梧州·期中）如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足. (1)求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，结合平角的定义得出，结合即可得证； （2）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出即，结合得出，从而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，D是边上一点，交于点E，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是 的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，即可得证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）证明∵， ∴， ∴． 知识点02 平行线的性质 1） 两直线平行，同位角相等; 2） 两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补. 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系. 【即学即练2】 1．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在四边形中，已知平分，，的延长线交的延长线于F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据角平分线的定义，结合已知证明，然后根据平行线的判定可得结论； （2）先根据平行线的性质求得，进而求得，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型01 同位角相等，两直线平行 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线分别与相交于点，已知，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，见解析 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，解题的关键是根据对顶角相等得出，进而根据，即可得证． 【详解】解：，理由如下： ，， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出，根据平行线的判定定理即可推出答案． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，直线与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】先根据对顶角相等得到，再根据平角的定义得到，再由平行线的判定即可得出结论． 【详解】解：理由如下： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知），（平角定义）， ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等、两直线平行）． 题型02 内错角相等，两直线平行 【典例2】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【详解】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，由推出，再利用直接证明，根据全等三角形的性质，得出，根据平行线的判定可以得出答案． 【详解】证明：， ∴ 即． 在和中， ， ， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在和中，点在同一直线上，且，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，是解决问题的关键． 证明，结合，，得到，得到，即得 ． 【详解】∵， ∴． 即． ∵，， ∴． ∴． ∴． 题型03 同旁内角互补，两直线平行 【典例3】（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，在六边形中，． (1)求的度数； (2)当 度时，可使．试说明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． （1）延长交的延长线于，根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据邻补角的定义求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】（1）如图，延长交的延长线于， ，， ， ， ， ； （2）当时，．理由如下： ，， ． ． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·广东广州·期末）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【变式2】（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【知识点】对顶角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 题型04 垂直于同一直线的两直线平行 【典例4】（23-24九年级下·湖南娄底·期末）如图，已知，平分，于点，于点． (1)与平行吗？为什么？（用括号注明理由） (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）根据同旁内角互补，两直线平行可得结论； （2）根据角平分线的定义得，由平行线的判定得，最后根据两直线平行，同位角相等可得结论； 熟悉平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （2）∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（23-24七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知于于． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】同旁内角互补两直线平行、根据平行线的性质求角的度数、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． （1）由可得，再根据同旁内角互补两直线平行即可解答； （2）由平行线的性质可得,再证明，最后根据两直线平行、同位角相等即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：，， ， ，， ， ． 【变式2】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，已知、相交于点，，于点，于点，． (1)试说明； (2)判断与的关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，，说明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线的定义理解、垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线的定义、垂直于同一条直线的两条直线平行，熟练运用全等三角形的判定与性质推理证明是解题的关键． （1）根据，得，根据于点，于点，得出，根据，推出，利用“”证明即可； （2）根据可得，根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，说明如下， ∵由（1）得， ∴， ∵于点，于点， ∴． 题型05 利用平行线的性质求角度 【典例5】（23-24七年级下·广东惠州·期末）如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 【答案】或度 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，即可． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2024七年级下·北京·专题练习）如图，，点E在线段的延长线上，，，则的度数是 ． 【答案】/67度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内互补，这是解题的关键． 根据平行线的性质求出，再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，已知直线交于点E，连接，，．若 与 互余， 与 互补，，则的度数为 ． 【答案】/90度 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，余角，补角等知识点，先由与互补得出，进而得出，由与互余得出，最后利用平角的定义即可得解，熟练掌握平行线的判定是解决此题的关键． 【详解】∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，则的度数为 ． 【答案】/121度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握准确计算是解题的关键． 根据，得，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 题型06 平行线的判定与性质多结论题 【典例6】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质、角平分线定义和垂直的定义求出，然后对各个结论进行判断即可．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴， ∴平分，， 故①④正确； ∵， ∴， 故②正确； 无法证明， 故答案为：①②③④． 【变式1】（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，，，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．根据平行线的性质得到，故①符合题意；，根据余角的性质得到，故②符合题意；根据角平分线的定义得到平分，故④符合题意；根据已知条件无法证明，故③不符合题意． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②符合题意； ∴， ∴平分，故④符合题意； ∵，要使，则， ∵平分，但不一定与相等， ∴无法证明，故③不符合题意． 故答案为：①②④． 【变式2】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、余角的定义、对顶角的性质等知识，根据内错角相等两直线平行即判断①，由角之间的相等关系得到，根据同位角相等两直线平行即判断②，根据余角的定义和对顶角相等得到，求出，即可判断③，根据两直线平行内错角相等即可判断④． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， ∴, ∴， 故②正确； ∵的余角比大． ∴， ∵， ∴， 解得 故③错误； ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④ 【变式3】（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是 ．（填入所有正确的序号） 【答案】①②④ 【知识点】折叠问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的判定与性质等知识；由及平行线的性质即可判定①；由折叠的性质即可判定②；由折叠性质及三角形①的结论即可判定③；由折叠性质及平行线性质即可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：在长方形中，， ∴； ， ， ； 故①正确； 由折叠知，， ； 由长方形性质得， 则， ， ； 故②正确； ， ，， 由折叠知，， ∴， 当时，， 否则； 故③错误； ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②④． 题型07 平行线的判定与性质综合问题 【典例7】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，．，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义， （1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据两直线平行，同位角相等，即可求出的大小． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出； （2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截， ，下列条件中可以判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示． 根据题意可知， ∵， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 3．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接，，下列说法中正确的是（　　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的证明，熟练掌握平行线的证明方法是解题的关键．根据“内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”一一判断即可． 【详解】A、由，可知，故A错误； B、由，可知，故B错误； C、由，可知，故C正确； D、由，可知，故D错误． 故选：C． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 6．（23-24七年级下·广西防城港·阶段练习）如图，，，，那么 【答案】/度 【知识点】根据平行线判定与性质证明、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键；由与的度数之和为180度，利用同旁内角互补两直线平行，判断出与平行，再利用两直线平行，同位角相等得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，则添加以下条件中的一个条件之后，仍不能判定全等的条件是 ①  ②  ③  ④ 【答案】② 【知识点】两直线平行内错角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了平行线的性质性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 由结合图形可推出，由，可得，根据全等三角形的全等定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 添加①，由可得； 添加②，由不能证明； 添加③，由可得； 添加④，由可得． 所以不能判断全等的条件是②． 故答案为：②． 8．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论： ①；②；③；④； 其中正确的有 .（请填写序号） 【答案】①④/④① 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用表示各个角度．根据平行线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， ， ， ， 即平分， ， 故①正确，②错误； ，， ， ， ， 故③错误； ， ， ，， ， ，即， 故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是边上一点，交于点，，，求证：． 【答案】答案见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形，由交于点，，，即可得,得出，即可得． 【详解】证明∶在和中， ，， 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）完成下面的解题过程，并在括号内填上依据： 如图，已知，，，试说明． 解：∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴______（_____________） ∵ （已知） ∴ 即 ∴______ ∴ （____________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，读懂推理过程是解题的关键；结合图形，读懂解题过程即可完成． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等)； ∵， ∴（等量代换)； ∵， ∴； 即； ∴； ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 11．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知点A在上，，，． (1)试说明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)7 【知识点】线段的和与差、内错角相等两直线平行、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ． 12．（21-22七年级下·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可； （2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 13．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求：扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、 上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合“同角的补角相等”求得，即可推出； （2）根据平行线的判定与性质证明，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： （已知）， 又（邻补角定义）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)110° 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）依据同位角相等，即可得到两直线平行； （2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出； （3）利用平行线的性质得出和的度数，依据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴． （2）.     理由：∵, ∴, ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解： ，， ， ． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图1， 直线， 点B， C分别在和上，，平分． (1)求证： ； (2)如图2， 于点 G， 求证：； (3)在 （2） 的条件下， 如图3，平分交于点H， 设， 请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义． （1）依据平行线的性质得到，，再根据平角得到，进而得到，即可得到； （2）依据，，可得，，进而得出，由角平分线可得，即可得到； （3）由（2）可得，，再由角平分线可得，得到，即可得到，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即； （3）由（2）可得，， ∴ ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$