专题18 分式方程的应用七种类型及变式-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

专题18 分式方程的应用十种类型及变式（解析版） 类型一 行程问题 【例1】（2024•湖南模拟）为了“每天锻炼1小时，健康生活一辈子”，王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师的家距学校的路程是9千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，王老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校． （1）求王老师骑自行车的平均速度； （2）王老师是否达到每天锻炼1小时的标准，若达到请说明理由；若没达到，请问王老师每天至少还需要锻炼多少小时？ 【分析】（1）设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为3x千米/小时，由题意：王老师每天骑自行车上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校．列出分式方程，解方程即可； （2）求出王老师骑自行车上班、下班所需要的时间，即可得出结论． 【解答】解：（1）设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为3x千米/小时， 依题意得：， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， 答：王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时， （2）王老师达到每天锻炼1小时的标准，理由如下： 由（1）可知，王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时， 则王老师骑自行车上班、下班所需要的时间分别为（小时）， ∴王老师骑自行车上下班共需要的时间为（小时）， ∵1， ∴王老师达到每天锻炼1小时的标准． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式1-1】（2022•绥化）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟x m3，由题意列方程，正确的是（　　） A．30 B．24 C．24 D．30 【分析】设细油管的注油速度为每分钟x m3，则粗油管的注油速度为每分钟4x m3，利用注油所需时间＝注油总量÷注油速度，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：24÷2＝12（m3）． 设细油管的注油速度为每分钟x m3，则粗油管的注油速度为每分钟4x m3， 依题意得：30． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式1-2】（2024•重庆模拟）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． （1）求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ （2）某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 【分析】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米，y千米，根据从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟列方程组解答即可； （2）设运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，根据从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，列方程解答即可． 【解答】解：（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米，y千米， 根据题意，得， 解得， 答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米，15千米； （2）运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，则运动员B骑行时的下坡速度是2a千米/小时， 根据题意，得， 解得a＝15， 经检验，a＝15是原方程的根， ∴原方程的根为a＝15， 答：运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时． 【点评】本题考查列二元一次方程组和分式方程解实际问题，掌握列方程（组）的一般方法是解题的根据． 【变式1-3】（2023秋•荣昌区期末）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟． （1）求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？ （2）小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行，已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【分析】（1）设小伟在平路上跑步的平均速度是x米/分钟，则小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，利用时间＝路程÷速度，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设这段坡路的总路程是y米，则上坡路程是y米，下坡路程是y米，利用时间＝路程÷速度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设小伟在平路上跑步的平均速度是x米/分钟，则小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟， 依题意得：50， 解得：x＝280， 经检验，x＝280是原方程的解，且符合题意． 答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟． （2）设这段坡路的总路程是y米，则上坡路程是y米，下坡路程是y米， 依题意得：9， 解得：y＝2100． 答：这段坡路的总路程是2100米． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式1-4】（2024秋•赤峰月考）从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． （1）求高铁的平均速度； （2）某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 【分析】（1）设客车平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为3x千米/小时，根据“从赤峰到沈阳路程约为480千米，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时”，列出分式方程，解分式方程即可； （2）求出陈老师所用的时间，然后进行判断即可． 【解答】解：（1）设客车平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为3x千米/小时， 由题意得：4， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原分式方程的解， ∴3x＝3×80＝240， 答：高铁的平均速度为240千米/小时； （2）他能在开会之前到达会议地点，理由如下： 360÷240＝1.5（小时）， 1.5+1.5＝3（小时）， ∵从11点20分开始3个小时后是14点20分， ∴他能在开会之前到达会议地点． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，正确列出分式方程． 类型二 航行问题 【例1】（2024•二道区模拟）一艘轮船顺水航行80千米所用的时间与逆水航行60千米所用的时间相同，若轮船在静水中的速度为21千米/小时，求水流的速度． 【分析】设水流的速度为x千米/小时，分别表示出顺水和逆水的速度，根据顺水航行80千米所用的时间与逆水航行60千米所用的时间相同，列方程求解． 【解答】解：设水流的速度为x千米/小时， 根据题意，得， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是所列方程的根． 答：水流的速度为3千米/小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 【变式1-1】（2024秋•西青区期末）轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同，已知水流的速度为3km/h．求轮船在静水中的速度． 设轮船在静水中的速度为xkm/h． （Ⅰ）根据题意，利用路程、速度、时间之间的关系，用含有x的式子填写下表： 路程（km） 速度（km/h） 时间（h） 轮船顺水航行 40 　x+3　 　　 轮船逆水航行 30 　x﹣3　 　　 （Ⅱ）列出方程，并求出问题的解． 【分析】（Ⅰ）根据船在水中航行时三个速度关系：V顺＝V水+V静，V逆＝V静﹣V水，求出轮船顺水航行和轮船逆水航行的速度； （Ⅱ）由路程、速度和时间建立等量关系求解． 【解答】解：（Ⅰ）∵轮船顺水航行时，水流的速度为3km/h，船在静水中的速度为xkm/h， ∴顺水航行的速度为（x+3）km/h，逆水航行的速度为（x﹣3）km/h， 又∵顺水航行的路程为40km， ∴顺水航行的时间为h， 又∵轮船逆水航行的路程为30km， 逆水航行的时间为h， 故答案为x+3，，x﹣3，． （Ⅱ）设轮船在静水中的速度为xkm/h，因为水流的速度为3km/h，则轮船在 顺水航行的速度为（x+3）km/h轮船在静水中的速度，轮船在逆水航行行的 速度为（x﹣3）km/h，依题意得： ， 解得：x＝21， 检验x＝21是原方程的解． 答：轮船在静水中的速度21km/h． 【点评】本题 考查了分式方程在行程中的应用，重点计算出轮船在顺水航行和逆水航行速度，易错点解分式方程时不检验根的存在性． 【变式1-2】（2024•楚雄市一模）甲乙两船从相距300km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为6km/h，若甲乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度． 【分析】设两船在静水中的速度为x km/h，根据两船行驶时间相同可得得：，解方程并检验可得答案． 【解答】解：设两船在静水中的速度为x km/h， 根据题意得：， 解得x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解， 答：两船在静水中的速度为30km/h． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 【变式1-3】（2023秋•任丘市月考）下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？ 甲：； 乙：． 根据以上信息，解答下列问题： （1）甲同学所列方程中的x表示 　江水的流速　；乙同学所列方程中的y表示 　轮船以最大航速沿江顺流航行90km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行60km所用时间）　． （2）两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题． 【分析】（1）根据“最大航速沿江顺流航行90km|所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等”，建立方程，故甲方程未知数为：江水的流速，乙方程未知数为轮船以最大航速沿江顺流航行90km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行60km所用时间）； （2）对分式方程进行求解，检验即可． 【解答】解：（1）根据“所用时间相等”，建立的方程，故，等式的左边和右边均表示所用的时间，则30+x和30﹣x分别表示“最大航速”顺流航行和“最大航速”逆流航行，故未知数为：江水的流速； 根据“顺流的速度+逆流的速度＝2×静水的速度”，建立的方程，故和分别表示“顺流航行的速度”和“逆流航行的速度”，故未知数为：轮船以最大航速沿江顺流航行90km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行60km所用时间）； 故答案为：江水的流速；轮船以最大航速沿江顺流航行90km所用时间（或轮船以最大航速逆流航行60km所用时间）． （2）， 去分母得：2700﹣90x＝1800+60x， 解得x＝6， 检验，当x＝6时，（30+x）（30﹣x）≠0， ∴x＝6是原方程的解， ∴江水的流速为6km/h； ， 去分母得：90+60＝60y， 解得y＝2.5， 检验，当y＝2.5时，y≠0， ∴y＝2.5是原方程的解， ∴， ∴江水的流速为6km/h． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，然后列出方程． 【变式1-4】（2020秋•迁安市期中）周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．（顺风速度＝无风时骑车速度+风速，逆风速度＝无风时骑车速度﹣风速） （1）如果家到书店的路程是12km，无风时琪琪骑自行车的速度是8km/h，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，求风速是多少？ （2）如果设从家到书店的路程为s千米，无风时骑车速度为v千米/时，风速为a千米/时（y＞a），则有风往返一趟的时间为 　　小时，无风往返一趟的时间为 　　小时，请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对． 【分析】（1）设当天的风速为x km/h，由题意：家到书店的路程是12km，无风时琪琪骑自行车的速度是8km/h，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，列出分式方程，求解即可； （2）分别求得有风和无风两种情况下所需要的时间，然后比较大小即可． 【解答】解：（1）设当天的风速为x km/h． 根据题意，得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的解， 答：当天的风速为2km/h． （2）有风往返一趟的时间为（）小时小时，无风往返一趟的时间为小时， ∵（）， 又∵v＞a， ∴0， 即， ∴有风往返一趟的时间＞无风往返一趟的时间， 即亮亮说得对， 故答案为：，． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及代数式的大小比较等知识；解题的关键是找准等量关系，列出分式方程． 类型三 工程问题 【例3】（2024秋•青秀区期中）近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最高洪峰在我市安全过境．9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成． （1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？ （2）经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？ 【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要1.5x天，根据等量关系：两队合作15天完成的工作任务与甲5天完成余下任务的和为全部任务，列出分式方程求解即可； （2）先计算出两个工程队合作完成的时间，即可计算出总费用． 【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要1.5x天， ∴， 解得：x＝30， 检验，当x＝30时，1.5x≠0， ∴x＝30是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×30＝45； 答：甲、乙工程队单独完成此项工程分别各需要30天，45天； （2）甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为（天）， ∴（3000+2000）×18＝90000（元）， 答：总费用是90000元． 【点评】本题考查了分式方程的实际应用—工程问题，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【变式3-1】（2023秋•十堰期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成． （1）求乙单独完成该项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由． 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，由题意：甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．列出分式方程，解方程即可； （2）求出甲、乙两队施工天数得出需要施工费用，即可分析得出． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天． 由题意得：20+（）×36＝1， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙队单独完成这项工程需要80天． （2）由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下： 由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）； 甲队独做工期超过90天，不符合要求； 设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天， 由题意得：y（）＝1， 解得：y＝48， 需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元）， ∵192＜200， ∴由甲、乙全程共同完成更省钱． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式3-2】（2024秋•长安区期中）某学校在工程招标时，接到“建安”和“银夏”两个工程队的投标书．工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案： 方案①：“建安”队单独完成此项工程刚好如期完工； 方案②：“银夏”队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； 方案③：若两队合作4天，剩下的工程由“银夏”队独做也正好如期完工；求“建安”、“银夏”两队单独完成此项工程各需多少天？ 【分析】设“建安”队单独完成此项工程需x天，则“银夏”队单独完成此项工程需（x+5）天．求得规定天数的等量关系为：两队合作4天的工作总量+乙做（规定天数﹣4）天的工作量＝1，据此列出方程并解答． 【解答】解：设“建安”队单独完成此项工程需x天，则“银夏”队单独完成此项工程需（x+5）天． 依题意，得：1， 解得：x＝20． 经检验：x＝20是原分式方程的解． ∴x+5＝25． 答：“建安”队单独完成此项工程需20天，则“银夏”队单独完成此项工程需25天． 【点评】本题考查了分式方程应用，解答时求出工程的施工规定天数是关键． 【变式3-3】（2024秋•荣昌区月考）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工a千米完成，剩下的18千米按每天施工b千米完成，预计完成生产任务所需的时间为t1天； B方案：设完成施工任务所需的时间为t2天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米； 特别说明：两种方案中的a，b地为正整数，且1≤a≠b≤9． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【分析】（1）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合提前3天完成施工任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入2中，即可求出结论； （2）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可用含a，b的代数式表示出t1，t2，作差后，可得出t1﹣t2，结合1≤a≠b≤9，可得出0，可得出t1﹣t2＞0，即t1＞t2，进而可得出B工程队应采取乙方案； （3）根据B工程队采用甲方案完成施工时间与A工程队完成时间相同，可列出关于a，b的方程，结合a，b均为正整数且1≤a≠b≤9，求出a，b的值，检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：3， 解得：x， 经检验，x是所列方程的解，且符合题意， ∴225． 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）乙工程队应采取乙方案，理由如下： 根据题意得：t1； t2． ∴t1﹣t2 ． ∵1≤a≠b≤9， ∴ab（a+b）＞0，（a﹣b）2＞0， ∴0， 即t1﹣t2＞0， ∴t1＞t2， ∴乙工程队应采取乙方案． 【点评】本题考查了分式方程的应用、偶次方的非负性以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出t1，t2；（3）找准等量关系，列出分式方程． 【变式3-4】（2024•重庆模拟）某风景区准备修一条长6400米步道，在修了1600米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了25%，共用68天完成了全部任务． （1）原来每天修多少米步道？ （2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了30%，完成整个工程后承包商共支付工人工资329600元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？ 【分析】（1）设原来每天修x米步道，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设原来每天修x米步道，则每天加班后修（1+25%）x米， 由题意得：68， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， 答：原来每天修80米步道； （2）由（1）得：（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米）， 设安排工人加班前每天需支付工人工资y元， 根据题意得，yy×（1+30%）＝329600（元）， 解得y＝4000， 答：安排工人加班前每天需支付工人工资4000元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 类型四 销售问题 【例4】（2024秋•碑林区期中）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【分析】（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元，根据购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100﹣m）个，根据总费用不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为（x+6）元， 根据题意得：1.5， 解得：x＝48， 经检验，x＝48是所列方程的根，且符合题意． ∴x+6＝54， 答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元； （2）设该校购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器（100﹣m）个， 根据题意得：48m+54（100﹣m）≤5000， 解得：m≥66， 答：该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【变式4-1】（2024秋•沙坪坝区期中）市中心的一家时尚咖啡店推出了两款新颖的特色饮品，一款是“陨石拿铁”另一款是“摘星摩卡”．已知2杯“陨石拿铁”和5杯“摘星摩卡”总售价为240元；3杯“陨石拿铁”和4杯“摘星摩卡”总售价为234元． （1）求“陨石拿铁”和“摘星摩卡”各自的单价； （2）咖啡豆是制作咖啡饮品的主要原料之一，咖啡店老板发现今年第三季度平均每千克咖啡豆的价格比第二季度上涨了25%，第三季度花6000元买到的咖啡豆数量比第二季度花同样的钱买到的咖啡豆数量少了12千克，求第三季度咖啡豆的单价． 【分析】（1）设“陨石拿铁”的单价是x元，“摘星摩卡”的单价是y元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度咖啡豆的单价是m元，则第三季度咖啡豆的单价是（1+25%）m元，利用数量＝总价÷单价，结合第三季度花6000元买到的咖啡豆数量比第二季度花同样的钱买到的咖啡豆数量少了12千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后可得出第二季度红薯粉条的单价，再将其代入（1+25%）m中，即可求出第三季度咖啡豆的单价． 【解答】解：（1）设“陨石拿铁”的单价是x元，“摘星摩卡”的单价是y元， 根据题意得：， 解得． 答：“陨石拿铁”的单价是30元，“摘星摩卡”的单价是36元； （2）设第二季度咖啡豆的单价是m元，则第三季度咖啡豆的单价是（1+25%）m元， 根据题意得：12， 解得：m＝100， 经检验，m＝100是所列方程的解，且符合题意， ∴（1+25%）m＝（1+25%）×100＝125（元）． 答：第三季度咖啡豆的单价是125元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【变式4-2】（2023秋•开福区期末）米粉是长沙的特色美食，五一广场某小吃店推出两款米粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“牛肉哨子粉”．已知2份“经典手工酸辣粉”和3份“牛肉哨子粉”需56元；4份“经典手工酸辣粉”和5份“牛肉哨子粉”需100元． （1）求“经典手工酸辣粉”和“牛肉哨子粉”的单价； （2）红薯粉条是制作辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价． 【分析】（1）设“经典手工酸辣粉”的单价是x元，“牛肉哨子粉”的单价是y元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度红薯粉条的单价是m元，则第三季度红薯粉条的单价是（1+20%）m元，利用数量＝总价÷单价，结合第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后可得出第二季度红薯粉条的单价，再将其代入（1+20%）m中，即可求出第三季度红薯粉条的单价． 【解答】解：（1）设“经典手工酸辣粉”的单价是x元，“牛肉哨子粉”的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：“经典手工酸辣粉”的单价是10元，“牛肉哨子粉”的单价是12元； （2）设第二季度红薯粉条的单价是m元，则第三季度红薯粉条的单价是（1+20%）m元， 根据题意得：10， 解得：m＝10， 经检验，m＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴（1+20%）m＝（1+20%）×10＝12（元）． 答：第三季度红薯粉条的单价是12元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 类型五 数字问题 【例5】（2023秋•高密市期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为，则这个二位数是　84　． 【分析】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），根据“如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为”，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出结论． 【解答】解：设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x）， 根据题意得：， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意， ∴12﹣x＝4． 故答案为：84． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式5-1】（2023春•兴化市期末）一个分数的分母比它的分子大5，如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数．求原分数． 【分析】设原分数的分子为x，则分母为x+5，根据“如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设原分数的分子为x，则分母为x+5， 根据题意得：， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是所列方程的解， ∴x+5＝9． 答：原分数为． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式5-2】一个两位数的数字之和是9，如果把十位数字和个位数字对调，那么所得的两位数与原来两位数之比是，求原来的两位数． 【分析】本题首先依题意找出等量关系即调换位置后的两位数与原来的两位数之比是，再根据等量关系列出方程，最后检验并作答． 【解答】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为9﹣x， 则可列方程：， 解得x＝4， 经检验x＝4是原方程的解，则9﹣x＝5， 答：原来的两位数是54． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验． 【变式5-3】一个十位数字是6的两位数，若把个位数字与十位数字对调，所得数与原数之比为4：7，求原来的两位数． 【分析】可先设个位数是x，那么对调后的两位数是10x+6，根据对调后所得数与原数之比为4：7，可列出方程． 【解答】解：设原来两位数的个位数为x，则原来两位数为60+x，新两位数为10x+6， 依题意，得， 解得x＝3 经检验，x＝3是原方程的解，并符合题意 当x＝3时，60+x＝63． 答：原来的两位数为63． 【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．本题要注意两位数的表示方法． 类型六 几何图形问题 【例6】（2024•南岸区模拟）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒． 图1图2 （1）若图1中原长方形纸片长20cm，宽16cm，被剪掉的正方形边长为a cm，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24cm，求a的值； （2）现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？ 【分析】（1）根据“折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24cm”，列出方程，即可求解； （2）设甲组有x名同学，则乙组有（20﹣x）名同学，根据“甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半”，列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）（20﹣2a）+（16﹣2a）+a＝24， 解得：a＝4， 答：a的值为4． （2）设甲组有x名同学，则乙组有（20﹣x）名同学， 根据题意得：， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解且符合题意． 答：甲组有15名同学． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式6-1】（2024春•余姚市期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？ （2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？ 【分析】（1）设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个，根据加工两种纸箱共用1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设原计划每天加工纸箱a个，则实际每天加工纸箱1.5a个，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合时间比原计划提前2天完成了任务，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个， 依题意，得：， 解得：． 答：加工竖式纸箱200个，横式纸箱400个． （2）设原计划每天加工纸箱a个，则实际每天加工纸箱1.5a个， 依题意，得：2， 解得：a＝400， 经检验，a＝400是所列分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天加工纸箱400个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【变式6-2】一个长方体容器的容积为30m3，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用60min，求两根水管各自的注水速度． 【分析】设第一根细水管进水速度为xm3/min，则第二根水管进水速度为2xm3/min，一个长方体容器的容积为30m3，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度Wie细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用60min可列方程求解． 【解答】解：设第一根细水管进水速度为xm3/min，则第二根水管进水速度为2xm3/min，根据题意得 60， 解得：x， 经检验x是原方程的解． 答：第一根细水管进水速度为m3/min，则第二根水管进水速度为m3/min． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式6-3】（2023秋•弋江区期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了1500kg． （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 【分析】（1）“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2，由a＞1，可得（a2﹣1）＞（a﹣1）2，即可得，故“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高； （2）根据高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍，得 ，解方程并检验可得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为kg/m2， ∵a＞1， ∴a2﹣1＞0，（a﹣1）2＞0， ∴（ a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣（a2﹣2a+1）＝2a﹣2＝2（a﹣1）＞0， ∴（a2﹣1）＞（a﹣1）2， ∴， ∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高； （2）∵高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍， ∴， 两边同乘 （a﹣1）2（a+1）得：1500（a+1）＝1500×1.05（a﹣1）， 解得：a＝41， 经检验a＝41是原方程的解， ∴a﹣1＝41﹣1＝40， ∴“丰收2号”小麦试验田的边长为40m． 【点评】本题考查分式方程的应用和列代数式，解题的关键是读懂题意，用含a的代数式表示两块田的单位面积产量． 类型7 其他问题 【例7】（2023•台州）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 　3　人． 【分析】可设第一组有x人，则第二组有（x+6）人，根据两组平均每人植树的棵数相等，列出方程计算即可求解． 【解答】解：设第一组有x人，则第二组有（x+6）人，依题意有： ， 解得x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解． 故第一组有3人． 故答案为：3． 【点评】本题考查了应用类问题，关键是根据两组平均每人植树的棵数相等找到等量关系． 【例8】（2022•临沂）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水x kg，根据题意可列方程为（　　） A．0.98×5＝0.75x B．0.75 C．0.75×5＝0.98x D．0.98 【分析】将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精，酒精质量不变，求出稀释后的酒精质量和酒精溶液的质量，再减去5kg得出加水的质量即可． 【解答】解：根据稀释前后酒精的质量不变，可表示出稀释后的酒精的浓度，列方程为：0.75， 故选：B． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列分式方程，找准题目的等量关系式解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 分式方程的应用七种类型及变式（原卷版） 类型一 行程问题 【例1】（2024•湖南模拟）为了“每天锻炼1小时，健康生活一辈子”，王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师的家距学校的路程是9千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，王老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校． （1）求王老师骑自行车的平均速度； （2）王老师是否达到每天锻炼1小时的标准，若达到请说明理由；若没达到，请问王老师每天至少还需 【变式1-1】（2022•绥化）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟x m3，由题意列方程，正确的是（　　） A．30 B．24 C．24 D．30 【变式1-2】（2024•重庆模拟）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． （1）求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ （2）某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 【变式1-3】（2023秋•荣昌区期末）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家，已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟． （1）求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？ （2）小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行，已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？ 【变式1-4】（2024秋•赤峰月考）从赤峰到沈阳路程约为480千米．已知高铁平均速度是客车平均速度的3倍，乘坐高铁比乘坐客车所用时间少4小时． （1）求高铁的平均速度； （2）某日，陈老师要从赤峰乘高铁出发，去另一城市参加14：30召开的培训会，两高铁站相距360千米．如果他买到当日11：20从赤峰市至该城市的高铁票，陈老师到达该城市高铁站后，乘车到会议地点最多需要1.5小时．请通过计算，判定在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前到达会议地点吗？ 类型二 航行问题 【例1】（2024•二道区模拟）一艘轮船顺水航行80千米所用的时间与逆水航行60千米所用的时间相同，若轮船在静水中的速度为21千米/小时，求水流的速度． 【变式1-1】（2024秋•西青区期末）轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同，已知水流的速度为3km/h．求轮船在静水中的速度． 设轮船在静水中的速度为xkm/h． （Ⅰ）根据题意，利用路程、速度、时间之间的关系，用含有x的式子填写下表： 路程（km） 速度（km/h） 时间（h） 轮船顺水航行 40 　 　 　 轮船逆水航行 30 　 　 　 （Ⅱ）列出方程，并求出问题的解． 【变式1-2】（2024•楚雄市一模）甲乙两船从相距300km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为6km/h，若甲乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度． 【变式1-3】（2023秋•任丘市月考）下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？ 甲：； 乙：． 根据以上信息，解答下列问题： （1）甲同学所列方程中的x表示 　 　；乙同学所列方程中的y表示 　 ． （2）两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题． 【变式1-4】（2020秋•迁安市期中）周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．（顺风速度＝无风时骑车速度+风速，逆风速度＝无风时骑车速度﹣风速） （1）如果家到书店的路程是12km，无风时琪琪骑自行车的速度是8km/h，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，求风速是多少？ （2）如果设从家到书店的路程为s千米，无风时骑车速度为v千米/时，风速为a千米/时（y＞a），则有风往返一趟的时间为 　 　小时，无风往返一趟的时间为 　　小时，请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对． 类型三 工程问题 【例3】（2024秋•青秀区期中）近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最高洪峰在我市安全过境．9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成． （1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？ （2）经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？ 【变式3-1】（2023秋•十堰期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成． （1）求乙单独完成该项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完成更省钱，说明理由． 【变式3-2】（2024秋•长安区期中）某学校在工程招标时，接到“建安”和“银夏”两个工程队的投标书．工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案： 方案①：“建安”队单独完成此项工程刚好如期完工； 方案②：“银夏”队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； 方案③：若两队合作4天，剩下的工程由“银夏”队独做也正好如期完工；求“建安”、“银夏”两队单独完成此项工程各需多少天？ 【变式3-3】（2024秋•荣昌区月考）甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为x千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按x千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 A方案：计划18千米按每天施工a千米完成，剩下的18千米按每天施工b千米完成，预计完成生产任务所需的时间为t1天； B方案：设完成施工任务所需的时间为t2天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米； 特别说明：两种方案中的a，b地为正整数，且1≤a≠b≤9． （1）问甲工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【变式3-4】（2024•重庆模拟）某风景区准备修一条长6400米步道，在修了1600米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了25%，共用68天完成了全部任务． （1）原来每天修多少米步道？ （2）若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了30%，完成整个工程后承包商共支付工人工资329600元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？ 类型四 销售问题 【例4】（2024秋•碑林区期中）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【变式4-1】（2024秋•沙坪坝区期中）市中心的一家时尚咖啡店推出了两款新颖的特色饮品，一款是“陨石拿铁”另一款是“摘星摩卡”．已知2杯“陨石拿铁”和5杯“摘星摩卡”总售价为240元；3杯“陨石拿铁”和4杯“摘星摩卡”总售价为234元． （1）求“陨石拿铁”和“摘星摩卡”各自的单价； （2）咖啡豆是制作咖啡饮品的主要原料之一，咖啡店老板发现今年第三季度平均每千克咖啡豆的价格比第二季度上涨了25%，第三季度花6000元买到的咖啡豆数量比第二季度花同样的钱买到的咖啡豆数量少了12千克，求第三季度咖啡豆的单价． 【变式4-2】（2023秋•开福区期末）米粉是长沙的特色美食，五一广场某小吃店推出两款米粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是“牛肉哨子粉”．已知2份“经典手工酸辣粉”和3份“牛肉哨子粉”需56元；4份“经典手工酸辣粉”和5份“牛肉哨子粉”需100元． （1）求“经典手工酸辣粉”和“牛肉哨子粉”的单价； （2）红薯粉条是制作辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价． 类型五 数字问题 【例5】（2023秋•高密市期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为，则这个二位数是　 　． 【变式5-1】（2023春•兴化市期末）一个分数的分母比它的分子大5，如果将这个分数的分子加上14，分母减去1，那么所得分数是原分数的倒数．求原分数． 【变式5-2】一个两位数的数字之和是9，如果把十位数字和个位数字对调，那么所得的两位数与原来两位数之比是，求原来的两位数． 【变式5-3】一个十位数字是6的两位数，若把个位数字与十位数字对调，所得数与原数之比为4：7，求原来的两位数． 类型六 几何图形问题 【例6】（2024•南岸区模拟）如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒． （1）若图1中原长方形纸片长20cm，宽16cm，被剪掉的正方形边长为a cm，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为24cm，求a的值； （2）现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？ 图1 图2 【变式6-1】（2024春•余姚市期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）若该厂仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？ （2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？ 【变式6-2】一个长方体容器的容积为30m3，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用60min，求两根水管各自的注水速度． 【变式6-3】（2023秋•弋江区期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了1500kg． （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.05倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 类型7 其他问题 【例7】（2023•台州）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 　 　人． 【例8】（2022•临沂）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水x kg，根据题意可列方程为（　　） A．0.98×5＝0.75x B．0.75 C．0.75×5＝0.98x D．0.98 1 学科网（北京）股份有限公司 $$