2025年中考数学几何专题 讲义—一线三等角问题

一线三等角问题（一） ◆ 中考方向 一线三等角问题主要体现在选择、填空压轴题及解答题，在等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、矩形、正方形中尤其常见，涉及到证明和计算． ◆ 一线三等角的图形结构 一线三等角（也叫K型全等或K型相似）是一个常见的模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角，如下图．一般是相似问题，当对应边相等时就变成全等问题．全等问题比较简单，本专题主要讲述相似问题． 同侧 异侧 C D A B P A B P A B P C D D C 锐角 直角 钝角 D D D P P P A B C B A A C C B 锐角 直角 钝角 当中间的三角形与左右两个三角形相似时，有两种情况，一种是中点型，另一种是平行型，如下图． C A B P D C C A B P A B P D D C D A B P A B P A B P C D C D 锐角 直角 钝角 锐角 直角 钝角 ◆ 一线三等角的解题策略 1．如果图中有一线三等角，那么先推导相似，再进行证明和计算． 2．如果图中只有一线两等角或一个角，那么先作辅助线构造一线三等角，推导相似，再进行证明和计算． 【题型1】求线段长 1．如图，等边△ABC的边长为3，点D是BC边上一点，BD＝1，点E是AC边上一点，∠ADE＝60°，则线段AE的长为（ ）A B C D E A． B． C． D． 2．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点，点E是AC边上一点，∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝3，则AB的长为___________．A E B C D 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB的中点，点E在AB边上，点F在CA的延长线上，∠EDF＝45°，DF交AB于G，若BE＝4，CF＝18，则EG的长为___________． F A B C D E G 4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝7，点P是AD边上一点，∠BPC＝120°，则AP的长为___________． A D B C 5．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，点D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝∠B，若S△DEF ＝ S△ABC，则EF的长为___________．A B C D E F 6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝1，CD＝4，若在线段BC上恰好存在两个点P，使得△ABP与△PCD相似，则BC的长为___________．A B C D P 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是BC边上的动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC交AC于F，连接EF． （1）当△PEF为直角三角形时，求BP的长；A B C P E F （2）当△PEF为等腰三角形时，求BP的长． 8．在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，动点D从A点出发以每秒个单位长度的速度向B点匀速运动，同时动点E从B点出发以每秒4个单位长度的速度向C点匀速运动，在DE的右侧作∠DEF＝∠B，交CA的延长线于点F，设运动时间为t秒，当△ADF为等腰三角形时，求t的值． A E B C D F 【题型2】求线段比值 如图，D是等边△ABC的边BC上的点，BD＝2，CD＝4，将△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在边AB、AC上，则 ＝___________．A B C D E F 【题型3】求面积 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，∠EDF＝45°，若AE＝3，AF＝4，则△DEF的面积为___________．A B C D E F 【题型4】求线段最值 先通过一线三等角相似用含有一条动线段长度的式子表示出待求线段，这个式子一般都是含有二次的多项式或分式，将问题转化为求二次函数的最值，可通过配方求出最值，对于比较复杂的方式，可以先换元，再配方求出最值． 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上的动点，EF⊥AE交CD于点F，则CF长度的最大值为___________．A D B C E F 2．如图，在等边△ABC中，点D是BC边上的动点，点E在AC边上，∠ADE＝60°，若线段CE长的最大值为 ，则AB的长为___________．A B C D E 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是BC边上的动点，DE⊥AD交AC于点E，则线段CE长的最大值为___________．A B C D E 4． 如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E、F分别是边AD、CD上的动点，A D E F B C ∠BEF＝120°，则线段DF长度的最大值为___________． 【学习评估】 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，点E是AD边上的一个动点，EF⊥BE交射线DC于点F，连接BF，当△ABE、△DEF、△EBF这三个三角形都相似时，AE的长为___________．A D E C B F 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上，∠ADE＝30°，若BD＝2，CE＝3，则BC的长为___________． A B D C E 3．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，∠EAF＝∠CEF＝45°，若AB＝25，BC＝32，则EF＝___________．A D B E C F 4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝9，若在线段BC上恰好存在两个点P，使得△ABP与△PCD相似，则BC的长为___________．A B P C D 5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，连接DE，以D为顶点在DE右侧作∠EDF＝∠B，射线DF交CA的延长线于点F，连接EF，当△AEF是等腰三角形时，BE的长为___________．A D B C E F 一线三等角问题（二） 【题型5】在二次函数中求与角度有关的点的坐标 这类问题往往只给出一个角，比较隐蔽，此时我们需要添加辅助线来构造一线三等角，从而解决问题． 一般是在已知角的顶点处构造一线三等角，对于斜向交叉角，可以作平行线将角转移到易求的三角形中．若出现45°角，就要构造等腰直角三角形．有时要注意分类讨论，不要漏解． 1．如图，抛物线y＝－ x 2＋2x＋ 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一点，∠BPC＝90°，求点P的坐标．C x B A O P y 2．如图，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点F是BD上方抛物线上一点，CF交BD于点E，且∠BEF＝45°，求点F的坐标． y C F x B A O D E 3．已知抛物线y＝ x 2－2的顶点为P，点A是y轴右侧抛物线上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接PB，若∠APB＝45°，求点A的坐标．x y O P 【题型6】一线三等角的综合型问题 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC上的动点，∠EDF＝45°，连接EF． （1）求证：△DEF∽△BED；A D B C E F （2）当∠EFD＝60°时，求AE的长． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD，CF＝CD． （1）求证：∠EDF＝∠B；A E F B C D （2）若tanB＝ ，AE＝ ，AF＝ ，求△DEF的面积． 3．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上一动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF交CD于点M，EF交CD于点N，连接EM． （1）若点E是BC的中点，求CN的长；A D B C E M N F （2）若tan∠MEN＝ ，求 的值； （3）点E在运动过程中，EM的长能否为1？请说明理由． 4．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝ ，点D为BC边上的动点（点D不与点B、C重合），以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．A B C D F E 图1 A B C D F E 图2 5．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AC＝20，BC＝35，D是AB上一点，AD＝20，点E、F在BC上（F在E右侧），∠EDF＝∠B． （1）求AB的长；A B C D E F A B C D 备用图 （2）当AF＝DF时，求BF的长； （3）当△ADF与△BDE相似时，求EF的长． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边中点，∠EDF＝∠B，DE与射线BA相交于点E，DF与边AC相交于点F，连接EF． （1）求证：△BDE∽△CFD； （2）若DE⊥AC，且DF＝EF，求∠BAC的度数； （3）若AB＝AC＝5，sinB＝ ，当点E在BA的延长线上，且△AEF是等腰三角形时，求BE的长． A B E C D F A B C D 备用图 【学习评估】 1．在平面直角坐标系xOy中，无论m取何值，抛物线y＝－x 2＋mx－2m都经过定点A． （1）求点A的坐标； （2）点B的坐标为（1，0），抛物线的顶点为P，若∠BAP＝45°，求m的值． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．A B C D E （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）求CE的最大值； （3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 3．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ； （3）在（2）的条件下，射线EF与线段AB相交于点G，若BP＝3，AQ＝12，求PG的长． A B C D E F Q P G 图② D F B C E P Q 图① A 4．在正方形ABCD中，点P是CD边上一点，点E在AP的延长线上，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接DE、EF． （1）如图1，若EF恰好经过点B，求证：DE⊥EF； （2）如图2，若EF恰好经过点C．A D B C E F P A D B C P E F 图1 图2 ①当CF＝2CE时，求 的值； ②求证：DE＝AD． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一线三等角问题（一） 【题型1】求线段长 1．C 2．16 3．5F A B C D E G H 提示：连接EF，作DH⊥AB于H可证△BED∽△CDF，∴ ＝ ∴ ＝ ，∴BD＝6，∴AH＝BH＝DH＝6，BC＝12 ∴AB＝AC＝12，∴AF＝18－12＝6 ∴AF＝DH，∴△AFG≌△HDG ∴AG＝GH＝ AH＝3，∴EG＝12－4－3＝5 4．1或4提示：在AD上截取DE＝DC，连接CE ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，DC＝AB＝2，AD＝BC＝7，∠D＝∠ABC＝60° ∴∠APB＋∠ABP＝60°，∠A＝120°，△CDE是等边三角形 ∴EC＝DC＝2，∠CED＝60°∴AE＝5，∠PEC＝120°A D P E B C ∵∠BPC＝120°，∴∠APB＋∠CPD＝60° ∴∠ABP＝∠CPD，∴△ABP∽△EPC ∴ ＝ ，∴ ＝ 解得AP＝1或4 5．2提示：连接AD，作DG⊥AB于G，DH⊥EF于H ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∵∠EDF＝∠B，∴∠EDF＝∠C ∴∠BDE＝180°－∠EDF－∠CDF＝180°－∠C－∠CDF＝∠CFD ∴△BED∽△CDF，∴ ＝ A B C D E F G H ∵BD＝CD，∴ ＝ ，∴△CDF∽△DEF ∴△BED∽△DEF，∴∠BED＝∠DEF，∴DG＝DH ∵S△DEF ＝ S△ABC ＝ S△ABD，∴EF＝ AB＝2 6．4或5提示：设BC＝a，BP＝x ①若△ABP∽△DCP，则 ＝ ，解得x＝ 不论a为何值，上式在0＜x＜a的范围内，总存在唯一一个x值 即在BC边上总存在一个满足条件的点P ②若△ABP∽△PCD，则 ＝ 即x 2－ax＋4＝0 当判别式△＝0，即a 2－16＝0，a＝4时，在BC边上存在一个满足条件的点P 若x＝ 是方程x 2－ax＋4＝0两个不等根的一个根时，在BC边上恰好存在两个满足条件的点P ∴( )2－a· ＋4＝0，解得a＝5 综上所述，a＝4或5A B C P E G F 7．（1）由题意，∠EPF＝90°－∠BPE＝∠B≠90°若∠EFP＝90°，则EF∥BC ∵AB＝AC，∴BE＝CF 作AG⊥BC于G，则BG＝CG＝ BC＝3 ∴AG＝＝ ＝4可证△PBE∽△FCP∽△ABG ∴BP＝ BE，PC＝ CF＝ BEA B C P E G F ∵BP＋PC＝BC，∴ BE＋ BE＝6 解得BE＝ ，∴BP＝ BE＝ 若∠FEP＝90°，则△FPE∽△FCP∽△ACG∴∠EFP＝∠PFC＝∠GACA B C P E G F H ∴∠EFC＝∠EAC，∴点F与点A重合 ∴点P与点G重合，∴BP＝3 综上，BP的长为 或3 （2）若PE＝PF，则△PBE≌△FCP ∴BE＝CP，∴ BP＝6－BP，解得BP＝ 若EF＝PE，作EH⊥PF于H，则PH＝ PF＝ × PC＝ ( 6－BP )＝4－ BP PE＝ BP，PH＝ PE＝ BP∴4－ BP＝ BP，解得BP＝ A B C P E G F M 若EF＝PF，作FM⊥PE于M，则PM＝ PE＝ × BP＝ BP PF＝ PC＝ ( 6－BP )＝8－ BP，PM＝ PF ∴ BP＝ ( 8－ BP )，解得BP＝4 综上，BP的长为 或 或4 8．作AG⊥BC于G∵AB＝AC，∴∠B＝∠C ∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＋∠B＋∠BED＝180°，∠CEF＋∠DEF＋∠BED＝180° ∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEFA E B C F D G ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ∴△DEF∽△ABC，∴DE＝DF 若AF＝AD＝t，则CF＝＋t ∵△BDE∽△CEF，∴ ＝∴ ＝ ，解得t＝ A E B C D F 若DA＝DF，则∠DFA＝∠DAF＝2∠C＝2∠DFE ∴∠CFE＝∠DFE＝∠DEF，∴DE∥AC ∴ ＝，∴ ＝，解得t＝ 若FD＝FA，作AG⊥BC于G，FH⊥AD于HA E B C G D F N M H 取AC中点M，作MN⊥AC交BC于N，连接AN 则AM＝ AC＝ ∵AB＝AC＝，BC＝4，∴GC＝2，AG＝1 由△NCM∽△ACG可得MN＝ ，AN＝NC＝ ，GN＝ ∵∠DAF＝2∠C，∠ANG＝2∠C，∴∠DAF＝∠ANG ∴△FAH∽△ANG，∴AF＝ AH＝ AD＝ t，CF＝＋ t ∵ ＝，∴ ＝，解得t＝ 综上所述，t的值为 或 或 【题型2】求线段比值A B C D E F 提示：∵BD＝2，CD＝4，∴AB＝AC＝6可证△BED∽△CDF ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【题型3】求面积 15提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，DM⊥EF于MA B C D E F G H M 可证△BEDF∽△DEF∽△CD∴∠DEG＝∠DEM，∠DFH＝∠DFM ∴DM＝DG＝ AC，EG＝EM，FH＝FM ∵Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠A＝90° ∵AE＝3，AF＝4，∴EF＝5 设EG＝EM＝x，则AG＝3＋x，FH＝FM＝5－x∴AH＝AF＋FH＝4＋5－x＝9－x 易知AG＝AH，∴3＋x＝9－x，∴x＝3∴DM＝DG＝AG＝3＋x＝6 ∴S△DEF ＝ EF·DM＝ ×5×6＝15 【题型4】求线段最值 1．提示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BAE＋∠BEA＝90° ∵EF⊥AE，∴∠BEA＋∠CEF＝90°∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF ∴ ＝ ，∴ ＝ ∴CF＝－ BE 2＋ BE＝－ ( BE－2 )2＋ ∴CF长度的最大值为 2．6提示：设等边△ABC的边长为a ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°∴∠BAD＋∠BDA＝120° ∵∠ADE＝60°，∴∠BDA＋∠CDE＝120°∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE ∴ ＝ ，∴ ＝ ∴CE＝－ BD 2＋BD＝－ ( BD－ )2＋ ∵线段CE长的最大值为 ，∴＝ ∴AB＝a＝6 3．提示：此题如果过点E作BC的垂线，通过构造一线三等角相似来解决则十分复杂 为此，可以考虑利用直角三角形斜边上的中线性质和斜垂关系来解决 取AE中点M，连接DM，作MN⊥BC于N ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5 ∵DE⊥AD，∴DM＝ AEA B C D E M N 设DM＝x，则AM＝ME＝x，MC＝5－x 易证△ABC∽△MNC，∴MN＝ MC＝3－ x ∵DM≥MN，∴x≥3－ x∴x≥ ，∴CE＝5－2x≤ ∴线段CE长的最大值为 4．3－2A D E F G B C 提示：在AD上截取DG＝DF，连接GF 则△ABE∽△GEF，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴DF＝ 设AE＋1＝t，则AE＝t－1，AE 2＝t 2－2t＋1 ∴DF＝ ＝ ＝－t－ ＋3＝－( － )2＋3－2≤3－2 ∴线段DF长度的最大值为3－2 【学习评估】 1．1或2或3提示：若△ABE∽△DEF∽△EBF，则 ＝ ＝ ∴AE＝DE＝ AD＝2A D E C B 若△ABE∽△DEF∽△EFB，则 ＝ ＝ ∴ ＝ ，解得AE＝1或3 2．4提示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC ∴BC＝AB，∠ABC＝∠ACB＝30°∴∠ABD＝∠DCE＝150°，∠BAD＝30°－∠ADB ∵∠ADE＝30°，∴∠CDE＝30°－∠ADB∴∠BAD＝∠CDE，∴△ADB∽△DEC ∴ ＝ ，∴ ＝ ∴AB＝ ，∴BC＝AB＝4 3．17提示：过点A作GH∥EF分别交CB、CD的延长线于点G、H 则∠G＝∠CEF＝45°，∠H＝∠CFE＝45° ∴∠G＝∠H，∠GAE＋∠AEG＝135°A D B E C H G F ∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＋∠FAH＝135° ∴∠AEG＝∠FAH，∴△AEG∽△FAH，∴ ＝ ∵AB＝25，AD＝BC＝32，∴AG＝25，AH＝32 ∴ ＝ ，∴( 25＋BE )( 32＋DF )＝25×64 ∵∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF ∴32－BE＝25－DF，∴32＋DF＝25＋BE ∴( 25＋BE )2＝25×64，∴25＋BE＝5×8＝40 ∴BE＝15，∴CE＝17，∴EF＝17 4．12或13提示：设BC＝a，BP＝x ①若△ABP∽△DCP，则 ＝ ，解得x＝ 不论a为何值，上式在0＜x＜a的范围内，总存在唯一一个x值 即在BC边上总存在一个满足条件的点P ②若△ABP∽△PCD，则 ＝ 即x 2－ax＋36＝0 当判别式△＝0，即a 2－144＝0，a＝12时，在BC边上存在一个满足条件的点P 若x＝ 是方程x 2－ax＋36＝0两个不等根的一个根时，在BC边上恰好存在两个满足条件的点P ∴( )2－a· ＋36＝0，解得a＝13A D B C E F H 综上所述，a＝12或13 5． 或2或 提示：连接AD ∵AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC的中点 ∴∠B＝∠C，AD⊥BC，BD＝CD＝4∴AD＝＝3 ∵∠EDF＝∠B，∴∠B＋∠BED＋∠BDE＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠CDF＝180° ∴∠BED＝∠CDF，∴△BED∽△CDF∴∠BDE＝∠CFD， ＝ ＝ ∴△DEF∽△BED，∴∠DFE＝∠BDE，∴∠DFE＝∠CFD 若AF＝EF，则DF⊥AB设DF交AB于点H，则AH＝EH，△ADH∽△ABD ∴AH＝ AD＝ ，∴AE＝ ，∴BE＝5－ ＝ 若AE＝AF∵△BED∽△CDF，∴ ＝ A D B C E F ∴ ＝ ，∴AF＝ ∴5－BE＝ ，解得BE＝2或BE＝8（舍去） 若AE＝EF，则∠EFA＝∠EAF＝2∠C＝2∠EDFA D B C E F ∵∠DFE＝∠CFD，∴∠EDF＝∠EFD，∠CFD＝∠C ∴DF＝CD＝4，△EDF∽△ABC ∴EF＝ DF＝ ，∴AE＝ ，∴BE＝ 综上所述，BE的长为 或2或 一线三等角问题（二） 【题型5】在二次函数中求与角度有关的点的坐标 1．解：过点P作PH⊥y轴于H，作BG⊥PH于G则△BPG∽△PCH，∴ ＝ ∵y＝－ x 2＋2x＋ ＝－ ( x＋1 )( x－5 )，∴B（5，0），C（0，）C x B A O P G H y 设P（m，－ m 2＋2m＋ ），则BG＝－ m 2＋2m＋ ＝－ ( m＋1 )( m－5 ) PG＝5－m，PH＝m，CH＝－ m 2＋2m＋ － ＝－ m 2＋2m ∴ ＝ ，∴( m＋1 )＝ 整理得：m 2－3m＝0，解得：m＝0（舍去）或m＝3 ∴点P的坐标为（3，4） 2．解：作DG⊥x轴于G，作CH∥DB交x轴于H，作PH⊥CH交CF的延长线于P，作PK⊥x轴于K∴PCH＝∠BEF＝45°，∴CH＝HP ∵y＝－x 2＋2x＋3＝－( x＋1 )( x－3 )＝－( x－1 )2＋4y C F x B A O D E G H K P ∴B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴OB＝OC＝3，BG＝2，DG＝4 易证△COH∽△DGB，∴OH＝ OC＝ 易证△COH≌△HKP，∴HK＝OC＝3，PK＝OH＝ ∴OK＝ ，∴P（，） 易求直线CF的解析式为y＝－ x＋3，与抛物线联立可得F（，） 3．解：当点A在x轴上方时 作BC⊥PB交AO于点C，作CD⊥AB于D，作PE⊥AB于E ∵y＝ x 2－2，∴P（0，－2），∴BE＝OP＝2x y O P A B C D E ∵∠APB＝45°，∴PB＝BC 可证△PBE≌△BCD，∴CD＝BE＝2，BD＝PE 设A（a， a 2－2），则BD＝PE＝a，AE＝ a 2－2＋2＝ a 2 AD＝ a 2－2－a 易证△ACD∽△APE，∴ ＝ ∴ ＝ 整理得：a 2－5a－6＝0，解得a＝－1（舍去）或a＝6∴A1（6，10） 当点A在x轴下方时 作AC⊥PA交PB于点C，作CD⊥AB于D，作PE⊥AB于E 可证△PAE≌△ACD，∴CD＝AE，AD＝PE 设A（a， a 2－2），则AD＝PE＝a，BA＝－ a 2＋2P A E D C B x y CD＝AE＝ a 2－2＋2＝ a 2，BD＝－ a 2＋2－a 易证△BCD∽△BPE，∴ ＝ ∴ ＝ 整理得：a 2＋5a－6＝0，解得a＝－6（舍去）或a＝1∴A2（1，－ ） 综上所述，点A的坐标为（6，10）或（1，－ ） 【题型6】一线三等角的综合型问题 1．（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°∴∠BED＋∠BDE＝135° ∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC，∠EDC＝∠B＋∠BED，∠EDF＝45° ∴∠FDC＝∠BED∴△BED∽△CDF，∴ ＝ HM A D B C E F ∵D是BC的中点，∴BD＝DC∴ ＝ ，∴△DEF∽△CDF ∴△DEF∽△BED （2）作EH⊥DF于H，设FH＝a ∵∠EDF＝45°，∠EFD＝60°，∴DH＝EH＝a，DE＝a ∵△ BED∽△CDF，∴ ＝ ∴ ＝ ，∴BE＝3－ ∴AE＝2－( 3－ )＝－ 1 2．（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C ∵BE＝BD，CF＝CD，∴∠BDE＝∠BED＝∠CDF＝∠CFD ∴∠EDF＝180°－∠BDE－∠CDF＝180°－∠BDE－∠BED＝∠B （2）设BE＝BD＝x，则AC＝AB＝x＋ ∵AF＝ ，∴CD＝CF＝x＋ － ＝x－2∴BC＝2x－2A E F B C D G 由tanB＝ ，可得 ＝ ∴ ＝ ，解得x＝10 ∴BE＝BD＝10，CD＝8 作DG⊥AB于G，则DG＝6，BG＝8 ∴EG＝2，∴DE 2＝6 2＋2 2＝40 ∵∠B＝∠C，∠BDE＝∠CDF，∴△BDE∽△CDF ∴ ＝ ＝ 又∵∠EDF＝∠B，∴△DEF∽△BDG ∴ ＝ ，∴S△DEF ＝ S△BDG ＝ ××6×8＝ 3．（1）∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点 ∴BE＝EC＝1 ∵在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ECN＝90°∴∠BAE＋∠AEB＝90°A D B C E F M G N H ∵∠AEF＝90°，∴∠CEN＋∠AEB＝90°∴∠BAE＝∠CEN， ∴△ABE∽△ECN∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴CN＝ （2）延长CB至G，使BG＝DM，连接AG ∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，∴△ABG≌△ADM ∴AG＝AM，∠G＝∠AMD，∠BAG＝∠DAM ∵∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠EAM＝45° ∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAM＝45°∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°∴∠EAG＝∠EAM 又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEM∴∠AEB＝∠AEM，∠G＝∠AME∴∠AMD＝∠AME ∵∠FMN＝∠AMD，∴∠AME＝∠FMN 又∵∠EAM＝∠NFM＝45°，∴△AEM∽△FNM∴ ＝ ∵∠AEM＋∠MEF＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90° ∴∠MEF＝∠FEC＝∠BAE过点F作FH∥AE交EM的延长线于点H 则∠EFH＝90°， ＝ ＝ ＝tan∠MEN＝ （3）设BE＝x，DM＝y，则CE＝2－x，BG＝y，CM＝2－y ∵△AEG≌△AEM，EM＝EG＝x＋y 在Rt△CEM中，CE 2＋CM 2＝EM 2∴( 2－x )2＋( 2－y )2＝( x＋y )2 整理得y＝ ，∴EM＝x＋y＝ 若EM＝1，则 ＝1整理得x 2－x＋2＝0 ∵△＝( －1 )2－8＝－7＜0，∴方程无实数解 ∴EM的长不可能为1 4．（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ∵∠ADE＝∠B，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∠ADE＋∠BDA＋∠CDE＝180° ∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCEA B C D F E H （2）作AH⊥BC于H 由tanB＝ ，可设AH＝3a，则BH＝4a，AB＝5a ∵AB＝AC＝20，∴5a＝20，∴a＝4∴BH＝CH＝16，BC＝32 ∵DE∥AB，∴△EDC∽△ABC∽△ABD∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴BD＝ ∵DE∥AB，∴ ＝ ∴ ＝ ，∴AE＝ A B C D F E G （3）过点A作AG⊥AB交BC于点G，连接FG 则AG＝ AB＝15，BG＝ AB＝25，GC＝BC－BG＝7 ∵∠DAF＝∠BAG＝90°，∠ADE＝∠B∴△ADF∽△ABG，∴ ＝ ∵∠DAF＝∠BAG，∴∠GAF＝∠BAD∴△AGF∽△ABD，∴∠AGF＝∠B，∴∠FGD＝90° ∵DF＝CF，∴DG＝GC＝7∴DC＝14，∴BD＝18 A B C D E F H G 5．（1）作AH⊥BC于H 则AH＝CH＝20，CH＝20，BH＝15，AB＝25 （2）作FG⊥AB于G 则AG＝DG＝10，BG＝15，BF＝25 （3）当∠AFD＝∠B时，△ADF∽△DEB 此时△ADF∽△AFB，AF 2＝AD·AB＝500 FH＝10，BF＝5或25 ∠AFD＝∠B＝∠EDF，DE∥AFA B C D E F G A B C D E F H EF＝ BF＝4或20 当∠DAF＝∠B时，△ADF∽△BED 作FG⊥AB于G 则AG＝BG＝ ，AF＝BF＝ BE＝ ，EF＝ 6．（1）∵∠EDF＝∠B，∴∠BDE＋∠CDF＝∠BDE＋∠BED∴∠BED＝∠CDF ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴△BDE∽△CFDA B E C D F O （2）∵△BDE∽△CFD，∴ ＝ ∵BD＝CD，∴ ＝ 又∵∠B＝∠EDF，∴△BED∽△DEF∴∠BED＝∠DEF ∵DF＝EF，∴∠DEF＝∠EDF∴∠BED＝∠EDF，∴DF∥AB 连接AD，设AF、DE相交于点O ∵DF＝EF，DE⊥AF，∴OD＝OE ∵DF∥AE，∴△AOE≌△FOD，∴OA＝OFA B E C D F G ∴AF、DE互相垂直平分，∴四边形ADFE是菱形 ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC∴AD＝DF＝ AC ∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120° （3）设BE＝x 若AF＝EF，则∠AEF＝∠EAF ∵∠B＝∠C，∴∠EAF＝2∠B∴△BED∽△DEF，∴∠BED＝∠DEFA B E C D F ∴∠AEF＝2∠BED∴∠B＝∠BED，∴BD＝DE 作DG⊥BE于G，则BE＝2BG ∵BG＝BD·cosB＝4× ＝ ，∴x＝ 若AE＝AF 则x－5＝5－ ，解得x1＝2（舍去），x2＝8 若AE＝EF，设DE交AC于点G ∵∠BED＝∠DEF，∴DE⊥AF，AG＝FG 连接AD 在Rt△ADG中，AG＝AD·cos∠DAC＝3× ＝ A B E C D F G ∴CF＝AC－2AG＝5－2× ＝ ∵CF＝ ，∴ ＝ ，∴x＝ 综上所述，当BE的长为 或8 或 时，△AEF是等腰三角形 【学习评估】y x O P A B C E D 1．（1）∵y＝－x 2＋mx－2m＝－x 2＋m( x－2 ) 无论m取何值，抛物线都经过定点A ∴x－2＝0，即x＝2∴A（2，－4） （2）作BC⊥BA交AP的延长线于点C，作AD⊥x轴于D， 作CE⊥x轴于E ∵A（2，－4），B（1，0），∴AD＝4，BD＝1 ∵∠BAP＝45°，∴BA＝BC，∴△ABD≌△BCE ∴BE＝AD＝4，CE＝BD＝1，∴C（5，1）或（－3，－1） 可求直线AP的解析式为y＝ x－ 或y＝－ x－ ∵y＝－x 2＋mx－2m＝－( x－ )2＋ －2m，∴P（， －2m）y x O P A B C E D ∵点P在直线上，∴ －2m＝ ·－ 解得m＝4或m＝ 当m＝4时，点P的坐标为（2，－4），与点A重合，不合题意，舍去 或 －2m＝－ ·－ 解得m＝4（舍去）或m＝ ∴m＝ 或 2．（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C ∵∠ADE＝∠B，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∠ADE＋∠BDA＋∠CDE＝180° ∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCEA B C D E （2）∵△ABD∽△DCE，∴ ＝ ，∴ ＝ ∴CE＝－ BD 2＋BD＝－ ( BD－ )2＋1≥1 ∴CE的最大值为1 （3）∵∠ADE＝∠B＝∠C，∠AED＞∠C ∴∠AED＞∠ADE，∴AD＞AE 当AD＝DE时，△ABD≌△DCE ∴DC＝AB＝2，∴CE＝BD＝2－2A B C D E ∴AE＝AC－CD＝2－( 2－2 )＝4－2 当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝45° ∴∠ADC＝90°，∠AED＝90° ∴AE＝ AC＝1 综上，AE的长为4－2或1 3．（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90° ∴AC＝BC，∠B＝∠C＝45° ∵AP＝AQ，∴BP＝CQ ∵E是BC的中点，∴BE＝CE ∴△BPE≌△CQE（SAS） （2）∵∠BEF＝∠C＋∠CQE，∠BEF＝∠DEF＋∠BEP，∠DEF＝∠C＝45° ∴∠BEP＝∠CQE 又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ （3）∵△BPE∽△CEQ，∴ ＝ A B C D E F Q P G H 设BE＝a，则CE＝a，CA＝a，CQ＝a＋12 ∴ ＝ ，解得a＝6 作EH⊥PG于H，则AH＝BH＝EH＝6 由△AQG∽△HEG，得AG＝2HG＝ AH＝4 ∴PG＝AB－AG－BP＝12－4－3＝5 4．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90° ∵∠FAE＝90°，∴∠BAF＝∠DAEA D B C P E F 又∵AF＝AE，∴△ABF≌△ADE，∴∠AED＝∠F ∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴∠AEF＝∠F＝45° ∴∠AED＝45°，∴∠DEF＝90° ∴DE⊥EF （2）①连接AC ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°∴∠ACF＋∠PCE＝135° ∵∠F＝45°，∴∠ACF＋∠CAF＝135°∴∠PCE＝∠CAFA D B C P E F G 又∵∠PEC＝∠F＝45°，∴△PCE∽△CAF，∴ ＝ 由CF＝2CE，设CE＝2x，则CF＝4x，EF＝6x，AE＝AF＝3x ∴ ＝ ，∴PE＝ x，∴AP＝ x ∴ ＝ ②在AP上取点G，使BG＝BA，连接BG、CG 则∠BGA＝∠BAG＝90°－ ∠ABG，∠BGC＝∠BCG＝90°－ ∠CBG ∴∠CGE＝180°－∠BGA－∠BGC＝ ( ∠ABG＋∠CBG )＝ ∠ABC＝45° ∴CE＝CG，∠GCE＝90° ∵∠BCD＝90°，∴∠DCE＝∠BCG 又∵DC＝BC，∴△DCE≌△BCG ∴DE＝BG，∴DE＝BA＝AD 学科网（北京）股份有限公司 $$