内蒙古赤峰市名校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

缝密★启用前 &.已延话数f工-+x1在0，十上单调通增，周a的最小值为 高三数学考试 人一3 R3 C-6 .6 7.若点A(cw2mD关于直线一上对的点为B(m+)-3na小则e+》 注意事项： A-2 R2 c n 1容题前，考生券必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答地卡上 2.同容这择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂 8已知a>1,b>0,且a十h十b=6.划a十的最小值为 黑。如需改动，用像皮继干净后，再选涂其他答案标号。同答非选择题到，将容案写在 AI 且2 C.3 D.4 答题卡上，写在本试卷上无效 二，选择整：本抛共3小整，每小”分，共1B分.在每小题给出的选项中，有多项符合”目要 不考试结束后，将本试卷和答题卡一并交曰。 求.全部选对的得6分，部分这对的得知分分，有透蜡的得0分 4本试卷主要考试内容：集合，常用逻科用语，不等式，函数与导国数，三角函数。 9若将函微/：)一2(2：一)的周象向左平移个单位长厦，哥到函数《(：的图象测 平面向量，复数，数列 九g)-2ms(2-) 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是秤合 ”目要求的。 且()-（圆 L已知集合A-{z1<工<5，B-(工x-工-6<D,则AUB A.{+一2Cx 民1士11<3) C与u的图象关于在线士一是对称 C{r1-3r5 r|<x2 Dfx)与g(红)的用象在（后，}上有公共点 之在二十四节气中，条季的节气有立冬，小雪，大雪.冬至，小寒和大寒，期甲出生在冬至“是“甲 出生在冬季”的 a已知g量AB-a,-D.AC-(1,2mm管+3，n∈N”,BLA期 A.充整条件 以充分不必要条件 A.41=年 且4：=-3 汇必受不充分系件 D.既不充分也不必要条件 C,数列[u。1是周月数列 数列a.1的能100项和为200 3A店++可-Cp 1L.已知函数f(a)的定义域为（一，2）U(2.+∞》.其导函数为(x).且f(x+1) A.AD BAE C.A0+C0 DAD+ED /(-r+3).f4)=g,当x∈(2，+十c时，一2f(x1-f1-(-2)'e,则 4,位于某海城A处的甲船丧器，在其正东方问相距0喜里的B处有一2滴船调验后龙给等持 A./()的图象关于直线2一2对弥 脊数.甲船文即前往救级，同时把清息告知位于甲船北篇东3部且与甲船相距30海里的C处 Kfr)在(2.+oo)上单调递增 的乙船，让乙船也能往牧援，则乙精至少需要航行的海里数为 A.10/1区 A6同 C,10v D5w37 c基r的个极小慎点 5.算线是平面曲线的一种，因其状如舌面得名，若管舌线￥=/()的银分图象如图所示，刚 D.furt>D 三、填空题：本驱共3小题，每小题5分，共1后分 (z)的解析式可能为 12复数w52+店的实部与虚军之和为▲ A./ 4 13(九章算术)是我国古代数学名青.其中记载了关于性省买卖的问画限设一只鸡与一只陶 且/3--5 一只我与一只羊，一只羊与一头学的价格之差均相等，一只羊与两只码的价格总数为 x十4 20钱，一头护的价格为一只均的2信，按照这个价格，甲买了一只鸡与一具育.则甲花费的 C/(▣)--x-2 线数为▲ f=中 2 14已这函数了《上)=《十)一g在（程，程）上价有1个零点，期期一m的量大值 为▲ 【高三数学第1页（共41 HM 【离三数学第：百（共4面】 M+ 四，解菩思：本题其5小题，共7分.解答应写出文字说明，证期过程或清算步骤. 8(17分) 15.(13分) 已知函数fx)=r一2mx一1. 已知雨数了（了十1）=g(十)： 1)若抽战y一f(x》在z一2处的切线的斜率为3，求， 《1)求不等式01(r1的解集 (2)已知/(x)恰有两个零点x1r(r<x》. (2)若橘数gx)一/《x)十f(-r+a一2》的图集经过点1，lg3),求(z)的最大值 ①求：的取值范围： 明头。 16,(15分) 将 已知a.+b.}是等比数列，6.是常数列.且a,-0,@:一2，d,一4. 19,(17分 (1》求数列[4。》，b,)的通项公式 投A为一个非空的二元有序数姐工，y)的集合，集合B为丰空数集.若按隔某种衡定的对 〔2求a,》的前”项和5， 应美系/，使得A中任意一个元素：y,在B中都有唯一确定的实数：与之对惊，则称对 应关系f为定义在A上的二元商数.记作一f(xy),r,y》EA.已知二元函数「(r,y) xyeN澜足+=义+Ly2上 /y+/y)中7且f1.1)=1. (10求f1,2,f2,2)的值 (2)求/八：y)的解析式： (已知敬列，满足，+1-敬刘 1 ,x∈(0，x)的前n勇和为T.,证明： 17.(15分) 如图，在四边形ABCD中，D平分∠A.BC=2CD,∠BC=2∠BAD 下>山 (1》若5BDr+35CD-8BD·CD,求n∠ABC: (2>若AD=V5,BD=2,求△ABD的面积. (★三数￥第1页（其4西1 ·OM· 【高三数学第4页共4页】 HJLM.高三数学考试参考答案 1.A 【解析】本题考查集合的并集,考查数学运算的核心素养 由题意得B= x-2 x<3,则AB-x-2 x 5 2.B 【解析】本题结合二十四节气考查充分条件与必要条件,考查逻辑推理的核心素养. “甲出生在冬至”可以推出“甲出生在冬季”,“甲出生在冬季”不能推出“甲出生在冬至”,所以 “甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的充分不必要条件 3.D【解析】本题考查向量的线性运算,考查数学运算的核心素养. AB+BC+2CD-CE-AC+CD+CD-CE-AD+ED 4.A 【解析】本题考查余弦定理的应用,考查直观想象的核心素养和应用 意识. 如图,由题可知 BAC=90{一30{}一60{},在△ABC中,由余弦定理可得 BC-v40{}+30{}-2X40×30cos 60{}-10v13海里,所以乙船至少需要航 行的海里数为10/13. 5.B 【解析】本题考查函数的图象,考查直观想象的核心素养 2 2-既不是奇函数,也不是偶函数,排除D.f(x) 1 8 一一x-2在[0,十)上单调递减,排除C.f(x)一- -的图象符合题中图象,B正确. 6.C【解析】本题考查函数的单调性与基本不等式的综合应用,考查逻辑推理的核心素养. 7.D【解析】本题考查三角恒等变换,考查数学运算的核心素养 2 2sip tana十tanB1 8.C【解析】本题考查导数的应用,考查数学建模的核心素养和化归与转化的数学思想. 6-2(0<<3),则/”(x)-2x- 1 xE(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当xE(1,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以 f(x)-f(1)-3.故当6-1时,a+b{取得最小值,最小值为3. 【高三数学·参考答案 第1页(共7页) .HLM. 9.BC 【解析】本题考查三角函数的性质与图象的变换,考查直观想象的核心素养 由题意得g(x)-2cos2(x+)-]-2cos 2x,则/()-8()-,A错误,B正确. f()-g({一),C正确. 当x()时,2x(2),2x-<(0),则/(x)>g(x),D错误 10.ABD【解析】本题考查向量、三角函数与数列的综合应用,考查逻辑推理的核心素养. 因为ABAC,所以AB·AC-a。-2nsin n-3-o,即a.-2nsin 。 2sin 易得数列a.不是周期数列,C错误 (4+1)n+3+2(4+2)sin[(2+1)]+ 因为a+a。+a-3+a-2(4+1)sin- 3+2(4+3)sin 2 +3+0+3-8,hN,所以数列a。)的前100项和为 / 11.ACD【解析】本题考查导数的构造,考查数学抽象和数学建模的核心素养. 由f(x十1)=f(一x十3),得f(x)=f(一x十4),所以/(x)的图象关于直线x=2对称,A 正确. 当x(2,十oo)时,令g(x)- f() (-2)2 f(4)_-# [(x-3)e”十+a]'-(x-2)e,所以g(2)f(2) )-(x-3)e+a.由g(4)- -2 。2& 十a,得a-0,所以g(x)- /() 3x十1)e”.令/(c)-0,得x- 35 f(x)单调递减,当x( 3+55-5 因为/(x)的图象关于直线x一2对称,所以/(x)的一个极小值点为4- . 2^},C 正确. 3+5 因为x|+4>33 32,/(3)=/(1),所以/(|.xl+4)>/(3)=/(1),D正确. 12.5【解析】本题考查复数的模和复数的概念,考查数学运算的核心素养. 由题意得15-2il+2i-3+2i,所以复数 5-2i|+2i的实部与虚部之和为5 【高三数学·参考答案 第2页(共7页) .HLM. 13.120 【解析】本题以《九章算术》中的牲畜买卖为背景,考查等差数列的性质,考查数学建模 的核心素养和应用意识 由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头护的钱数依次成等差数列,设该数列为a。,公 差为d,则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为a,a,a,a,由题意得 a+2a-200, (a-40. 解得 d-40. 故甲花费的钱数为a+a。-2a:+d-120 la-2a。. 【解析】本题考查三角函数的零点,考查逻辑推理与直观想象的核心素养 得4x十E(4n十,4m十).设f(x)在(n,m)上的零点依次为x.x.x.x.不妨令4x 22,此时{ 3 要使得一n最大,则需满 十二一 4r 3: 17 足 17 .即n一n一 3 .13π 可得n-n的最大值 12. 15.【解析】本题考查对数运算与对数函数的性质,考查数学运算和逻辑推理的核心素养 解:(1)由f(x+1)=lg(x+1+2),得f(x)=lg(x+2). 由0</(.)=-11(1- 2.)1,.得1r2.<1..,即-1是8...............5分 所以不等式0f(x)1的解集为(-1,8). (2)由题意.).-1(.....-1..-.).....................-.分... 由g(1)-l1 3+l1a(a-1)-li1 3,得-2,即 ()-1g.-r2+4). ....... 9分 因为一....人....-....是:.......................1分. 所以g(x)>lg4,即g(x)的最大值为lg4(或2lg2)...................................... 13分 评分细则: 在第(1)问中,求f(x)的解析式也可以这样解答; 令t=x+1,则x-t-1,得f(t)-lg(t-1+3)-lg(t+2),即f(x)=lg(x+2)....3分 16.【解析】本题考查等比数列的性质与数列的前”项和,考查数学运算和逻辑推理的核心素养 解:(1)设b一m.由a.十b。)是等比数列,得(a.+m)(a十m)一(a十m){},......3分 即n(6十m)-(2+n),解得n-2,即b.一2. ....................... -2. .......................................... 6分 {a.十2 【高三数学·参考答案 第3页(共7页)】 .HLM. 则a+2-2·2-1,即a-2-2. 8分 (2)由题意得S-2-2+2-2+.+2-2-2+2+..+2-2n ..................... 11分 2(1-2") -2n三........................................ 1-2 15分 评分细则: a。十2 在第(1)问中,未写“数列a.+2的首项为a+2-2,公比为 2 -2”,直接写“a.+2-(a十 17.【解析】本题考查正弦、余弦定理,考查直观想象和数学运算的核心素养 BD*+BC②-CD{*BD+4CD-CD{} 解:(1)在△BCD中,由余弦定理得cos CBD= 2BD·BC 4BD·CD BD2+3CD* 2v5 ............................................................ 5· 4分 4BD.CD 4BD·CD 因为/CBDE(0.x),所以sinCBD-1-cos{ CBD-5. ................ 5; 故sin ABC-sin 2 CBD=2sin CBDcos CBD= 5. (2)设BDC-2 BAD=2a.ABD=CBD=$$ BC CD CDsin ..-.,s....... BC 得2sinacos a-2sin3,即sinacos a-sin 3. ............... ADBD ③ 一,得sin)一 在入ABD中,由正弦定理 ................................. 2sinn. sin}sina 9分 sinacosa-sin3. 由 ................................................ 2sina. 10分 .................................... 6 11分 ............. 3+13 得sin ADB=sin(a+③)=sin acos ③十cos asin③= ................ 8 33+39 ................................. 15分 评分细则: 在第(2)问中,在求出。一 【高三数学·参考答案 第4页(共7页) .HLM· AB{+AD-BD{③ 在ABD中,由余弦定理得cos /BAD ..................... 2. 2AB·AD 13分 3+13 得AB^{*-3AB-1-0,得AB=$ (负根已舍去) ....................................14分 2 33+39 .......................................... 15分 8 18.【解析】本题考查一元函数的导数及其应用,考查直观想象和逻辑推理的核心素养 (1)解:由题意得f(x)-2tx- 2 )” 由/(2)-4/-1-3,得-1. (2)①解:令f(x)-0,得1+21nx 1+2lnz ......4分 2 当xE(0,1)时,g'(x)0,g(x)单调递增;当xE(1,+)时,g'(x) 0,g(x)单调递减 故g(x)-g(1)-1. .....................................分. 当x→十时,g(x)→0,又g(e-*)-0, ........................ 所以0 t1,即t的取值范围为(0,1). ................................ 1十2lnx1二, 2 ②证明:由①可得0x1<x。,则 .......................................... 12lnx2二t. 9分 2} 两式相加得((x十x)=2(1士lnx士lnx。). ................................................ 10分 要证2-21n1 ,只需证1+ln(xx。) xx。-xx。ln. 2) ............... 设h(c)-x-ln:-1,则(c)-x-1. ..................................................... 12分 2 当x (0,1时,h(x) 0,h(x)单调递减,当x(1,+oo)时,h'(x)>0.h(x)单调递增 则(x)>h(1)-0,即lnxx-1. .................................. 因为xx0,所以ln(x.x)xx。-1,即1+lnxxxx. 又0<<1,所以-x,xo_lnt>o,所以1+ln(xx。)<r<x-rro_nz,从而+} x: 17分 评分细则: 在第(2)①问中,还可以这样解答 2(2-1) 由题意得/(x)-tx-2lnx-1,/(x)= 2 【高三数学·参考答案 第5页(共7页)】 .HLM. 若t 0,则f(x) 0,f(x)单调递减,所以f(x)在(0,十o)上不可能有两个零点 ............... 当x→共时.,-(..,当.→.,/(.I........ 7分 ........... 故7的取值范围为(0,1). 19.【解析】本题考查函数的新定义、数列与三角函数的综合应用,考查逻辑推理的核心素养和创 新意识. f(1,1+1)1 f(x,y) 2 f(x十1,y) f(1十1,2)1 在 -中令:=1.-2.则 /(r,y) f(1,2) (1#1)#(#) f(r,y十1) x.._/(1,)_ ~{”2 (2)解:由 _ f(1,-1)一 f(x,y) 十1 2 3.1(2),得 f(1,1)) .........分. #4))# 由 f(r十1,y)x f(x,y) f(1,y)/(2,y)f(3,y) 7,得 /(.-1,)2 /(1.) 立). .......分. 1 _1-2n,得-2n-1. (3)证明:由(2)知/(2,n)一 ,则a十1-- 2n ..........分. /(2n) sinx_ sin3x_. sin(2n1)]. T- 3 2n-1 2sin.x sinx 2sin3.x sinx_. 2sin[(2n-1).·sinx. .10分 则2sinx·T.一 3 2n-1 因为cos[(2n-2)x]-cos 2nx=cos[(2n-1)x-x]-cos[(2n-1)x+x]= 2sin(2n-1)x]·sinx. 2sin3x.sinx.. 2sinx.sinx) 2sin[(2n-1)x]·sinx 所以2sin)·T.一 、 3 2-1 cos 2x-cos4xcos4r-cos6x cos[(2n-2)x]-cos2nx -1-cos2x十 3 2n-1 【高三数学·参考答案 第6页(共7页)】 .HLM. -1-(1-)0o 2x(--)co$ xr-(_3)co(2n-2)r]- cos 2nx 13分 2n-1: 由x(0,),得2nx(0,2nx),则cos2x[-1,1),cos2nx[-1,1]. )×1-011)(0)-)_. 由x(0,x),得sinx>0,所以T>0. ......................................................... 17分 评分细则: 在第(1)问,第(2)问中,先求出f(x,y)的解析式,再求出/(1,2),/(2,2)的值,不扣分 【高三数学·参考答案 第7页(共7页)】 .HLM.