专题提优1 二次函数中的最值问题（4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题提优1 二次函数中的最值问题 题型01 二次函数中的线段最值问题 1．如图，⊙A半径为1，圆心A（0，3），点B是⊙A上动点，点C在二次函数y＝x2﹣1图象上运动，则线段BC的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 2．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A′PD，则线段A′B的最小值是 　 　． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物边的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）直接写出A、B、C三点的坐标和△ABC的面积S△ABC； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标． 题型02 二次函数中的线段和差最值问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（3，0）和B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该二次函数的对称轴上有一点M，使BM+CM的长度最短，求出M的坐标． 题型03 二次函数中的周长最值问题 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D． （1）求二次函数解析式； （2）求出顶点坐标和点D的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使△BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如题，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）点D为抛物线的对称轴上一动点，当△ACD周长最小时，求点D的坐标． 题型04 二次函数中的面积最值问题 1．如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园．如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，设平行于墙一边CD长为x m． （1）当苗圃园的面积为60m2时，求x的值． （2）当x为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？ 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣8ax+10a﹣1（a＜0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），其中（0＜x2＜x1），且AB＝4，与y轴的交点为C，直线CD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作直线l⊥x轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜t≤8时，求当△APC面积最大值时直线AP的解析式． 提优练习 1．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过AB，M是抛物线第一象限内一点，过点M作MN∥x轴交直线l于点N，则MN的最大值为 　 　． 3．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为AB的中点，以C为圆心，AC长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接DE，取DE的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段AF的最小值为 　 　． 4．已知二次函数y＝x2﹣mx﹣2（m为常数）的图象与x轴的公共点为A（x1，0），B（x2，0）． （1）当x1＝1时，求x2的值； （2）当﹣1＜x1＜1，且x1≠0时，求m的取值范围； （3）线段AB长的最小值为 　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为（3，0），则t＝　 　； ②求t的取值范围； ③求OD•DB的最大值． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使△PAC的周长最小，求△PAC的周长的最小值及此时点P的坐标； （3）若M（m，n）为抛物线在第一象限的一动点，则m+n最大值＝　 　． 7．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式； （2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由； （3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值． 8．【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是（﹣1，0）、（m，0）、（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c 经过A、B、C，点D坐标是（0，﹣2），点P是抛物线上位于x轴上方一点． 【特殊化探究】 （1）若m＝3， ①求a、b、c的值； ②求△ADP面积的最大值． 【一般化思考】 （2）①对于每一个正数m，△ADP面积都存在最大值，试用含m的代数式表示△ADP最大面积S； ②在①的条件下，试探究：△ADP的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN； （3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值． 10．如图1，抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式； （3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m（﹣3＜m＜﹣1），点F的横坐标为m+1．过点D作x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N． ①如图2，连接DF，求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优1 二次函数中的最值问题 题型01 二次函数中的线段最值问题 1．如图，⊙A半径为1，圆心A（0，3），点B是⊙A上动点，点C在二次函数y＝x2﹣1图象上运动，则线段BC的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【分析】设出点C坐标，求出AC长度的最小值，就能求出BC长的最小值． 【解答】解：设点C（m，m2﹣1）， ∵A（0，3）， ∴AC2＝（m﹣0）2+（m2﹣1﹣3）2 ＝m4﹣7m2+16 ＝（m2）2， ∵a＝1＞0， ∴AC2有最小值为， ∴AC最小值为， ∵⊙A半径为1， ∴BC的最小值为1． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象及性质的应用，两点间线段长的求法是解题关键． 2．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A′PD，则线段A′B的最小值是 　　． 【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，C坐标，从而得出OA＝2，OB＝3，OC＝6，再根据勾股定理求出AC的长度，然后根据翻折的性质得出A′在以D为圆心，PA为半径的圆弧上运动，当D，A′，B在同一直线上时，BA′最小，即可求解． 【解答】解：令y＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（3，0），B（﹣1，0）， ∴OA＝3，OB＝1， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∴AC＝3， ∵D为AC中点， ∴DA＝DC， ∵△A'PD由△APD沿DP折叠所得， ∴DA＝DA′， ∴A′在以D为圆心，DA为半径的圆弧上运动， ∴当D，A′，B在同一直线上时，BA′最小， ∵点D是线段AC的中点，则点D（，）， 则BD， 则BA′最小值＝BD﹣AD， 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出A，B，C的坐标． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物边的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）求抛物线所对应的函数解析式； （2）若点M是第一象限的抛物线上的点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求线段MN的最大值． 【分析】（1）把B点和C点坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c得b、c的方程组，然后解方程组得到抛物线解析式； （2）设M（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则N（t，﹣t+3），所以MN＝﹣t2+3t，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设M（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3）， ∵MN∥y轴， ∴N（t，﹣t+3）， ∴MN＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t， ∵MN＝﹣（t）2， ∴当t时，MN有最大值，最大值为． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）直接写出A、B、C三点的坐标和△ABC的面积S△ABC； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标． 【分析】（1）在抛物线解析式中，令x＝0可求得点C坐标，令y＝0则可求得A、B的坐标，再求△ABC的面积即可； （2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则可表示出点M坐标，则可求得PM的长，配方后可解答． 【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∴； （2）设BC的表达式为y＝kx+b， 把点B的坐标（3，0）和C的坐标（0，3）代入得：， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 设点P的坐标为（t，﹣t+3），则点M的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴， ∴时，PM最大， 此时点M的坐标为． 【点评】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数与坐标轴的交点，三角形的面积，二次函数的最值等知识．本题考查知识点较多，难度适中． 题型02 二次函数中的线段和差最值问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用将军饮马模型解答即可． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）． 令y＝0，则x＝4， ∴B（4，0）． ∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A（﹣1，0）， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短．点P的坐标为（，），理由： ∵y＝﹣x2+3x+4， ∴抛物线y＝﹣x2+3x+4的对称轴为直线x． 设抛物线的对称轴与直线BC交于点P， ∵直线x为AB的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∴PA+PC＝PB+PC＝BC， ∴此时点P使得PA+PC的长度最短． 令x，则y4． ∴在抛物线的对称轴上存在点P使得PA+PC的长度最短，点P的坐标为（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，函数的极值，理由点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 2．如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）求△ABC的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得； （2）先求出A、B、C，即可△ABC的面积； （3）先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM+DM＝BM+D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M 在一条直线上时，BM+D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，9）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+9， ∵抛物线经过点D（3，8）， ∴（3﹣2）2•a+9＝8，解得a＝﹣1， ∴抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5； （2）当y＝0时，有﹣（x﹣2）2+9＝0， 解得x＝5或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（5，0）， ∴AB＝5+1＝6， 当x＝0时，有﹣x2+4x+5＝5， ∴C（0，5）， ∴OC＝5， ∴△ABC的面积•AB•OC5×6＝15； （3）存在，理由如下： ∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+9的对称轴为直线x＝2， ∴点D（3，8）关于对称轴x＝2对称的点的坐标为D'（1，8）， 由对称性得：DM＝D'M， 则BM+DM＝BM+D'M， 由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM+DM最短， 设直线BD'的函数解析式为y＝kx+b， 把（5，0），（1，8）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝﹣2x+10， 取x＝2，则﹣2×2+10＝6， ∴M（2，6）． 【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 3．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（3，0）和B（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求该二次函数的解析式； （2）若在该二次函数的对称轴上有一点M，使BM+CM的长度最短，求出M的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即得二次函数的关系式为yx2x+4； （2）由yx2x+4（x﹣1）2，得抛物线的对称轴是直线x＝1，与y轴交点C（0，4），根据点B关于直线x＝1的对称点是A，可知AC与对称轴的交点即为点M，使BM+CM的长度最短，用待定系数法得直线AC的解析式为yx+4，即得M（1，）． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（3，0），B（﹣1，0）， ∴，解得， ∴二次函数的关系式为yx2x+4； （2）∵yx2x+4（x﹣1）2， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1，与y轴交点C（0，4）， ∵点B关于直线x＝1的对称点是A， ∴AC与对称轴的交点即为点M，使BM+CM的长度最短，如图： 设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（3，0），C（0，4）代入得： ，解得 ∴直线AC的解析式为yx+4， 当x＝1时，y1+4， ∴M（1，）． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、“将军饮马”模型． 题型03 二次函数中的周长最值问题 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1； （2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称． 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）． ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC3，同理可得：AN， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3． ∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3； 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，有一定的综合性，难度适中． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D． （1）求二次函数解析式； （2）求出顶点坐标和点D的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使△BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标A（﹣3，0）和B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将点C（0，3）代入求得a的值，即可得到答案； （2）由y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，得到点D的坐标； （3）要使△BCM的周长最小，只需MB+MC最小即可，点A和B关于直线x＝﹣1对称，连接AC交直线x＝﹣1于点M，求出直线AC的解析式，求得交点M的坐标即可． 【解答】解：（1）由抛物线与x轴的交点坐标A（﹣3，0）和B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3． （2）∵y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点坐标为（﹣1，4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴点C（0，3）关于对称轴的对称点D的坐标为（﹣2，3）； （3）存在，要使△BCM的周长最小，只需MB+MC最小即可， ∵点A和B关于直线x＝﹣1对称，连接AC交直线x＝﹣1于点M， ∴MB＝MA， 则MB+MC＝MA+MC≥AC， ∴点M满足题意， 设直线AC的解析式为y＝kx+m，把点A（﹣3，0）和C（0，3）代入得， 则， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设点M的坐标是M（﹣1，n）， 则n＝﹣1+3＝2， 即点M（﹣1，2）为所求． 【点评】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．如题，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）点D为抛物线的对称轴上一动点，当△ACD周长最小时，求点D的坐标． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交对称轴于点D，连接AD，此时AD+CD最小，得出直线BC的解析式为，当时，，得出即可求解． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（4，0）分别代入y＝ax2+bx+2，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵A（﹣1，0），B（4，0）， ∴对称轴为直线， 点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交对称轴于点D，连接AD，如图1，此时AD+CD最小， 当x＝0时，y＝2， ∴点C（0，2）． 设直线BC的解析式为y＝kx+2，代入B（4，0）得4k+2＝0， ∴， ∴直线BC的解析式为， 当时，， ∴点． 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题，解题的关键是求出二次函数解析式． 题型04 二次函数中的面积最值问题 1．如图，学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙AB和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园．如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ACDF围成，设平行于墙一边CD长为x m． （1）当苗圃园的面积为60m2时，求x的值． （2）当x为何值时，所围苗圃园的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）用含x的式子表示CA，根据“苗圃园的面积为60m2”，即可求出x的值； （2）设苗圃园的面积为S m2，根据面积公式可得到二次函数，通过二次函数的性质即可求出最值． 【解答】解：（1）∵篱笆的总长为26m，平行于墙一边CD长为x m， ∴垂直于墙一边CA长为（17﹣x）m， 根据题意得，（17﹣x）x＝60， 整理得x2﹣17x+60＝0， 解得x1＝5（不符合题意，舍去），x2＝12， 答：x的值为12； （2）设苗圃园的面积为S m2， S＝（17﹣x）x＝﹣x2+17x， 当x＝8.5m时，S最大＝72.25m2， 答：当x的值为8.5m时，所围苗圃园的面积最大，最大面积是72.25m2． 【点评】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，面积问题，二次函数的最值问题，本题的关键是利用含x的式子表示线段长度，列出二次函数解题． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标； 【分析】（1）分别将A（﹣1，0），D（5，﹣6）代入抛物线解析式与直线l的解析式，即可得解； （2）过点P作PQ⊥x轴，交直线l于点Q，设点P（t，﹣t2+3t+4），则点Q（t，﹣t﹣1），得到PQ＝﹣t2+4t+5，，结合﹣1＜t＜5，当t＝2时，S△PAD取最大值，求得P（2，6）． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），D（5，﹣6）代入直线l：y＝kx+n得： ， 解得：， 故直线l的解析式为：y＝﹣x﹣1； 将A（﹣1，0），D（5，﹣6）代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4； （2）如图1，过点P作PQ⊥x轴，交直线l于点Q， 由题意设点P（t，﹣t2+3t+4），则点Q（t，﹣t﹣1）， ∴PQ＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+4t+5， ∴， ∵﹣1＜t＜5， ∴当t＝2时，S△PAD取最大值27， 此时P（2，6）； 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣8ax+10a﹣1（a＜0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），其中（0＜x2＜x1），且AB＝4，与y轴的交点为C，直线CD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作直线l⊥x轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜t≤8时，求当△APC面积最大值时直线AP的解析式． 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由AB＝4得到x1﹣x2＝4，联立方程组求解得到A（6，0），B（2，0），利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到A（6，0），C（0，﹣6），求出直线AC：y＝x﹣6，根据在x轴上有一动点E（t，0），过点E作直线l⊥x轴，与抛物线的交点为P，分二种情况：①当E在OA之间时；②当E在A点右侧时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线AP的解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣8ax+10a﹣1（a＜0）， ∴对称轴为， ∵抛物线y＝ax2﹣8ax+10a﹣1（a＜0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），其中（0＜x2＜x1），且AB＝4， ∴x1﹣x2＝4，，则， 解得， ∴A（6，0），B（2，0）， 将B（2，0）代入得4a﹣16a+10a﹣1＝0， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）由得：C（0，﹣6）， ∴设直线AC：y＝kx+b，将A（6，0），C（0，﹣6）代入得： ， 解得， ∴直线AC：y＝x﹣6， ∵在x轴上有一动点E（t，0），过点E作直线l⊥x轴，与抛物线、直线AC的交点分别为P、F，根据0＜t≤8，A（6，0），分二种情况讨论： 当E在OA之间时，如图1： ∴，F（t，t﹣6）， ∴ ， ∵，0＜t≤6， ∴抛物线开口向下，当t＝3时，S△APC有最大值，最大值为； 当E在A点右侧时，过P作PF∥x轴，如图2： ∴，， ∴ ， ∵，对称轴为t＝3，6＜t≤8， ∴抛物线开口向上，则当6＜t≤8时，S△APC随着t的增大而增大，即当t＝8时，S△APC有最大值，最大值为24； ∵， ∴当t＝8时，△APC面积有最大值，为24； 此时，， 此时，P（8，﹣6）， 设直线AP的解析式为：y＝mx+n，把点A，点P的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线AP的解析式为y＝﹣3x+18． 【点评】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题，解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键． 提优练习 1．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4﹣x， ∴AF＝2（4﹣x）， ∵S△APFAF•PM， ∴S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过AB，M是抛物线第一象限内一点，过点M作MN∥x轴交直线l于点N，则MN的最大值为 　4　． 【分析】先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线AB的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【解答】解：当y＝0时，x＝4或﹣1， ∴点B的坐标为（4，0）， 点A的坐标为（0，4）， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4， 设点M的坐标为（a，﹣a2+3a+4）， ∵MN∥x轴U yN＝yM ∴﹣x+4＝﹣a2+3a+4 ∴xN＝a2﹣3a ∴点N的坐标为（a2﹣3a，﹣a2+3a+4）， ∵点M在第一象限， ∴线段MN＝a﹣（a2﹣3a）＝﹣a2+4a， 当a时，MN有最大值为4． 故答案为：4． 【点评】本题是二次函数中典型的求最值问题，根据题意建立函数模型是解题的关键． 3．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为AB的中点，以C为圆心，AC长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接DE，取DE的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段AF的最小值为 　21　． 【分析】由题意可知E点在以C为圆心，2为半径的半圆上，则F点在以G（1，﹣2）为圆心，1为半径的半圆上，AF的最小值为AG﹣1，求出AG即可求解． 【解答】解：连接AD、AE， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点D（1，﹣4）， ∴AD的中点为H（0，﹣2）， 连接HF， ∵F是DE的中点， ∴HF∥AE，HFAE， ∵AB＝4，C（1，0）， ∴E点在以C为圆心，2为半径的半圆上， ∴F点在以G（1，﹣2）为圆心，1为半径的半圆上， ∴AG＝2， ∴AF的最小值为21， 故答案为：21． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定F点的运动轨迹是解题的关键． 4．已知二次函数y＝x2﹣mx﹣2（m为常数）的图象与x轴的公共点为A（x1，0），B（x2，0）． （1）当x1＝1时，求x2的值； （2）当﹣1＜x1＜1，且x1≠0时，求m的取值范围； （3）线段AB长的最小值为 　2　． 【分析】（1）利用根与系数的关系即可求得x2的值； （2）求得当x1＝﹣1和x＝1时m的值，即可得到当﹣1＜x1＜1，且x1≠0时，求m的取值范围； （3）利用函数与方程的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝﹣2，然后根据AB＝|x1﹣x2|，求得AB长的最小值为2． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣mx﹣2（m为常数）的图象与x轴的公共点为A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1，x2是方程x2﹣mx﹣2＝0的两根， ∴x1x2＝﹣2， ∵x1＝1， ∴x2＝﹣2； （2）当x1＝﹣1时，则A（﹣1，0）， 把A的坐标代入y＝x2﹣mx﹣2得，1+m﹣2＝0， ∴m＝1， 当x1＝1时，则A（1，0）， 把A的坐标代入y＝x2﹣mx﹣2得，1﹣m﹣2＝0， ∴m＝﹣1， ∴当﹣1＜x1＜1，且x1≠0时，m的取值范围是m＜﹣1或m＞1； （3）∵二次函数y＝x2﹣mx﹣2（m为常数）的图象与x轴的公共点为A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1，x2是方程x2﹣mx﹣2＝0的两根， ∴x1+x2＝m，x1x2＝﹣2， ∴AB＝|x1﹣x2|， ∴m＝0时，AB有最小值2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为（3，0），则t＝　6　； ②求t的取值范围； ③求OD•DB的最大值． 【分析】（1）根据顶点式可直接得出点C的坐标；令y＝0，解方程，可得出点A，B的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线x，再根据点C，M的坐标可得出C，M关于对称轴对称，由此可得出t的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0），再由对称性可知，D（t﹣3，0），由点D在线段OB上，且与端点不重合，可得，即3＜t＜7，而当t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，由此可得3＜t＜7且t≠4； ③OD•DB＝（t﹣3）•（7﹣t）＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4，根据二次函数的性质可得结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y（x﹣1）2+4的图象的顶点为C， ∴C（1，4）； 令y（x﹣1）2+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）； （2）①由题知，该函数过点B（4，0），C（1，4），D（3，0）， ∴函数的解析式为：y′＝a（x﹣4）（x﹣3）， ∴函数的对称轴为直线x， ∵C（1，4），M（t，4）， ∴点C，M关于对称轴对称， ∴， ∴t＝6， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c， 将M（t，4），C（1，4）两点代入，得， ∴a（t2﹣1）+b（t﹣1）＝0， ∵t≠1， ∴， ∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0）， ∵B，D两点关于对称轴对称，点B（4，0）， ∴D（t﹣3，0）， ∵点D在线段OB上，且与端点不重合， ∴，即3＜t＜7， ∵t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在， ∴3＜t＜7且t≠4； ③∵OD＝t﹣3，DB＝7﹣t， ∴OD•DB＝（t﹣3）•（7﹣t）． ∴OD•DB＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4， ∵3＜t＜7且t≠4， ∴t＝5时，OD•DB有最大值，最大值为4． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使△PAC的周长最小，求△PAC的周长的最小值及此时点P的坐标； （3）若M（m，n）为抛物线在第一象限的一动点，则m+n最大值＝　　． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图1中，连接BC与对称轴交于点P，此时△PAC的周长最小．求出直线BC的解析式即可解决问题； （3）M（m，n）为抛物线在第一象限的一动点，则n＝﹣m2+2m+3，m+n＝﹣（m）2，依据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 连接BC交对称轴于点P，此时，PA+PC取得最小值，最小值为PB的长， 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴，， ∴△PAC的周长的最小值为， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， 则0＝3k+3， 解得k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝﹣1+3＝2， ∴点P的坐标为（1，2）； （3）∵M（m，n）为抛物线在第一象限的一动点， ∴n＝﹣m2+2m+3， ∴m+n＝﹣m2+3m+3＝﹣（m）2， 当m时取最大值， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题． 7．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式； （2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由； （3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法将B点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx中，即可求解． （2）作辅助线，根据题意，求出PD的长，PD＝OC，PD∥OC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． （3）作出图，证明△CBP≌△MOQ（SAS），CP+BQ的最小值为MB，根据勾股定理求出MB即可解答． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx过点B（4，﹣4）， ∴﹣16+4b＝﹣4， ∴b＝3， ∴y＝﹣x2+3x． 答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x． （2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下： 如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD， ∵点P在y＝﹣x上， ∴OH＝PH，∠POH＝45°， 连接BC， ∵OC＝BC＝4， ∴． ∴， ∴， ∴， 当xD＝2时，DH＝yD＝﹣4+3×2＝2， ∴PD＝DH+PH＝2+2＝4， ∵C（0，﹣4）， ∴OC＝4， ∴PD＝OC， ∵OC⊥x轴，PD⊥x轴， ∴PD∥OC， ∴四边形OCPD是平行四边形． （3）如图2，由题意得，BP＝OQ，连接BC， 在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC， ∵OC＝BC＝4，BC⊥OC， ∴∠CBP＝45°， ∴∠CBP＝∠MOQ， ∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM， ∴△CBP≌△MOQ（SAS）， ∴CP＝MQ， ∴CP+BQ＝MQ+BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短）， ∴CP+BQ的最小值为MB， ∵∠MOB＝∠MOQ+∠BOQ＝45°+45°＝90°， ∴， 即CP+BQ的最小值为4． 答：CP+BQ的最小值为4． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．【问题背景】 在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是（﹣1，0）、（m，0）、（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c 经过A、B、C，点D坐标是（0，﹣2），点P是抛物线上位于x轴上方一点． 【特殊化探究】 （1）若m＝3， ①求a、b、c的值； ②求△ADP面积的最大值． 【一般化思考】 （2）①对于每一个正数m，△ADP面积都存在最大值，试用含m的代数式表示△ADP最大面积S； ②在①的条件下，试探究：△ADP的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值：若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①用待定系数法求函数的解析式即可； ②求出直线DP与x轴的交点为（，0），则S△ADP（t﹣2）2，当t＝2时，△ADP面积的最大值为； （2）①先求抛物线的解析式为yx2+（3）x+3，设P（t，t2+（3）t+3），再求直线PD与x轴的交点为（，0），则S△APD（t）2m，当t时，△APD的面积有最大值，即Sm； ②由Sm，可求S的最小值为． 【解答】解（1）①∵m＝3， ∴B（3，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， ∴﹣3a＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴a＝﹣1，b＝2，c＝3； ②设直线DP的解析式为y＝kx﹣2，P（t，﹣t2+2t+3）， ∴kt﹣2＝﹣t2+2t+3， 解得k， ∴yx﹣2， ∴直线DP与x轴的交点为（，0）， ∴S△ADP（1）（﹣t2+2t+3+2）（t﹣2）2， ∵0＜t＜3， ∴当t＝2时，△ADP面积的最大值为； （2）①设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m）， ∴﹣am＝3， 解得a， ∴抛物线的解析式为yx2+（3）x+3， 设P（t，t2+（3）t+3）， 设直线PD的解析式为y＝k'x﹣2， ∴k't﹣2t2+（3）t+3， 解得k'， ∴直线PD的解析式为yx﹣2， ∴直线PD与x轴的交点为（，0）， ∴S△APD（1）[t2+（3）t+3+2]（t）2m， ∵﹣1＜t＜m， 当t时，△APD的面积有最大值，即Sm； ②△ADP的最大面积S存在最小值，理由如下： ∵m2m（m）2≥0， ∴Sm， 此时m，解得m， ∴S的最小值为． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN； （3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接CN，根据题意，求得M（﹣1，a﹣2），N（1，a），进而求出CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，利用勾股定理求出，求出，从而得到∠NDM＝∠NMD，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3，求出当a＝1时，x2＝1﹣b≥3，得到点G在H的上方，设GH＝t，故t＝﹣m2+（1﹣b）m，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点， ∴分别将 A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）证明：连接CN，如图， ∵b＝1， ∴y＝ax2+x﹣1， 当x＝﹣1时，y＝a﹣2， ∴M（﹣1，a﹣2）， 当x＝1时，y＝a， ∴N（1，a）， ∵C（﹣1，a），N（1，a）， ∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN， 在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2， ∴， ∵， ∴DN＝MN， ∴∠NDM＝∠NMD， ∵DN∥CM， ∴∠NDM＝∠CMD， ∴∠NMD＝∠CMD， ∴MD平分∠CMN． （3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3， 当a＝1时，y＝x2+bx﹣1， ∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线， 令x2+bx﹣1＝x﹣1， 解得x1＝0，x2＝1﹣b． ∵b≤﹣2， ∴x2＝1﹣b≥3， 点G在H的上方，如图， 设GH＝t，则t＝﹣m2+（1﹣b）m， 其对称轴为，且， ①当时，即﹣5≤b≤﹣2， 由图可知， 当时，t取得最大值， 解得b＝﹣3或b＝5（舍去）， ②当时，得b＜﹣5， 由图可知， 当m＝3时，t取得最大值﹣9+3﹣3b＝4， 解得（舍去）， 综上所述，b的值为﹣3． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 10．如图1，抛物线y＝x2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式； （3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m（﹣3＜m＜﹣1），点F的横坐标为m+1．过点D作x轴的垂线交直线AC于点M，过点F作x轴的垂线交直线AC于点N． ①如图2，连接DF，求四边形DFNM面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由题意知，C（0，﹣3），将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，计算求解b，c的值，进而可得解析式； （2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，①当BM∥AC时，A（﹣3，0），待定系数法求直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，则直线BM的解析式为y＝﹣x+d，待定系数法求解即可；②当BM过A、C中点时，由题意知，A、C中点坐标为，设直线BM的解析式为y＝ex+f，待定系数法求解即可； （3）①由题意知，D（m，m2+2m﹣3），M（m，﹣m﹣3），F（m+1，（m+1）2+2（m+1）﹣3），N（m+1，﹣（m+1）﹣3），则DM＝﹣m2﹣3m，FN＝﹣（m+1）2﹣3（m+1），则，根据二次函数的性质求最值，然后求D点坐标即可； ②由题意知，2，然后作答即可． 【解答】解：（1）由题意知，OC＝3OB＝3， ∴C（0，﹣3）， 将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等， ①当BM∥AC时， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， 解得：x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 设直线BM的解析式为y＝﹣x+d， 将B（1，0）代入得：﹣1+d＝0， 解得：d＝1， ∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1； ②当BM过A、C中点时， 由题意知，A、C中点坐标为， 设直线BM的解析式为y＝ex+f， 将，B（1，0）代入得： ， 解得：， ∴直线BM的解析式为， 综上所述，直线BM的解析式为y＝﹣x+1或； （3）①由题意知，D（m，m2+2m﹣3），M（m，﹣m﹣3），F（m+1，（m+1）2+2（m+1）﹣3），N（m+1，﹣（m+1）﹣3）， ∴DM＝﹣m2﹣3m，FN＝﹣（m+1）2﹣3（m+1）， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当m＝﹣2时，四边形DFNM的面积最大，最大值为2， ∴D（﹣2，﹣3）； ②△ADM与△CFN的面积之和为定值；理由如下： 由题意知， ＝2， ∴△ADM与△CFN的面积之和是定值，且定值为2． 【点评】本题考查了待定系数法解二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$